【数学】2019届文科一轮复习人教A版3-7正弦定理、余弦定理应用举例教案 8页

第七节　正弦定理、余弦定理应用举例 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．‎ ‎(对应学生用书第53页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．仰角和俯角 ‎ 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图371①)．‎ ‎①　　　　　　　　　②‎ 图371‎ ‎2．方位角和方向角 ‎ (1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图371②)．‎ ‎ (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎ (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎ (3)方位角的大小范围是[0,2π)，方向角的大小范围一般是.(　　)‎ ‎ (4)如图372，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　　)‎ 图372‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于(　　)‎ ‎ A．10 n mile　　　　　 B． n mile ‎ C．5 n mile D．5 n mile ‎ D　[如图，在△ABC中，‎ ‎ AB＝10，∠A＝60°，‎ ‎ ∠B＝75°，∠C＝45°，‎ ‎ ∴＝，‎ ‎ ∴BC＝5.]‎ ‎3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ ‎ A．北偏东15° B．北偏西15°‎ ‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ ‎ B　[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，‎ ‎ ∴∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ ‎ ∴α＝90°－45°－30°＝15°，‎ ‎ ∴点A在点B的北偏西15°.]‎ ‎4．(2018·张掖模拟)如图373，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距‎500 m，则电视塔的高度是(　　)‎ ‎ 【导学号：79170115】‎ 图373‎ ‎ A．‎100 m B．‎‎400 m ‎ C．‎200 m D．‎‎500 m ‎ D　[设塔高为x m，则由已知可得 ‎ BC＝x m，BD＝x m，‎ ‎ 由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD，‎ ‎ 即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]‎ ‎5．如图374，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)‎ 图374‎ ‎ A．‎50 m B．‎25 m ‎ C．‎25 m D．‎50 m ‎ D　[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝‎50 m．]‎ ‎(对应学生用书第53页)‎ 测量距离问题 ‎　如图375，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是‎46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)‎ 图375‎ ‎ 60　[如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D．‎ ‎ 在Rt△ADC中，由AD＝‎46 m，∠ACB＝30°得AC＝‎92 m.‎ ‎ 在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，‎ ‎ ∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝‎92 m，‎ ‎ 由正弦定理＝，得 ‎ ＝，即＝，‎ ‎ 解得BC＝≈60(m)．]‎ ‎ [规律方法]　　应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：‎ ‎ (1)根据题意，画出示意图，并标出条件；‎ ‎ (2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；‎ ‎ (3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．‎ ‎[变式训练1]　江岸边有一炮台高‎30 m ‎，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ ‎ 10　[如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ ‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ ‎ MN＝＝＝10(m)．]‎ 测量高度问题 ‎　(2015·湖北高考)如图376，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶‎600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.‎ 图376‎ ‎ 100　[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.‎ ‎ 又AB＝‎600 m，故由正弦定理得＝，‎ ‎ 解得BC＝‎300 m.‎ ‎ 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300× ‎ ＝100(m)．]‎ ‎ [规律方法]　　1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．‎ ‎ ‎ ‎2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识．‎ ‎[变式训练2]　如图377，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为‎35米，则这个电视塔的高度为________米. 【导学号：79170116】‎ 图377‎ ‎ 5　[如图，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，‎ ‎ ∠OBC＝45°，AB＝‎35米．‎ ‎ 设OC＝x米，则OA＝x米，OB＝x米．‎ ‎ 在△ABO中，由余弦定理，‎ ‎ 得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB，‎ ‎ 即352＝＋x2－x2·cos 150°，‎ ‎ 整理得x＝5，‎ ‎ 所以此电视塔的高度是‎5‎米．]‎ 测量角度问题 ‎　(2018·宜昌模拟)在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？‎ ‎ [解]　设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t.‎ ‎ 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 3分 ‎ 根据余弦定理，可得 ‎ BC＝ ‎ ＝，‎ ‎ 由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，‎ ‎ ∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直. 7分 ‎ 于是∠CBD＝120°.在△BCD中，‎ ‎ 由正弦定理，得 ‎ sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎ ∴∠BCD＝30°，又＝，‎ ‎ 即＝，得t＝.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时. 12分 ‎ [规律方法]　　解决测量角度问题的注意事项 ‎ (1)首先应明确方位角或方向角的含义．‎ ‎ (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．‎ ‎ (3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．‎ ‎ [变式训练3]　如图378，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．‎ 图378‎ ‎ [解]　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.‎ ‎ 由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.‎ ‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ ‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝－sin∠ACB sin 30°＝.‎