2021高考数学一轮复习课后限时集训52直线与圆圆与圆的位置关系理北师大版 7页

课后限时集训52‎ 直线与圆、圆与圆的位置关系 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)‎ A．相离　　　　　　 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 C　[直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，‎ ‎∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，‎ ‎∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，‎ 直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．]‎ ‎2．过点P(0,1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为(　　)‎ A．±1　 B．± ‎ C．±　 D．±2‎ A　[由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，‎ 因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r＝1，又弦长|AB|＝，所以圆心到直线的距离为d＝＝＝，‎ 所以有＝，解得k＝±1.故选A.]‎ ‎3．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为 ‎(　　)‎ A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0‎ C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0‎ B　[∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上．‎ ‎∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，‎ ‎∴切线的斜率为－2，‎ 则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.]‎ ‎4．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)‎ A．1条 B．2条 6‎ C．3条 D．4条 D　[根据题意，圆x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)，半径为2.‎ 圆x2＋y2＋4x＋3＝0，即圆(x＋2)2＋y2＝1，其圆心坐标为(－2,0)半径为1.‎ 则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.]‎ ‎5．(2019·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)‎ A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ B　[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，‎ 将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.]‎ 二、填空题 ‎6．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切与点A(－2，－1)，则m＝__________，r＝__________.‎ ‎－2　　[如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得＝－，解得m＝－2.‎ ‎∴圆心为(0，－2)，‎ 则半径r＝＝.‎ ‎]‎ ‎7．(2019·唐山模拟)已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．‎ ‎2　[直线kx－y－k＋2＝0可化为y－2＝k(x－1)，故直线l过定点E(1,2)，又E(1,2)在圆x2＋y2－2y－7＝0内，所以，当E是AB中点时，|AB|最小，由x2＋y2－2y－7＝0得x2＋(y－1)2＝8，即圆心C(0,1)，半径2，所以|AB|＝2＝2＝2.]‎ ‎8．(2019·昆明模拟)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为________．‎ 6‎ ‎±　[根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为(0,3)，半径r＝，直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝，则有＝，解得a＝±.]‎ 三、解答题 ‎9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．‎ ‎(1)求圆C的方程； ‎ ‎(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)设圆心的坐标为C(a，－‎2a)，‎ 则＝.‎ 化简，得a2－‎2a＋1＝0，解得a＝1.‎ 所以C点坐标为(1，－2)，‎ 半径r＝|AC|＝＝.‎ 故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，‎ 由题意得＝1，解得k＝－，‎ 则直线l的方程为y＝－x.‎ 综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.‎ ‎10．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．‎ ‎(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；‎ ‎(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．‎ ‎[解]　(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.‎ 设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.‎ 又|O1O2|＝＝2，‎ 所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.‎ 所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.‎ ‎(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，‎ 又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，‎ 相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.‎ 设线段AB的中点为H，‎ 6‎ 因为r1＝2，‎ 所以|O1H|＝＝.‎ 又|O1H|＝＝，‎ 所以＝，‎ 解得r＝4或r＝20.‎ 所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.‎ ‎1．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)‎ A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)‎ C．(0，－1) D．(0，＋1)‎ A　[计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.]‎ ‎2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ ‎ D　[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径r＝1.作出点(－2，－3)关于y轴的对称点(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2，－3)．设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得＝1，即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－.故选D.]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋‎3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.‎ ‎4　[由直线l：mx＋y＋‎3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到 6‎ 直线l的距离为 d＝.‎ 由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.‎ 画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.]‎ ‎4．(2019·大同模拟)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且圆心C在直线x＋y－1＝0上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)∵P(4，－2)，Q(－1,3)，‎ ‎∴线段PQ的中点M，斜率kPQ＝－1，‎ 则PQ的垂直平分线方程为y－＝1×(x－)，‎ 即x－y－1＝0.‎ 解方程组 得 ‎ ‎∴圆心C(1,0)，半径r＝＝.‎ 故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.‎ ‎(2)由l∥PQ，设l的方程为y＝－x＋m.‎ 代入圆C的方程，得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6.‎ 故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，‎ 依题意知OA⊥OB，则·＝0.‎ ‎∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝0，‎ 于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝0，即m2－m－12＝0.‎ ‎∴m＝4或m＝－3，经检验，满足Δ>0.‎ 故直线l的方程为y＝－x＋4或y＝－x－3.‎ 6‎ ‎1．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是(　　)‎ A. B．[0,1]‎ C. D． A　[因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，‎ 化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．‎ 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤≤3.‎ 由≥1得‎5a2－‎12a＋8≥0，‎ 解得a∈R；‎ 由≤3得‎5a2－‎12a≤0，‎ 解得0≤a≤.‎ 所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.]‎ ‎2．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且|＋|≥||，则k的取值范围是________．‎ ‎ [，2)　[由已知得圆心到直线的距离小于半径，即＜2，‎ 又k＞0，‎ 故0＜k＜2.　①‎ 如图，作平行四边形OACB，连接OC交AB于M，‎ 由|＋|≥||得||≥||，‎ 即∠MBO≥，因为|OB|＝2，所以|OM|≥1，故≥1，‎ k≥ .　②‎ 综合①②得，≤k＜2.]‎ 6‎ 6‎