高考文科数学专题复习练习2古典概型的概率 18页

160 古典概型的概 率 1.(2015 黑龙江哈尔滨第三中学二模,文 13,古典概型的概率,填空题)已知一数字发生器每次等可能地 输出数字 1 或 2 中的一个数字,则连续输出的三个数字之和能被 3 整除的概率是　　　　　. 解析:连续输出的三个数字有 8 种结果,即(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2),其中 三个数字之和能够被 3 整除的有(1,1,1)和(2,2,2),故所求概率为2 8 = 1 4. 答案:1 4 2.(2015 宁夏银川一中二模,文 13,古典概型的概率,填空题)从 3 名男生和 2 名女生中选出 2 名参加某 项活动,则选出的 2 名学生中至少有 1 名女生的概率为　　　　　. 解析:设三名男生为 A1,A2,A3,两名女生为 B1,B2,则从中选出 2 名学生所包含的基本事件为 (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共 10 种,其中符合条件的有 (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共 7 种,故所求概率为 7 10. 答案: 7 10 3.(本小题满分 12 分)(2015 贵州八校二联,文 18,古典概型的概率,解答题)为了促进学生的全面发展,贵 州省某中学重视学生社团文化建设,现用分层抽样的方法从“海济社”“话剧社”“动漫社”“彩虹文艺社” 四个社团中抽取若干人组成社团管理小组,有关数据见下表(单位:人): 社团 相关人 数 抽取人 数 海济社 140 a 话剧社 b 1 动漫社 105 3 彩虹文艺 社 70 c (1)求 a,b,c 的值; (2)若从“海济社”“彩虹文艺社”社团已抽取的人中任意抽取 2 人担任管理小组组长,求这 2 人来自不 同社团的概率. 解:(1)由表可知 푎 140 = 1 푏 = 3 105 = 푐 70, 解得 a=4,b=35,c=2. (4 分) (2)设“海济社”4 人分别为 A1,A2,A3,A4,“彩虹文艺社”2 人分别为 B1,B2. 从中任选 2 人的所有基本事件为 A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2,共 15 个,以上基本事件都 是等可能事件, (8 分) 其中 2 人来自不同社团的基本事件为 A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,共 8 个, (10 分) 所以 2 人来自不同社团的概率 P= 8 15. (12 分) 4.(2015 甘肃第二次诊断考试,文 7,古典概型的概率,选择题)某公司为了对一种新产品进行合理定价, 将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价 x(元) 4 5 6 7 8 9 销量 y(件) 908483807568 由表中数据,求得线性回归方程为 ^ 푦=-4x+a.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线右上方的概 率为(　　) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析:利用线性回归方程经过中心点的性质求解 a 的值,结合古典概型的概率公式求解. 由表中数据可得x = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 6 = 13 2 ,y = 90 + 84 + 83 + 80 + 75 + 68 6 =80,则 80=-4×13 2 +a,解 得 a=106,所以线性回归方程为 ^ y=-4x+106,则样本点中在回归直线右上方的点有(6,83),(7,80),(8,75), 则所求概率为3 6 = 1 2,故选 C. 答案:C 6.(本小题满分 12 分)(2015 辽宁东北育才学校五模,文 19,古典概型的概率,解答题)“光盘行动”已经发 起两年,为了调查人们的节约意识,某班几位同学组成研究性学习小组,从某社区[25,55]岁的人群中随 机抽取 n 人进行了一次调查,得到如下统计表: 组数 分组 频 数 频 率 光盘组占本组的 比例 第一 组 [25,30)50 0.05 30% 第二 组 [30,35)100 0.1 30% 第三 组 [35,40)150 0.15 40% 第四 组 [40,45)200 0.2 50% 第五 组 [45,50)a b 65% 第六 组 [50,55)200 0.2 60% (1)求 a,b 的值,并估计本社区[25,55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例; (2)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样法抽取 8 人参加节约粮食宣传活动,并从这 8 人中 选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队分别来自[35,40)和[40,45)两个年龄段的概率. 解:(1)第一组的人数为 50,第一组的频率为 0.05, 所以 n= 50 0.05=1 000. 第五组的频率 b=1-(0.2+0.2+0.15+0.1+0.05)=0.3,第五组的人数 a=1 000×0.3=300 人. 