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- 2021-06-24 发布
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解答题规范专练(五) 平面解析几何
1.已知椭圆C:+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆上,且异于点A,B,直线AP,BP与直线l:y=-2分别交于点M,N.
(1)设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;
(2)求线段MN长的最小值.
2.(2015·北京西城模拟)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.
(1)求k的取值范围;
(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.
3.(2014·辽宁高考)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.
(1)求C1的方程;
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点.若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
答案
1.解:(1)由题意,A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),则x0≠0,
∴直线AP的斜率k1=,BP的斜率k2=.
又点P在椭圆上,∴+y=1(x0≠0),
从而有k1k2===-.
即k1k2为定值.
(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),
直线BP的方程为y-(-1)=k2(x-0),
由得
由得
∴直线AP与直线l的交点M,
直线BP与直线l的交点N.
又k1k2=-,
∴|MN|===+|4k1|
≥2=4,
当且仅当=|4k1|,即k1=±时等号成立,
故线段MN长的最小值是4.
2.解:(1)抛物线y=x2的焦点为.
由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),
令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).
因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,
所以1-k>,解得k<.
因为k>0,所以00,y0>0),
则切线斜率为-,
切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,
此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为
S=··=.
由x+y=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,
因此点P的坐标为(,).
由题意知解得a2=1,b2=2,
故C1的方程为x2-=1.
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),
由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.
由P(,)在C2上,得+=1,
解得b=3,因此C2的方程为+=1.
显然,l不是直线y=0.
设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(m2+2)y2+2my-3=0.
又y1,y2是方程的根,因此
由x1=my1+,x2=my2+,得
因为=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),
由题意知·=0,
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0,⑤
将①②③④代入⑤式整理得
2m2-2m+4-11=0,
解得m=-1或m=-+1.
因此直线l的方程为
x-y-=0或x+y-=0.