2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第九章　第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 17页

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎　　‎ 一、知识梳理 ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．‎ ‎(2)倾斜角的范围为[0，π)．‎ ‎2．直线的斜率 ‎(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．‎ ‎(2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x1，y1)‎ y－y1＝k(x－x1)‎ 不含直线x＝x1‎ 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2)‎ ＝ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝‎ ‎(x1≠x2，y1≠y2)‎ y2)‎ 截距式 ‎ 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b ＋＝1‎ ‎(a≠0，b≠0)‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0‎ ‎(A2＋B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 常用结论 ‎1．直线倾斜角和斜率的关系 不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了．‎ ‎2．五种特殊位置的直线方程 ‎(1)x轴：y＝0.‎ ‎(2)y轴：x＝0.‎ ‎(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．‎ ‎(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．‎ ‎(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.‎ 二、教材衍化 ‎1．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．‎ 解析：由题意得＝1，解得m＝1.‎ 答案：1‎ ‎2．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________．‎ 解析：令x＝0，得y＝； 令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24.‎ 答案：－24‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)‎ ‎(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)‎ ‎(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)‎ ‎(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)‎ ‎(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ 二、易错纠偏 (1)由直线方程求斜率的思路不清；‎ ‎(2)忽视斜率和截距对直线位置的影响；‎ ‎(3)忽视直线斜率不存在的情况；‎ ‎(4)忽视截距为0的情况．‎ ‎1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋a＝0的斜率为________．‎ 解析：设直线l的斜率为k，则k＝－＝.‎ 答案： ‎2．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．‎ 解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．‎ 答案：三 ‎3．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．‎ 解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.‎ 答案：x－2y＋2＝0或x＝2‎ ‎4．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．‎ 解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；‎ 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，‎ 则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.‎ 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0‎ ‎[学生用书P150]‎ ‎　　　　　　直线的倾斜角与斜率(典例迁移)‎ ‎ (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　　　 B．∪ C. D．∪ ‎(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．‎ ‎【解析】　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.‎ ‎(2)如图，因为kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈∪.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)∪ ‎【迁移探究1】　(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．‎ 解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以kAP＝＝，kBP＝＝.‎ 如图可知，直线l斜率的取值范围为.‎ ‎【迁移探究2】　(变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．‎ 解：如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．‎ ‎(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ‎①求出斜率k＝tan α的取值范围； ‎ ‎②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．‎ ‎(2)斜率的求法 ‎①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；‎ ‎②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．‎ ‎[提醒]　直线倾斜角的范围是，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分，与三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈时，斜率k∈；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈.‎ ‎1．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．‎ 解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．已知点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．‎ 解析：点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)>0，解得－0，b>0)，将点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.‎ 所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.‎ 法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0，‎ 可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，‎ 则A，B(0，2－3k)，‎ S△ABO＝(2－3k) ‎＝ ‎≥ ‎＝×(12＋12)＝12，‎ 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.‎ 所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.‎ ‎【迁移探究1】　(变问法)若本例条件不变，求|OA|＋|OB|的最小值及此时l的方程．‎ 解：法一：由原例题法一知＋＝1.‎ 因为|OA|＋|OB|＝a＋b，‎ 所以(a＋b)＝5＋＋≥5＋2.‎ 当且仅当a＝b，且＋＝1，‎ 即a＝3＋，b＝2＋时，‎ ‎|OA|＋|OB|的最小值为5＋2.‎ 此时，直线l的方程为＋＝1，‎ 即x＋3y－6－3＝0.‎ 法二：由原例题解法二知 ‎|OA|＋|OB|＝3－＋2－3k(k<0)‎ ‎＝5＋＋(－3k)‎ ‎≥5＋2＝5＋2.‎ 当且仅当－＝－3k，即k＝－时，‎ ‎|OA|＋|OB|取最小值5＋2.‎ 此时直线l的方程为y－2＝－(x－3)，‎ 即x＋3y－6－3＝0.‎ ‎【迁移探究2】　(变问法)若本例条件不变．求·的最大值及此时直线l的方程．‎ 解：由原例题法二知A(3－，0)，B(0，2－3k)，·＝(－，－2)·(－3，－3k)＝＋6k＝－[(－)＋(－6k)]≤－2 ＝－12，‎ 当且仅当－＝－6k时，即k＝－1时等号成立，此时直线l的方程为x＋y－5＝0.所以·的最大值为－12，所求直线l的方程为x＋y－5＝0.‎ ‎(1)给定条件求直线方程的思路 ‎①考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况；‎ ‎②在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程；‎ ‎③重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．‎ ‎(2)与直线有关的最值问题的解题思路 ‎①借助直线方程，用y表示x(或用x表示y)；‎ ‎②将问题转化成关于x(或y)的函数；‎ ‎③利用函数的单调性或基本不等式求最值．　 ‎ ‎1．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　　)‎ A．1 B． C．2 D．3‎ 解析：选D.当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.因为a>1，所以a－1>0.所以t≥5＋2＝9.‎ 当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立．‎ ‎2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________．