样本中光盘族人数为 50×30%+100×30%+150×40%+200×50%+300×65%+200×60%=520. 所以光盘族所占比例为 520 1 000=52%. (4 分) (2)[35,40)年龄段“光盘族”人数为 150×40%=60 人,[40,45)年龄段“光盘族”人数为 200×50%=100 人,故两年龄段人数比值为 3∶5,采用分层抽样法从中抽取 8 人,则[35,40)年龄段有 3 人,[40,45)年龄段 有 5 人. (6 分) 设[35,40)年龄段的 3 人为 a,b,c,[40,45)年龄段的 5 人为 1,2,3,4,5,则选取 2 人作为领队的有 (a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,c),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(c,1),(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共有 28 种. 其中来自[35,40)与[40,45)不同年龄段的有 (a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(c,1),(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),共有 15 种. 所以选取的 2 名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率为15 28. (12 分) 7.(2015 甘肃兰州诊断,文 4,古典概型的概率,选择题)从数字 1,2,3 中任取两个不同的数字构成一个两 位数,则这个两位数大于 30 的概率为(　　) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析:依题意,从数字 1,2,3 中任取两个不同的数字构成两位数共有 6 个,其中大于 30 的两位数共有 2 个,因此所求的概率等于2 6 = 1 3,故选 B. 答案:B 8.(本小题满分 12 分)(2015 贵州贵阳监测考试(一),文 18,古典概型的概率,解答题)某校研究性学习小 组,为了分析 2014 年某国的宏观经济形势,查阅了有关材料,得到了 2013 年和 2014 年 1~5 月 CPI 同 比(即当年某月与前一年同月相比)的增长数据(见下表),但 2014 年 3,4,5 月数据(分别为 x,y,z)没有查 到,有的同学清楚地记得 2014 年的 5 个 CPI 数据成等差数列. 该国 2013 年和 2014 年 1~5 月份的 CPI 数据(单位:百分点,1 个百分点=1%) 年份一 月 二 月 三 月 四 月 五 月 20132.7 2.4 2.8 3.1 3.9 20144.9 5.0 x y z (1)求 x,y,z 的值和 2014 年 1~5 月该国 CPI 数据的方差; (2)一般认为,某月 CPI 数据达到或超过 3 个百分点就已经通货膨胀,而达到或超过 5 个百分点为严重 通货膨胀,现随机从 2013 年 5 个月和 2014 年 5 个月的数据中各抽取一个数据,求抽得数据的月份相 同且 2013 年通货膨胀 2014 年严重通货膨胀的概率. 解:(1)公差 d=5-4.9=0.1, ∴x=5.1,y=5.2,z=5.3. 2014 年 1 至 5 月 CPI 数据的平均值为 푥 = 1 5(4.9+5.0+5.1+5.2+5.3)=5.1, s2=1 5[(4.9-5.1)2+(5.0-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.2-5.1)2+(5.3-5.1)2]=0.02. (6 分) (2)基本事件有 (2.7,4.9),(2.7,5.0),(2.7,5.1),(2.7,5.2),(2.7,5.3), (2.4,4.9),(2.4,5.0),(2.4,5.1),(2.4,5.2),(2.4,5.3), (2.8,4.9),(2.8,5.0),(2.8,5.1),(2.8,5.2),(2.8,5.3), (3.1,4.9),(3.1,5.0),(3.1,5.1),(3.1,5.2),(3.1,5.3), (3.9,4.9),(3.9,5.0),(3.9,5.1),(3.9,5.2),(3.9,5.3),共 25 个. 其中数据在相同月份且 2013 年通货膨胀 2014 年严重通货膨胀的事件有(3.1,5.2),(3.9,5.3),共 2 个, 故所求概率为 P= 2 25. (12 分) 9.(本小题满分 12 分)(2015 广西柳州 3 月模拟,文 18,古典概型的概率,解答题)某市为了了解市民对本 市文明建设的满意程度,通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共 250 人,结果如下表: 学 生 在职人 员 退休人 员 满意 x y 78 不满 意 5 z 12 若在所调查人员中随机抽取 1 人,恰好抽到学生的概率为 0.32. (1)求 x 的值; (2)若 y≥70,z≥2,求市民对市政管理满意度不小于 0.9 的概率. (注:满意度 = 满意人数 总人数 ) 解:(1)依题意可得푥 + 5 250 =0.32, (3 分) 解得 x=75. (5 分) (2)∵学生人数为 80,退体人员人数为 90, ∴在职人员人数为 250-80-90=80, (7 分) 由 y≥70,z≥2,且 y+z=80, 则基本事件(y,z)为(70,10),(71,9),(72,8),(73,7),(74,6),(75,5),(76,4),(77,3),(78,2),共有 9 组. (9 分) 由75 + 푦 + 78 250 ≥0.9,得 y≥72, ∴满足条件的基本事件共有 7 组, (11 分) 故所求的概率 P=7 9. (12 分) 10.