2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§4-1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式（讲解部分） 18页

考点　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点清单 考向基础 一、三角函数的概念 1.象限角 第一象限角的集合   第二象限角的集合   第三象限角的集合   第四象限角的集合   终边落在 x 轴上的角的集合 { α | α = k π, k ∈Z} 终边落在 y 轴上的角的集合   终边落在坐标轴上的角的集合   终边与角 α 终边相同的角的集合 { β | β = α +2 k π, k ∈Z} 2.终边相同的角 3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化 1 ° =   rad;1 rad=   ° . (2)弧长及扇形面积公式 弧长公式: l =| α | r . 扇形面积公式: S =   lr =   | α | r 2 ,其中| α |为圆心角弧度数的绝对值, r 为扇形半 径. 4.三角函数 5.三角函数线 各象限内的三角函数线如下表: 注意:当角 α 的终边与 x 轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角 α 的正弦值和正切值都为0;当角 α 的终边与 y 轴重合时,余弦线变成一个点,正 切线不存在,此时角 α 的余弦值为0,正切值不存在. 二、同角三角函数的基本关系式 1.平方关系: sin 2 α +cos 2 α =1 . 2.商数关系:tan α =     . 三、诱导公式 　　角“   ± α ( k ∈Z)”的三角函数的记忆口诀为 “奇变偶不变,符号看象 限” . “奇”“偶”指的是 k ·   + α ( k ∈Z)中的整数 k 是奇数还是偶数.“变”与 “不变”是相对于对偶关系而言的,sin α 与cos α 对偶.“符号看象限”指的 是在 k ·   + α ( k ∈Z)中,将 α 看成锐角时, k ·   + α ( k ∈Z)的终边所在的象限. 【知识拓展】 1.两个常用结论 当 α ∈   时,(1)sin α < α 1. 2.常用同角三角函数公式的变形 (1)sin 2 α =1-cos 2 α ;(2)cos 2 α =1-sin 2 α ;(3)(sin α ± cos α ) 2 =1 ± 2sin α cos α ;(4)sin α = cos α tan α ;(5)sin 2 α =   =   ;(6)cos 2 α =   =   . 考向突破 考向一　三角函数的定义 例1　已知角2 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边过点(-1,   ), 2 α ∈[2π,4π),则sin α =   (　　) A.-   　    B.   　    C.-   　    D.   解析　由题意得,角2 α 的终边在第二象限,且tan 2 α =-   , 又知2 α ∈[2π,4π),∴2 α =2π+   ,即 α =π+   , ∴sin α =sin   =-sin   =-   ,故选C. 答案    C 考向二　同角三角函数的基本关系与诱导公式的应用 例2    (2020届河南、河北两省9月联考,14)若sin   =   , α ∈(0,π), 则tan α = 　　　     . 解析　∵sin   =   ,∴   (sin α -cos α )=   ,即sin α -cos α =   ①,两边平 方得1-2sin α ·cos α =   , ∴2sin α ·cos α =-   . ∴(sin α +cos α ) 2 =1+2sin α ·cos α =   , ∴sin α +cos α = ±   ②, 由①②解得   或   ∴tan α =   =-   或-   . 答案　-   或-   方法1 　用定义法求三角函数值 1.已知角 α 的终边上一点 P 的坐标,则可先求出 P 到原点的距离 r ,然后用三角 函数的定义求解. 2.已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上的一点坐标,求出此 点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若直线的倾斜角为 特殊角,则可直接写出角 α 的三角函数值. 方法技巧 例1    (2019福建三校联考,3)已知角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的 非负半轴重合,终边在直线 y =2 x 上,则cos 2 θ =   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   解析　解法一:设角 θ 的终边上任一点为 P ( k ,2 k )( k ≠ 0),则 r =   =   | k |. 当 k >0时, r =   k ,∴sin θ =   =   ,cos θ =   =   , ∴cos 2 θ =cos 2 θ -sin 2 θ =   -   =-   . 当 k <0时, r =-   k , ∴sin θ =-   =-   ,cos θ =-   =-   . ∴cos 2 θ =cos 2 θ -sin 2 θ =   -   =-   . 综上可得,cos 2 θ =-   ,故选B. 解法二:∵直线 y =2 x 的斜率 k =2=tan θ , ∴cos 2 θ =   =   =-   .故选B. 答案    B 方法2 　齐次式问题的求解方法 已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值,可以通过分子、分母 同时除以一个余弦的齐次幂,将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值 解题. 例2    (2020届河北衡水金卷周考卷(四),14)若tan θ -   =0,则cos 2 θ +   sin 2 θ 的值为 　　　     .   解析　由已知得tan θ =   =   =   =   =   =   =   , ∴cos 2 θ +   sin 2 θ =cos 2 θ +sin θ ·cos θ =   =   =   =   ×   =   . 答案