‎ 解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，当a＝时，面积最小．‎ 答案： ‎[学生用书P152]‎ ‎　巧构造，妙用斜率求解问题 一、比较大小 ‎ 已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________．‎ ‎【解析】　作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲 线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，‎ 因为a>b>c>0，‎ 所以<<.‎ ‎【答案】　<< 对于函数f(x)图象上的两点(a，f(a))，(b，f(b))，比较与的大小时，可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小．　 ‎ 二、求最值 ‎ 已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．‎ ‎【解】　‎ 如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.‎ 易得A(1，1)，B(－1，5)，‎ 所以kPA＝＝，‎ kPB＝＝8，‎ 所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.‎ 对于求形如k＝，y＝的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解．　 ‎ 三、证明不等式 ‎ 已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a.‎ ‎【证明】　‎ 如图，设点P，M的坐标分别为(b，a)，(－m，－m)．‎ 因为00，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上．‎ 连接OP，PM，则kOP＝，kMP＝.‎ 因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，‎ 所以kMP>kOP，即>.‎ 根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果．　 ‎ ‎[学生用书P370(单独成册)]‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)‎ A.x－y＋1＝0　　　　 B．x－y－＝0‎ C.x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0‎ 解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.‎ ‎2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)‎ A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0‎ C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0‎ 解析：选A.由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.‎ ‎3．两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是(　　)‎ 解析：选B.直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．‎ ‎4．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)‎ A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞)‎ 解析：选C.令x＝0，得y＝，‎ 令y＝0，得x＝－b，‎ 所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．‎ ‎5．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选C.因为直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，‎ 所以a＋b＝ab，即＋＝1，‎ 所以a＋b＝(a＋b) ‎＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ 当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．‎ 所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.‎ ‎ 6.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是________．‎ 解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.‎ 令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.‎ 答案：k＜－1或k> ‎7．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．‎ 解析：由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.‎ 当y＝0时，x＝.‎ 所以＝a＋2，‎ 解得a＝－2或a＝1.‎ 答案：－2或1‎ ‎8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．‎ 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，‎ 当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．‎ 所以b的取值范围是[－2，2]．‎ 答案：[－2，2]‎ ‎9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：‎ ‎(1)过定点A(－3，4)；‎ ‎(2)斜率为.‎ 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.‎ 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，‎ 由已知，得|－6b·b|＝6，‎ 所以b＝±1.‎ 所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.‎ ‎10．已知射线l1：y＝4x(x≥0)和点P(6，4)，试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．‎ 解：设点Q坐标为(a，4a)，PQ与x轴正半轴相交于M点．‎ 由题意可得a＞1，否则不能围成一个三角形．‎ PQ所在的直线方程为：y－4＝(x－6)，‎ 令y＝0，x＝，‎ 因为a＞1，所以S△OQM＝×4a×，‎ 则S△OQM＝＝10＝‎ ‎10≥40，‎ 当且仅当(a－1)2＝1时取等号．‎ 所以a＝2时，Q点坐标为(2，8)，‎ 所以此时直线l的方程为：x＋y－10＝0.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为(　　)‎ A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0‎ C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0‎ 解析：选B.由l的方程，得A，B(0，2＋4k)．‎ 依题意得解得k>0.因为S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝·＝≥(2×8＋16)＝16，当且仅当16k＝，即k＝时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.‎ ‎2．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)‎ A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0‎ C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0‎ 解析：选C.因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.‎ ‎3．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)且点Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为(　　)‎ A. B． C．1 D．9‎ 解析：选B.因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又点Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号，故选B.‎ ‎4．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是____________．‎ 解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.‎ 联立得x2＋x＋6＝0.‎ 要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.‎ 所以实数m的取值范围是∪.‎ 答案：∪ ‎5.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．‎ 解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，‎ kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，)．‎ 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎ ‎6．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程．‎ 解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令 解得 所以无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．‎ ‎(2)直线方程可化为y＝kx＋1＋2k，当k≠0时，要使直线不经过第四象限，‎ 则有 解得k≥0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．‎ 综上，k的取值范围是k≥0.‎ ‎(3)依题意得A，B(0，1＋2k)，‎ 且 解得k>0.‎ 所以S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是4k＝，此时k＝，‎ 所以Smin＝4，‎ 此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