(本小题满分 12 分)(2015 河北石家庄一模,文 18,古典概型的概率,解答题)某商店计划每天购进某 商品若干件,商店每销售一件该商品可获利润 50 元.若供大于求,剩余商品全部退回,但每件商品亏损 10 元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利润 30 元. (1)若商店一天购进该商品 10 件,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:件,n∈N)的函数解 析式; (2)商店记录了 50 天该商品的日需求量 n(单位:件),整理得下表: 日需求 量 89 101112 频数 91115105 若商店一天购进 10 件该商品,以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利 润在[400,550]内的概率. 解:(1)当日需求量 n≥10 时,利润为 y=50×10+(n-10)×30=30n+200. (2 分) 当日需求量 n<10 时,利润为 y=50×n-(10-n)×10=60n-100. (4 分) 所以 y 关于日需求量 n 的函数关系式为 y={30푛 + 200,푛 ≥ 10,푛 ∈ N, 60푛 - 100,푛 < 10,푛 ∈ N. (6 分) (2)50 天内有 9 天获得的利润为 380 元,有 11 天获得的利润为 440 元,有 15 天获得的利润为 500 元,有 10 天获得的利润为 530 元,有 5 天获得的利润为 560 元. (8 分) 若利润在[400,550]内时,日需求量为 9 件、10 件、11 件该商品,其对应的频数分别为 11 天、15 天、10 天, (10 分) 则利润在[400,550]内的概率为 P=11 + 15 + 10 50 = 36 50 = 18 25. (12 分) 11.(2015 河北唐山一模,文 15,古典概型的概率,填空题)一枚质地均匀的正方体玩具,四个面标有数字 1,其余两个面标有数字 2,抛掷两次,所得向上数字相同的概率是　　　　　. 解析:易知该概率模型符合古典概型,分别求出总的基本事件个数与事件“所得向上数字相同”所包含 的基本事件个数,然后利用古典概型的计算公式计算.设“所得向上数字相同”为事件 A,因为正方体四 个面有数字 1,其余两个面有数字 2,则抛掷两次后总的基本事件个数有 6×6=36 种情形,记四个标有 数字 1 的面分别为 1a,1b,1c,1d,两个标有数字 2 的面分别为 2a,2b,则数字不同的情形有 (1a,2a),(2a,1a),(1a,2b),(2b,1a),(1b,2a),(2a,1b),(1b,2b),(2b,1b),(1c,2a),(2a,1c),(1c,2b),(2b,1c),(1d,2a),(2a,1d),(1d,2b),( 2b,1d),共有 16 种情形,则所得向上数字相同的基本事件有 36-16=20 种情形,故 P(A)=20 36 = 5 9. 12.(2015 山西 3 月质量监测,文 3,古典概型的概率,选择题)一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别 刻着 1 点至 6 点.甲、乙二人各掷骰子一次,则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为(　　) A.2 9 B.1 4 C. 5 12 D.1 2 解析:甲、乙各掷一次骰子,共有 36 种等可能的结果,其中甲掷得的点数大于乙掷得的点数有 1+2+3+4+5=15 种结果,所以甲掷得的点数大于乙掷得的点数的概率为15 36 = 5 12,故选 C. 答案:C 13.(2015 江西九校联合考试,文 13,古典概型的概率,填空题)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个,则 取出的这两数字之和为偶数的概率为　　　　　. 解析:依题意,从 1,2,3,4 中任取两个数共有 6 种不同的取法,其中取出的两个数字之和为偶数(即相应 的奇偶性相同)的取法共有 2 种,因此所求的概率等于2 6 = 1 3. 答案:1 3 15.(2015 甘肃兰州实战,文 14,古典概型的概率,填空题)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、 蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为　　　　　. 解析:所求的概率等于 3 3 × 3 = 1 3. 答案:1 3 16.(2015 宁夏银川质量检测,文 4,古典概型的概率,选择题)从集合 A={-1,1,2}中随机选取一个数记为 k,从集合 B={-2,1,2}中随机选取一个数记为 b,则直线 y=kx+b 不经过第三象限的概率为(　　) A.2 9 B.1 3 C.4 9 D.5 9 解析:利用古典概型的概率公式求解.(k,b)的所有结果有 9 个,其中(-1,1)和(-1,2)表示的直线不经过第 三象限,所求概率为2 9,故选 A. 答案:A 17.