2020届二轮复习　分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合课件（全国通用） 12页

第十章 计数原理 §10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合 高考理数 考点　计数原理、排列、组合 1.两个计数原理的联系与区别 知识清单 数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作   . 注意　易混淆排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数而是一件 事,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数. 3.组合与组合数 (1)组合:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素组成一组,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合. (2)组合数:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素的所有不同组合的个 数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,记作   . 2.排列与排列数 (1)排列:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素,按照一定的① 　顺序     排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)排列数:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素的所有不同排列的个 注意　易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关. 4.排列数、组合数的公式及性质 常见的解题策略有以下几种: (1)特殊元素优先安排的策略; (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略; (7)定序问题除法处理的策略; (8)分排问题直接处理的策略; (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略. 排列、组合问题的解题方法 方法 1 方法技巧 例1　有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)选其中5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻. 解题导引   解析　 (1) 从 7 个人中选 5 个人来排列 , 有   =7 × 6 × 5 × 4 × 3=2 520( 种 ). (2) 分两步完成 , 先选 3 人排在前排 , 有   种方法 , 余下 4 人排在后排 , 有   种方法 , 故共有   ·   =5 040( 种 ). 事实上 , 本小题即为 7 人排成一排的全排 列 , 无任何限制条件 . (3)( 优先法 ) 甲为特殊元素 , 先排甲 , 有 5 种方法 ; 其余 6 人有   种方法 , 故共 有 5 ×   =3 600( 种 ). (4)( 捆绑法 ) 将女生看成一个整体 , 与 3 名男生在一起进行全排列 , 有   种 方法 , 再将 4 名女生进行全排列 , 也有   种方法 , 故共有   ×   =576( 种 ). (5)( 插空法 ) 男生互不相邻 , 而女生不作要求 ,∴ 应先排女生 , 有   种方法 , 再在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生 , 有   种方 法 , 故共有   ×   =1 440( 种 ). 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型. 解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是非均匀分组,无序 分组要除以均匀组数的阶乘数,还要考虑是否与顺序有关,有序分组要 在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数. 例2　按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本; 分组分配问题 方法 2 (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 解析　(1)无序不均匀分组问题. 先选1本,有   种选法;再从余下的5本中选2本,有   种选法;最后余下3本 全选,有   种选法. 故共有     =60(种). (2)有序不均匀分组问题. 由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有       =360(种). (3)无序均匀分组问题. 先分三步,则应是     种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 A , B , C , D , E , F ,若第一步取了 AB ,第二步取了 CD ,第三步取了 EF ,记该种分法为( AB , CD , EF ),则     种分法中还有( AB , EF , CD ),( CD , AB , EF ),( CD , EF , AB ),( EF , CD , AB ),( EF , AB , CD ),共有   种情况,而这   种情况仅是 AB , CD , EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有   =15 (种). (4)有序均匀分组问题. 在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式   ·   =     =90 (种). (5)无序部分均匀分组问题. 共有   =15(种). (6)有序部分均匀分组问题. 在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式   ·   =90(种). (7)直接分配问题. 甲选1本,有   种方法;乙从余下的5本中选1本,有   种方法;余下4本留给 丙,有   种方法.共有分配方式     =30(种).