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- 2021-06-24 发布
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石家庄二中2018——2019学年第二学期期末考试
高二数学(理)试卷
一、选择题:(每小题5分,共60分)
1.已知全集,集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析:,
所以 .
考点:集合的交集、补集运算.
2.复数的虚部为()
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则,化简复数,即可得到复数的虚部,得到答案.
【详解】由题意,复数,
所以复数的虚部为,故选B.
【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的概念的应用,其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
3.命题“,使是”的否定是()
A. ,使得 B. ,使得.
C. ,使得 D. ,使得
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题与特称命题的关系,准确改写,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,根据全称命题与特称命题的关系,可得命题“,使是”的否定为“,使得”故选D.
【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定,其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
4.已知,则()
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式,化为齐次式,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,可得
,故选D.
【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式,以及三角函数的基本关系式的化简、求值,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
5.在下列区间中,函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数在上单调递增,由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增,
且,
所以函数的零点在区间内,故选C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用,属于简单题.应用零点存在定理解题时,要注意两点:(1)函数是否为单调函数;(2)函数是否连续.
6.已知命题:若,则;:“”是“”的必要不充分条件,则下列命题是真命题的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:命题为假命题,比如,但,命题为真命题,不等式的解为,所以,而,所以“”是“”的必要不充分条件,由命题的真假情况,得出为真命题,选B.
考点:命题真假的判断.
【易错点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分必要条件的判断,属于易错题. 判断一个命题为假命题时,举出一个反例即可,判断为真命题时,要给出足够的理由. 对于命题,为假命题,容易判断,对于命题,要弄清楚充分条件,必要条件的定义:若,则是的充分不必要条件,若,则是的必要不充分条件,再根据复合命题真假的判断,得出为真命题.
7.设在定义在上的偶函数,且,若在区间单调递减,则()
A. 在区间单调递减 B. 在区间单调递增
C. 在区间单调递减 D. 在区间单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题设条件得到函数是以2为周期的周期函数,同时关于对称的偶函数,根据对称性和周期性,即可求解.
【详解】由函数满足,所以是周期为2的周期函数,
由函数在区间单调递减,可得单调递减,所以B不正确;
由函数在定义在上的偶函数,在区间单调递减,可得在区间单调递增,所以A不正确;
又由函数在定义在上的偶函数,则,即,
所以函数的图象关于对称,可得在区间单调递增,在在区间单调递增,所以C 不正确,D正确,
故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用,以及函数的周期性的判定,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
8.若,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据诱导公式和余弦的倍角公式,化简得,即可求解.
【详解】由题意,可得
,故选A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题,其中解答中合理配凑,以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
9.函数的图象大致是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为2、4是函数零点,所以排除B、C;
因为时,所以排除D,故选A
10.已知函数,如果,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数,求得函数的单调性和奇偶性,把不等式,转化为,即可求解.
【详解】由函数,可得,所以函数为单调递增函数,
又由,所以函数为奇函数,
因为,即,
所以,解得,故选A.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用,其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性,合理转化不等式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
11.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”,如果函数的“新驻点”分别为那么的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由已知得到:,
对于函数h(x)=lnx,由于h′(x)=
令,可知r(1)<0,r(2)>0,故1<β<2
,
且,选D.
12.设函数,若不等式恰有两个整数解,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的定义域、化简不等式,构造新函数,结合函数的图象,从而可得的范围,得到答案.
【详解】由题意,函数的定义域为,
不等式,即,即,
两边除以,可得,
又由直线恒过定点,
若不等式恰有两个整数解,
即函数图象有2个横坐标为整数的点落在直线的上方,
由图象可知,这2个点为,可得,
即,解得,
即实数的取值范围是,
故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用,其中解答中把不等式的解,转化为函数的图象的关系,合理得出不等式组是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
二、填空题:(每小题5分,共20分)
13.= .
【答案】
【解析】
令=y≥0,则(y≥0),∴表示的是上半圆在第一象限的部分的面积,其值等于,,
所以=+=.
考点:定积分.
14.若函数,则不等式的解集为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
分类讨论,分别求解不等式,即可求得不等式的解集,得到答案.
【详解】由题意,当时,令,解得,当时,令,解得,
所以不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查了分段函数的应用,以及指数函数的图象与性质的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
15.已知,,则的值为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式,求得,再由两角差的余弦函数的公式,即可求解.
【详解】由,即,
则,
又由,所以,
又由.