(2015 江西赣州摸底考试,文 3,古典概型的概率,选择题)一个小组的 3 个学生在分发数学作业时,每 个学生拿的都不是自己作业的概率是(　　) A.1 6 B.1 3 C.1 4 D.2 3 解析:设 3 个学生分别为 A,B,C,他们各自的作业分别对应 a,b,c,总的分法有 (Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Ba,Cb),(Ac,Bb,Ca),共 6 种,其中每个学生拿的都不是 自己作业的有 2 种,故所求概率为2 6 = 1 3,故选 B. 答案:B 18.(2015 山西太原模拟(一),文 4,古典概型的概率,选择题)某袋中有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球(小 球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则 甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　) A.1 5 B.1 6 C.5 6 D.35 36 解析:利用古典概型的概率公式求解.甲、乙两人摸球的结果共有 6×6=36 种,其中两人所摸的球的编 号不同的结果有 6×5=30 种,所求概率为30 36 = 5 6,故选 C. 答案:C 162 古典概型与统计的 综合 1.(本小题满分 12 分)(2015 江西重点中学盟校联考,文 18,古典概型与统计的综合,解答题)某校在一次 期末数学测试中,为统计学生的考试情况,从学校的 2 000 名学生中随机抽取 50 名学生的考试成绩,被 测学生成绩全部介于 60 分到 140 分之间(满分 150 分),将统计结果按如下方式分成八组:第一组 [60,70),第二组[70,80),……,第八组[130,140],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. (1)求第七组的频率,并完成频率分布直方图; (2)估计该校的 2 000 名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值); (3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取 2 名,求他们的分差小于 10 分的概率. 解:(1)由频率分布直方图知第七组的频率 f7=1-(0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004)×10=0.08. 直方图如图. (3 分) (2)估计该校的 2 000 名学生这次考试的平均成绩为 65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+115×0.06+125×0.08+135×0.04=97(分). (7 分) (3)第六组有学生 3 人,分别记作 A1,A2,A3,第一组有学生 2 人,分别记作 B1,B2,则从中任取 2 人的 所有基本事件为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),共 10 个. 分差小于 10 分表示所选 2 人来自同组,其基本事件有 4 个(A1,A2),(A2,A3),(A1,A3),(B1,B2),所以从中 任意抽取 2 人,分差小于 10 分的概率 P= 4 10 = 2 5. (12 分) 2.(本小题满分 12 分)(2015 江西南昌二模,文 18,古典概型与统计的综合,解答题)如图是某市 11 月 1 日至 15 日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染.该市某校准备举行为期 3 天(连续 3 天)的运动会,在 11 月 1 日至 11 月 13 日任意 选定一天开幕. (1)求运动会期间未遇到空气重度污染的概率; (2)求运动会期间至少两天空气质量优良的概率. 解:(1)该校运动会开幕日共有 13 种选择,其中遇到空气重度污染的选择有:5 日,6 日,7 日,11 日,12 日,13 日, (3 分) 所以运动会期间未遇到空气重度污染的概率是 P1=1- 6 13 = 7 13. (6 分) (2)该校运动会开幕日共有 13 种选择,其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有:1 日,2 日,3 日,8 日,9 日,10 日,12 日, (9 分) 所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是 P2= 7 13. (12 分) 3.(本小题满分 12 分)(2015 江西八校联考,文 18,古典概型与统计的综合,解答题)2014 年“双节”期间, 高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就 抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六 段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]后得到如图的频率分布直方图. (1)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值; (2)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取 2 辆,求车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率. 