甘肃省会宁县第一中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题 16页

会宁一中2020届高三级第一次月考 数学（理科）试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合是1～20以内的所有素数，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】A＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，B＝{x|﹣8≤x≤8}；‎ ‎∴A∩B＝{2，3，5，7}．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查素数的定义，列举法、描述法表示集合的定义，以及交集的运算．‎ ‎2.下列函数中，在区间上为增函数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A、B可利用复合函数的单调性判断，选项C利用分段函数进行单调性判断，选项D为对勾函数，直接利用其性质即可判断其单调性 ‎【详解】选项A中，函数在上为减函数，不符合题意；‎ 选项B中，函数在上为增函数，符合题意；‎ 选项C中，函数在上为减函数，在上为增函数，不符合题意；‎ 选项D中，函数在上为减函数，在上为增函数，不符合题意．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】规律方法：复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．‎ ‎3.命题“” 的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由全称命题否定是特称命题即可得到答案．‎ ‎【详解】由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“” 的否定是“”；‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特殊命题的否定关系，属于基础题．‎ ‎4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. ‎10.1 ‎C. lg10.1 D. 10–10.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.‎ ‎【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.‎ ‎5.函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】 是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.‎ ‎【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为 ‎，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.‎ ‎6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用指数函数与对数函数的单调性即可比较大小.‎ ‎【详解】，‎ ‎∴‎ 故选A ‎【点睛】本题考查实数的大小比较，考查单调性的应用，涉及指数与对数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎7.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立.‎ ‎【详解】在上递减，‎ 若充分性成立， ‎ 若，则，‎ 必要性成立，‎ 即“”是“”的充要条件，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎8.函数在区间（0，3）上的最大值为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导判断单调性求最值即可 ‎【详解】，‎ 当 ，‎ 则在（0，e）上单调递增,在（e,3）上单调递减.‎ 故极大值点，又在区间（0，3）上有唯一极大值点，故为最大值点，所以最大值为 ‎ 故选A ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，准确计算是关键，是基础题 ‎9.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得恒成立，可解得a的范围．‎ ‎【详解】当时，f（x）＝，单调递减，∴f（x）最小值为f(2)=1，‎ 当x＞2时，f（x）＝单调递增，若满足题意，只需恒成立，‎ 即恒成立，‎ ‎∴，∴a≥0，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，考查了指对函数的单调性，属于中档题．‎ ‎10.在同一直角坐标系中，函数且图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.‎ ‎【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.‎ ‎【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.‎ ‎11.已知函数若存在实数满足，其中，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次函数的性质可得，数形结合求出的取值范围，可得的取值范围，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 画出 图象，如图，‎ ‎，‎ 由二次函数的性质可得，‎ 由图可知，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了二次函数指数函数的性质以及数形结果思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ ‎12.设min{m，n}表示m，n二者中较小的一个，已知函数f(x)＝x2＋8x＋14，g(x)＝‎ ‎(x>0)，若∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的最大值为 A. －4 B. －‎3 ‎C. －2 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的解析式，并求出它的值域.根据二次函数图像的特点，对分成和两类讨论，求出使得的值域是值域的子集成立的的范围，由此求得的最大值.‎ ‎【详解】令，解得，故当时，，当时，，所以.所以当时，函数的值域为，当时，的值域为，所以的值域为.函数，它的图像开口向上，对称轴为，则当时，函数在上的值域为，是的子集，符合题意.当时，函数在上的值域为，它是的子集，故，解得.综上所述，满足题意的的取值范围是.所以的最大值为，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义最小值函数的理解，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于中档题.‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知扇形的圆心角为，半径为，则圆心角所对的弧长为____‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用弧长公式即可计算．‎ ‎【详解】由弧长得： ‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】本题考查了扇形弧长的应用，根据公式代入求出是解题关键，属于基础题．‎ ‎14.已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由时，得到函数是周期为1的函数，可得，即可求解．‎ ‎【详解】由函数，可得当时，满足，‎ 所以函数是周期为1的函数，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，以及函数的周期性的应用，其中解答中得到函数的周期性，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15.设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．‎ ‎【答案】 (1). -1; (2). .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.‎ ‎【详解】若函数为奇函数,则，‎ 对任意的恒成立.‎ 若函数是上的增函数,则恒成立,.‎ 即实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.‎ ‎16.已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．‎ ‎【答案】4038.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解．‎ ‎【详解】由知：‎ 得函数的图象关于点对称 又函数的图象关于点对称 则函数图象与函数图象的交点关于点对称 则 故，‎ 即 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值;‎ ‎【答案】（1）8；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)利用三角函数基本关系式，弦化切，求值计算；(2)先利用三角函数诱导公式，化简代数式，然后利用同角三角函数基本关系式，求值计算.‎ 试题解析：(1)===,‎ ‎(2)====‎ ‎18.已知集合，集合.‎ ‎(1)若，求实数的取值范围；‎ ‎(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在实数，使得.．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依据题设中的集合包含关系分或类建立不等式进行求解；（2）依据集合相等建立方程组求解．‎ 解：(1)因为，所以集合可以分为或两种情况来讨论：‎ 当时，.‎ 当时，得.‎ 综上，.‎ ‎(2)若存在实数，使，则必有，无解.‎ 故不存在实数，使得.‎ ‎19.已知函数，.‎ ‎（1）若，求函数的单调减区间；‎ ‎（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的范围.‎ ‎【答案】（1）（2）a≥﹣2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函的递减区间即可；‎ ‎（2）问题等价于在x∈（0，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【详解】解（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a）‎ 由f'（x）＜0且a＜0得：‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间为 ‎（2）依题意x∈（0，+∞）时，不等式2xlnx≤f'（x）+a2+1恒成立，‎ 等价于在x∈（0，+∞）上恒成立． ‎ 令 则 ‎ 当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增 当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减 ‎∴当x＝1时，h（x）取得最大值h（1）＝﹣2‎ 故a≥﹣2‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．‎ ‎20.已知，且，设函数在上单调递减，函数在上为增函数，为假，为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当命题分别为真时，分别求出的范围，由条件得到为一真一假，再根据集合运算求实数的取值范围.‎ ‎【详解】当真时，；当为真时，，‎ 因为为假，为真，所以或 所以或 所以.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二次函数性质的灵活运用.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程即可．（2）求函数的导数确定f（x ‎）在x＝1处取得极值，则在区间（m，m）内，建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】（1）‎ 故切线的斜率为，又 ‎∴切线方程为：，即 ‎（2）当时，当时，‎ 在（0，1）上单调递增,在（1.+）上单调递减．‎ 故在处取得极大值．‎ ‎∵在区间上存在极值，‎ ‎∴且，解得 ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，函数的极值，求函数的导数，利用函数与导数之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据原点对称，将问题等价为方程在有解，令，，利用导数研究函数的单调性以及最值即可得出结果．（2）等价于，再根据极值点条件列函数关系式，最后利用导数研究对应函数的单调性，即可得证.‎ ‎【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点，‎ 即的图像与函数的图像有交点，‎ 即在上有解.‎ 即在上有解.‎ 设，（），则 当时，为减函数；当时，为增函数，‎ 所以，即.‎ ‎（2）证明：．‎ 可得，‎ ‎，，‎ ‎∵在上存在两个极值点，，且，‎ ‎∴，在上存在两个零点，，且，‎ ‎∴，．‎ ‎∴，．‎ ‎∴，‎ 令，则，‎ 要证明：．即证明：，‎ 即证明：．‎ 令，．‎ ‎．‎ ‎∴函数在上单调递增．‎ ‎∴，即，成立．‎ ‎∴成立．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分析法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