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  • 2021-06-24 发布

2016届高考数学(理)大一轮复习达标训练试题:解答题规范专练(五) 平面解析几何

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解答题规范专练(五) 平面解析几何 ‎1.已知椭圆C:+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆上,且异于点A,B,直线AP,BP与直线l:y=-2分别交于点M,N.‎ ‎(1)设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;‎ ‎(2)求线段MN长的最小值.‎ ‎2.(2015·北京西城模拟)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.‎ ‎3.(2014·辽宁高考)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.‎ ‎(1)求C1的方程;‎ ‎(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点.若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.‎ 答案 ‎1.解:(1)由题意,A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),则x0≠0,‎ ‎∴直线AP的斜率k1=,BP的斜率k2=.‎ 又点P在椭圆上,∴+y=1(x0≠0),‎ 从而有k1k2===-.‎ 即k1k2为定值.‎ ‎(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),‎ 直线BP的方程为y-(-1)=k2(x-0),‎ 由得 由得 ‎∴直线AP与直线l的交点M,‎ 直线BP与直线l的交点N.‎ 又k1k2=-,‎ ‎∴|MN|===+|4k1|‎ ‎≥2=4,‎ 当且仅当=|4k1|,即k1=±时等号成立,‎ 故线段MN长的最小值是4.‎ ‎2.解:(1)抛物线y=x2的焦点为.‎ 由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),‎ 令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).‎ 因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,‎ 所以1-k>,解得k<.‎ 因为k>0,所以00,y0>0),‎ 则切线斜率为-,‎ 切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,‎ 此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S=··=.‎ 由x+y=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,‎ 因此点P的坐标为(,).‎ 由题意知解得a2=1,b2=2,‎ 故C1的方程为x2-=1.‎ ‎(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),‎ 由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.‎ 由P(,)在C2上,得+=1,‎ 解得b=3,因此C2的方程为+=1.‎ 显然,l不是直线y=0.‎ 设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得(m2+2)y2+2my-3=0.‎ 又y1,y2是方程的根,因此 由x1=my1+,x2=my2+,得 因为=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),‎ 由题意知·=0,‎ 所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0,⑤‎ 将①②③④代入⑤式整理得 ‎2m2‎‎-‎2‎m+4-11=0,‎ 解得m=-1或m=-+1.‎ 因此直线l的方程为 x-y-=0或x+y-=0.‎

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