解:(1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5. (2 分) 设中位数的估计值为 x, 则 0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-75)=0.5,解得 x=77.5, 即中位数的估计值为 77.5. (5 分) (2)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数为 m1=0.01×5×40=2(辆), (6 分) 车速在[65,70)的车辆数为 m2=0.02×5×40=4(辆). (7 分) 车速在[60,65)的车辆设为 a,b,车速在[65,70)的车辆设为 c,d,e,f,则所有基本事件有 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共 15 种. (10 分) 其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),共 8 种,(11 分) 所以车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率为 P= 8 15. (12 分) 4.(2015 河南郑州第三次质量检测,文 18,古典概型与统计的综合,解答题)某中学举行了一次“地理信 息知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得 分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频 率分布直方图(如图所示)解决下列问题: 频率分布表 组别 分组 频 数 频 率 第一 组 [50,60) 8 0.16 第二 组 [60,70) a 第三 组 [70,80) 20 0.40 第四 组 [80,90) 0.08 第五 组 [90,100)2 b 合计 (1)写出 a,b,x,y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加志愿宣 传活动. ①求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; ②求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率. 解:(1)由题意可知抽取的学生人数为 8 0.16=50, 则第四组人数为 50×0.08=4, 所以 a=16,x= 16 50 × 10=0.032,b=0.04,y=0.004. (4 分) (2)①由题意可知,第 4 组共有 4 人,第 5 组共有 2 人,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中 随机抽取 2 名同学,共 15 种情况. 设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E,共 9 种情况符合要求. 所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P(E)= 9 15 = 3 5. 答:随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率为3 5. (8 分) ②设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F,共 7 种情况.所以 P(F)= 7 15. 答:随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 7 15. (12 分) 5.(本小题满分 12 分)(2015 河南六市一联,文 18,古典概型与统计的综合,解答题)某校有 150 名学生参 加了中学生环保知识竞赛,为了解成绩情况,现从中随机抽取 50 名学生的成绩进行统计(所有学生成 绩均不低于 60 分).请你根据尚未完成的频率分布表,解答下列问题: 分组 频 数 频 率 第 1 组 [60,70) M 0.26 第 2 组 [70,80) 15 p 第 3 组 [80,90) 20 0.40 第 4 组 [90,100]N q 合计 50 1 (1)写出 M,N,p,q(直接写出结果即可),并补全频率分布直方图; (2)若成绩在 90 分以上的学生获得一等奖,试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数; (3)现从第(2)问中所得到的一等奖学生中随机选择 2 名学生接受采访,已知一等奖获得者中只有 2 名 女生,求恰有 1 名女生接受采访的概率. 解:(1)M=13,N=2,p=0.30,q=0.04, (2 分) (4 分) (2)获一等奖的概率为 0.04,获一等奖的人数估计为 150×0.04=6(人). (7 分) (3)记获一等奖的 6 人为 A1,A2,B,C,D,E,其中 A1,A2 为获一等奖的女生,从所有一等奖的同学中随 机抽取 2 名同学共有 15 种情况如下: (A1,A2),(A1,B),(A1,C),(A1,D),(A1,E),(A2,B),(A2,C),(A2,D),(A2,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),(9 分) 女生的人数恰好为 1 人共有 8 种情况如下:(A1,B),(A1,C),(A1,D),(A1,E),(A2,B),(A2,C),(A2,D),(A2,E), 所以恰有 1 名女生接受采访的概率 P= 8 15. (12 分) 6.