黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学文试题 16页

铁人中学2019-2020学年高二上期中考试数学 ‎（文）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.函数的导数为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据完全平方公式对展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 则函数的导函数,‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见初等函数的求导公式,属于基础题.‎ ‎2.已知曲线上一点，则A处的切线斜率等于( )‎ A. 9 B. 1 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，然后在导数中令，可得出所求切线的斜率.‎ ‎【详解】对函数求导得，故该曲线在点处的切线斜率为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要熟知导数的几何意义，考查对导数概念的理解，属于基础题.‎ ‎3.命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是 （ ）‎ A. ∃x0>0，使得x02－x0≤0 B. ∃x0>0，使得x02－x0>0‎ C. ∀x>0，都有x2－x>0 D. ∀x≤0，都有x2－x>0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果 ‎【详解】因为全称命题否定是特称命题，且需要改写量词，所以全称命题“，都有”的否定是特称命題“，使得”，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎4.双曲线的渐近线方程为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，化简后求得双曲线的渐近线的方程.‎ ‎【详解】依题意，令，即，也即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知双曲线方程求双曲线的渐近线方程，属于基础题.‎ ‎5.设函数在处存在导数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用在某点处的导数的定义来求解.‎ ‎【详解】，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查在某点处导数的定义，一般是通过构造定义形式来解决，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.‎ ‎6.已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】若△AF1B的周长为4,‎ 由椭圆的定义可知,,‎ ‎,,‎ ‎，‎ 所以方程为，故选A.‎ 考点：椭圆方程及性质 ‎7.函数在区间[－1，1]上的最大值是（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 0 D. －2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数在区间上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间上的最大值.‎ ‎【详解】令，解得或.，故函数的最大值为，所以本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查导数的运算，属于基础题.‎ ‎8.函数的极值点是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导得，求方程的根，再判断根的两边导数值不同号，从而得到函数的极值点.‎ ‎【详解】函数的导数为，‎ 当得或，‎ 当时，，当时，，‎ 所以是极小值点.‎ 当时，，当时，，‎ 所以不是极值点.故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的极值与导数之间的关系，若为函数的极值点，则必需满足两个条件：一是，二是在左右两边的单调性相反．同时熟练掌握复合函数的导数公式是解决本题的前提．‎ ‎9.抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为()‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意设出抛物线的方程，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.‎ ‎【详解】根据题意设出抛物线的方程，‎ 因为点在抛物线上，‎ 所以有，解得，‎ 所以抛物线的方程是：，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关抛物线的方程的求解问题，涉及到的知识点有根据抛物线所过的一个点，以及抛物线的对称轴求抛物线的方程的问题，注意开口方向不明确时抛物线方程的设法，属于简单题目.‎ ‎10.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ ‎11.下列说法错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”‎ B. “”是“”的充分而不必要条件 C. 若且为假命题，则、均为假命题 D. 命题“存在，使得”，则非“任意，均有”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且同时否定；‎ B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；‎ C中且为假命题，则、中至少有一个为假命题；‎ D中非是特称命题的否定，为全称命题；‎ 逐一判断即可得解.‎ ‎【详解】解：对于选项A，命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，即原命题为真命题；‎ 对于选项B，当时，，当，或，即原命题为真命题；‎ 对于选项C，若且为假命题，则、中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；‎ 对于选项D，命题“存在，使得”，则非“任意，均有”， 即原命题为真命题；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了命题逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.‎ ‎12.已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎：取的中点，连接，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质，以及已知，对这个等式，进行化简，得到，再根据椭圆的定义，结合，可以求出离心率.‎ ‎【详解】如下图所示：取的中点，连接，‎ ‎，， ，‎ ‎，，因为，所以设，，‎ ‎..由椭圆的定义可知：，，‎ ‎，，‎ ‎，，故本题选C.‎ ‎..【点睛】本题考查了借助向量的加减法的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及离心率.本题考查了运算能力.‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.已知双曲线的焦距为4.则a的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程，得到焦距为 ，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为双曲线的焦距为4，‎ 所以，解得.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎14.已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，得，由题意得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】解不等式，得，‎ 由于是的充分不必要条件，，，解得.‎ 当时，则有；当时，则有.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数的取值范围，同时也考查了绝对值不等式的解法，一般转化为集合的包含关系求解，同时也要注意等号能否成立，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.‎ ‎15.函数的递减区间为_______‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的递减区间.‎ ‎【详解】函数的定义域为，，故当时，，也即函数的递减区间为.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查函数定义域的求法，考查导数的运算，属于基础题.‎ ‎16.函数 的图象在 处的切线方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，利用导数的几何意义求得斜率，由点斜式写出切线方程.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故所求切线方程为.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数几何意义，以及导数的基本运算．比较基础．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.求下列函数的导数：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由导数的计算公式，进而计算，即可求解，得到答案；‎ ‎（2）由导数的乘法法则，进行计算、变形，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得.‎ ‎（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的计算，其中解答中熟练掌握导数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18.（Ⅰ）已知某椭圆过点，求该椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设出椭圆的方程，代入两个点的坐标即可求得椭圆的标准方程。‎ ‎（Ⅱ）根据与已知双曲线共有渐近线，可设出双曲线方程为；代入点的坐标求得λ的值即可求得双曲线的标准方程。‎ ‎【详解】（Ⅰ）设椭圆方程为 ‎ ，解得，所以椭圆方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设双曲线方程为，代入点 解得 ‎ ‎ 即双曲线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线标准方程的求法，双曲线的性质及渐近线应用，属于基础题。‎ ‎19.命题：函数有意义，命题：实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) （2，3）．(2) [1，2]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数有意义化简，求解分式不等式化简，再由为真，得，同时为真，取交集得答案；‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，得⫋，再由两角和端点值间的关系列不等式组求解．‎ ‎【详解】解：（1）由，得，‎ 即，其中，‎ 得，，‎ 则：，．‎ 若，则：，‎ 由，解得．‎ 即：．‎ 若为真，则，同时为真，‎ 即，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，‎ ‎∴即⫋．‎ ‎∴，且，不能同时成立，‎ 解得．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式及分式不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．‎ ‎20.已知函数在处的切线为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）（2）减区间为增区间为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎【详解】（1）依题意可得：‎ 又函数在处的切线为，‎ 解得：‎ ‎（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，‎ 当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；‎ 当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，‎ ‎∴的单调减区间为的单调增区间为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．‎ ‎21.己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，当的面积为时，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）：y2＝1；（Ⅱ）m ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意知：，，则 ‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（Ⅱ）设， ‎ 联立得：‎ ‎，解得：‎ ‎，‎ 又点到直线的距离为：‎ ‎，解得：‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.‎ ‎22.已知函数 ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，在定义域内恒成立，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为 ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的的定义域以及导函数，分类讨论，，情况下导数的正负，由此得到答案；‎ ‎（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得函数的最小值，要使在定义域内恒成立，则恒成立，令，利用导数求出的最值，从而得到实数的值。‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题可得函数的的定义域为，；‎ ‎（1） 当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间 ‎（2） 当时，恒成立，则单调递增区间，无单调递减区间；‎ ‎（3） 当时，令，解得：，令，解得：，则单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 综述所述：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时， 单调递增区间为，单调递减区间为，则；‎ 所以在定义域内恒成立，则恒成立，即，‎ 令，先求的最大值：，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以的单调增区间为，单调减区间为，则 ‎ 所以当时，恒成立，即在定义域内恒成立，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值，考查学生转化的思想和运算求解能力，属于中档题。‎ ‎ ‎