【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式,以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
16.已知函数,,若存在两切点,,,使得直线与函数和
的图象均相切,则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数求得点处的切线方程,联立方程组,根据判别式,令,得,构造新函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.
【详解】由题意,点在函数的图象上,令,则点,
又由,则,
所以切线方程,即,
联立方程组 ,整理得,
则,
令,整理得,且,
构造函数,
则,,
可得当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,所以,
即在上恒成立,所以函数在单调递减,
又由,
所以,解得.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性与,以及函数单调性,求解参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.
三、解答题:(70分)
17.已知直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数)
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(Ⅱ)若过且与直线垂直的直线与曲线相交于两点,,求.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的互化公式,即可求得直线的直角坐标方程,消去参数,即可求得曲线的普通方程;
(Ⅱ)求得直线的参数方程,代入椭圆的方程,利用直线参数的几何意义,即可求解.
【详解】(Ⅰ)由直线极坐标方程,
根据极坐标与直角坐标的互化公式,可得直线直角坐标方程:,
由曲线的参数方程为(为参数),则,
整理得,即椭圆普通方程为.
(Ⅱ)直线的参数方程为,即(为参数)
把直线的参数方程代入得:,
故可设,是上述方程的两个实根,则有
又直线过点,故由上式及的几何意义得:.
【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程,以及参数方程与普通方程的互化,以及直线参数的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
18.选修4-5:不等式选讲
设函数,
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(I)利用零点分段法去绝对值,将函数化为分段函数,由此求得不等式的解集为;(II)由(I)值,函数的最小值为,即,由此解得.
试题解析:
(I),
当,,,
当,,,
当,,,
综上所述.
(II)易得,若,恒成立,
则只需,
综上所述.
考点:不等式选讲.
【此处有视频,请去附件查看】
19.已知函数,是偶函数.
(1)求的值;
(2)解不等式.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)由函数是偶函数,可知,根据对数的运算,即可求解;
(2)由题,根据对数的运算性质,得,令,转化为,利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算,即可求解.
【详解】(1)由函数是偶函数,可知,
所以恒成立,
化简得,即,解得.
(2)由题,即,整理得,
令得,
解得或者,
从而或,解得或,
原不等式解集为.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用,指数函数、对数函数的运算性质,以及一元二次不等式的解法的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
20.已知函数.
(1)求曲线在原点处的切线方程.
(2)当时,求函数的零点个数;
【答案】(1)(2)函数零点个数为两个
【解析】
【分析】
(1)根据导数的几何意义,即可求解曲线在原点处的切线方程;
(2)由(1),求得函数的单调性,分类讨论,即可求解函数的零点个数.
【详解】(1)由题意,函数,则,则,
从而曲线在原点处的切线方程为.
(2)由(1)知,令得或,
从而函数单调增区间为,单调减区间为,
当时,恒成立,所以在上没有零点;
当时,函数在区间单调递减,且,存在唯一零点;
当时,函数在区间单调递增,且,存在唯一零点.
综上,当时,函数零点个数为两个.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程,以及利用导数研究函数的单调性及其应用,着重考查了分类讨论思想,推理与运算能力,属于基础题.
21.已知函数
(1)当为何值时,轴为曲线的切线;
(2)若存在(是自然对数的底数),使不等式成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)设曲线与轴相切于点,利用导数的几何意义,列出方程组,即可求解;
(2)把不等式成立,转化为,构造函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.
【详解】(1)设曲线与轴相切于点,则,,
即,
解得,即当时,轴为曲线的切线.
(2)由题意知,即,
设,则,
当时,,此时单调递减;
当时,,此时单调递增.
存在,使成立,等价于,即,
又,,故,
所以.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
22.已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)当时,证明:;
(3)设函数的图象与直线的两个交点分别为,,的中点的横坐标为,证明:.
【答案】(1)取得极大值,没有极小值(2)见解析(3)见解析
【解析】
【分析】
(1)利用导数求得函数的单调性,再根据极值的定义,即可求解函数的极值;
(2)由,整理得整理得,设,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.
(3)不妨设,由(1)和由(2),得,利用单调性,即可作出证明.
【详解】(1)由题意,函数,则,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以当时,取得极大值,没有极小值;
(2)由得
整理得,
设,
则,
所以在上单调递增,
所以,即,
从而有.
(3)证明:不妨设,由(1)知,则,
由(2)知,
由在上单调递减,所以,即,
则,所以.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.