(本小题满分 12 分)(2015 宁夏银川二中一模,文 18,古典概型与统计的综合,解答题)从某企业生产的 某种产品中抽取 20 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量得到如图 1 所示的频率分布直方图, 从左到右各组的频数依次记为 A1,A2,A3,A4,A5. 图 1 图 2 (1)求图 1 中 a 的值; (2)图 2 是统计图 1 中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果 S; (3)从质量指标值分布在[80,90),[110,120)的产品中随机抽取 2 件产品,求所抽取两件产品的质量指标 值之差大于 10 的概率. 解:(1)依题意得(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1, (2 分) 解得 a=0.005. (3 分) (2)由频率分布直方图得 A1=0.005×10×20=1, A2=0.040×10×20=8,A3=0.030×10×20=6, A4=0.020×10×20=4,A5=0.005×10×20=1. (6 分) 输出的 S=A2+A3+A4=18. (8 分) (3)记质量指标值在[110,120)的 4 件产品为 x1,x2,x3,x4,质量指标值在[80,90)的 1 件产品为 y1,则从 5 件产品中任取 2 件产品的结果为(x1,x2),(x1,x3),(x1,x4),(x1,y1),(x2,x3),(x2,x4),(x2,y1),(x3,x4),(x3,y1),(x4,y1), 共 10 种. (10 分) 记“两件产品的质量指标值之差大于 10”为事件 A, 则事件 A 中包含的基本事件为(x1,y1),(x2,y1),(x3,y1),(x4,y1),共 4 种, ∴P(A)= 4 10 = 2 5. (12 分) 7.(本小题满分 12 分)(2015 黑龙江哈尔滨第三中学二模,文 18,古典概型与统计的综合,解答题)春节期 间,某 60 人微信群群主发随机红包(即每个人抢到的红包中的钱数是随机的,且每人只能抢一个),60 个红包被一抢而空.数据统计,60 个红包中钱数(单位:元)分配如下频率分布直方图所示(其分组区间为 [0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5)). (1)试估计该群中某成员抢到钱数不小于 3 元的概率; (2)若该群中成员甲、乙二人都抢到 4.5 元红包,现系统将从抢到 4 元及以上红包的人中随机抽取 2 人给群中每个人拜年,求甲、乙二人至少有一人被选中的概率. 解:(1)由题知,a=0.25,设该群中某成员抢到钱数不小于 3 元为事件 A,则 P(A)=0.25+0.1=0.35. (4 分) (2)由直方图知,抢到 4 元及以上红包的共 6 人, 设除甲、乙外其他四人为 A,B,C,D, 则抽取两人可能有的情况为甲乙,甲 A,甲 B,甲 C,甲 D,乙 A,乙 B,乙 C,乙 D,AB,AC,AD,BC,BD,CD, 共 15 种, (8 分) 其中甲、乙至少有一人被选中的情况有 9 种,所以此事件概率 P= 9 15 = 3 5. (12 分) 8.(本小题满分 12 分)(2015 宁夏银川一中二模,文 18,古典概型与统计的综合,解答题)某工厂有工人 500 名,记 35 岁以上(含 35 岁)的为 A 类工人,不足 35 岁的为 B 类工人,为调查该厂工人的个人文化素 质状况,现用分层抽样的方法从 A,B 两类工人中分别抽取了 40 人、60 人进行测试. (1)求该工厂 A,B 两类工人各有多少人? (2)经过测试,得到以下三个数据图表: 图 1:75 分以上 A,B 两类工人成绩的茎叶图(茎、叶分别是十位和个位上的数字). 图 1 图 2:100 名参加测试工人成绩的频率分布直方图 表 1:100 名参加测试工人成绩频率分布表 组 号 分组 频 数 频 率 1 [55,60)5 0.05 2 [60,65)20 0.20 3 [65,70) 4 [70,75)35 0.35 5 [75,80) 6 [80,85) 合计 100 1.00 ①先填写频率分布表(表 1)中的六个空格,然后将频率分布直方图(图 2)补充完整; ②该厂拟定从参加考试的 79 分以上(含 79 分)的 B 类工人中随机抽取 2 人参加高级技工培训班,求抽 到的 2 人分数都在 80 分以上的概率. 解:(1)由题知 A 类工人有 500× 40 40 + 60=200(人), (2 分) 则 B 类工人有 500-200=300(人). (3 分) (2)①表 1: 组 号 分组 频 数 频 率 1 [55,60)5 0.05 2 [60,65)20 0.20 3 [65,70)25 0.25 4 [70,75)35 0.35 5 [75,80)10 0.10 6 [80,85)5 0.05 合计 100 1.00 (6 分) 图 2: (9 分) ②79 分以上的 B 类工人共 4 人,记 80 分以上的三人分别为甲,乙,丙,79 分的工人为 a. 从中抽取 2 人,有(甲,乙),(甲,丙),(甲,a),(乙,丙),(乙,a),(丙,a),共 6 种抽法,抽到 2 人均在 80 分以上 有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙),共 3 种抽法, (11 分) 则抽到 2 人分数均在 80 分以上的概率为3 6 = 1 2. (12 分) 9.(本小题满分 12 分)(2015 东北三校一联,文 18,古典概型与统计的综合,解答题)空气污染,又称为大气 污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间, 并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污 染指数(单位:μg/m3)为 0~50 时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级, 空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于 中度污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气 污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.2015 年 1 月某日某省 x 个 监测点数据统计如下: 空气污染 指数 (单 位:μg/m3) [0,50](50,100](100,150](150,200] 监测点个 数 15 40 y 10 (1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求 x,y 的值,并完成频率分布直方图; (2)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个监测点为轻度污染,2 个监测点为良.从中任意选取 2 个监测点, 事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少? 解:(1)∵0.003×50=15 푥 ,∴x=100. ∵15+40+y+10=100,∴y=35. (2 分) 则 40 100 × 50=0.008, 35 100 × 50=0.007, 10 100 × 50=0.002, 补全频率分布直方图如图所示. (5 分) (2)设 A 市空气质量状况属于轻度污染的 3 个监测点为 1,2,3,空气质量状况属于良的 2 个监测点 为 4,5,从中任取 2 个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10 种,(8 分) 其中事件 A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 7 种, (10 分) 所以事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率 P(A)= 7 10. (12 分) 10.(本小题满分 12 分)(2015 甘肃兰州诊断,文 19,古典概型与统计的综合,解答题)兰州市为增强市民 的环保意识,面向全市征召宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 [20,25),第 2 组[25,30),第 3 组[30,35),第 4 组[35,40),第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取 多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志 愿者被抽中的概率. 解:(1)第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10. 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每 组抽取的人数分别为 第 3 组:30 60×6=3, 第 4 组:20 60×6=2, 第 5 组:10 60×6=1, 即应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. (6 分) (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1,则 从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有 (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),( B2,C1),共有 15 种. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有 (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 9 种, (10 分) 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 9 15 = 3 5. (12 分) 11.(本小题满分 12 分)(2015 贵州适应性考试,文,古典概型与统计的综合,解答题)从某校的 800 名男生 中随机抽取 50 人测量身高,被测学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间.将测量结果按如下方式分 成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],如图是按上述分组方法得到的频率分 布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4. (1)求第七组的频率并估计该校男生中身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (2)从第六组和第八组的男生中随机抽取 2 名,求他们的身高之差大于 5 cm 的概率. 解:(1)第六组的频率为 4 50=0.08, (1 分) 所以第七组的频率为 1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06. (3 分) 由直方图得后三组频率为 0.06+0.08+0.008×5=0.18,所以 800 名男生中身高在 180 cm 以上的人 数为 0.18×800=144 人. (6 分) (2)第六组[180,185)的人数为 4,设为 a,b,c,d;第八组[190,195]的人数为 2,设为 A,B, (8 分) 则从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生有 ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,AB,共 15 种情况. (10 分) 记“他们的身高之差大于 5 cm”为事件 M,所以该事件包含的基本事件为 aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,共 8 种情况. 故 P(M)= 8 15. (12 分) 163 与角度、长度有关的几何 概型 1.(2015 吉林长春质量监测(二),文 3,与角度、长度有关的几何概型,选择题)在区间[0,π]上随机取一个 实数 x,使得 sin x∈[0,1 2]的概率为(　　) A.1 π B.2 π C.1 3 D.2 3 解析:在区间 [0,π]上,当 x∈[0,π 6] ∪ [5π 6 ,π]时,sin x∈[0,1 2],由几何概型知,符合条件的概率为1 3,故选 C. 答案:C 2.(2015 广西柳州 3 月模拟,文 7,与角度、长度有关的几何概型,选择题)在(0,π 2)上随机取一个数 x,使 得 090°的概率为(　　) A.π 8 B.1-π 8 C.π 4 D.1-π 4 解析:如图,正方形的边长为 4,图中白色区域是以 AB 为直径的半圆,当 M 落在半圆内时,∠AMB>90°, 所以使∠AMB>90°的概率 P= 푆半圆 푆正方形 = 1 2 × π × 22 16 = π 8,故选 A. 答案:A 8.(2015 贵州八校二联,文 15,与面积、体积有关的几何概型,填空题)在区间[0,1]内随机取两个实数分 别为 a,b,则使函数 y=1 3x3+ax2-(b2-1)x+2 存在极值点的概率为　　　　　. 解析:因为 y'=x2+2ax+1-b2,要使函数存在极值,则必须满足 Δ=(2a)2-4(1-b2)>0,即 a2+b2>1. 在平面直角坐标系中作出 a,b 满足的范围,如图所示,即为曲面 ABC 所表示的面积,所以所求概率 为 12 - 1 4π·12 12 =1-π 4. 答案:1-π 4 9.(2015 贵州贵阳监测考试(一),文 16,与面积、体积有关的几何概型,填空题)欧阳修《卖油翁》中写 道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”.可见“行行出状元”,卖 油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为 4 cm 的圆面,中间有边长为 1 cm 的正方形孔,若随机向铜 钱上滴一滴油(油滴不出边界),则油滴整体(油滴是直径为 0.2 cm 的球)正好落入孔中的概率是　　　　　 (不作近似计算). 解析:利用几何概型的概率公式求解. 考虑油滴的中心,若油滴不出铜钱边界,油滴的中心可以在半径为 1.9 cm 的圆面上,面积为 π×1.92=3.61π. 其中油滴整体落入孔中,油滴中心在边长为 0.8 cm 的正方形区域,面积为 0.64,故所求的概率为 0.64 3.61π = 64 361π. 答案: 64 361π 10.(2015 辽宁重点中学协作体模拟,文 15,与面积、体积有关的几何概型,填空题)将一个质点随机投 放在关于 x,y 的不等式组{3푥 + 4푦 ≤ 19, 푥 ≥ 1, 푦 ≥ 1 所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的 距离均不小于 1 的概率是　　　　　. 解析:依题意,题中的三角形(其三个顶点的坐标分别为 A(1,4),B(5,1),C(1,1),三边长分别是 3,4,5)区域 的面积是1 2×3×4=6,分别以点 A,B,C 为圆心、1 为半径的圆形区域与△ABC 区域的公共区域的面积等 于1 2π×12=1 2π,因此所求的概率等于 1-π 2÷6=1- π 12. 答案:1- π 12 11.(2015 黑龙江哈尔滨第六中学二模,文 10,与面积、体积有关的几何概型,选择题)在[1,5]和[2,4]分别 取一个数,记为 a,b,则方程푥2 푎2 + 푦2 푏2=1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 3 2 的椭圆的概率为(　　) A.1 2 B.15 32 C.17 32 D.31 32 解析:由题意知 Ω1={(a,b)|1≤a≤5,2≤b≤4},푆훺1=4×2=8. 由푐 푎 < 3 2 ,得푎2 - 푏2 푎2 < 3 4,所以1 2a