湖南省岳阳市2020届高三教学质量检测（二）数学（文）试题 15页

岳阳市2020届高三教学质量检测试卷（二）‎ 数学（文科）‎ 分值：150分 时量：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．‎ ‎1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎2．已知集合，，若，则实数的值可以为（ ）‎ A．2 B．‎1 ‎C．0 D．‎ ‎3．命题，命题直线与直线垂直，则是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若，则实数的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ）‎ A．42 B．‎21 ‎C．7 D．3‎ ‎6．已知向量，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）‎ A．5 B．‎4 ‎C．3 D．2‎ ‎9．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）‎ A．9 B．‎6 ‎C．4 D．3‎ ‎10．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文：弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实及黄实，利用2×勾×股+（股-勾）朱实+黄实=弦实，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）‎ A．866 B．‎500 ‎C．300 D．134‎ ‎11．已知函数，则曲线过点的切线条数为（ ）‎ A．3 B．‎2 ‎C．1 D．0‎ ‎12．关于函有下述四个结论：‎ ‎①的图象关于轴对称；②在有3个零点；‎ ‎③的最小值为；④在区间单调递减．‎ 其中所有正确结论的序号是（ ）‎ A．①② B．①③ C．①④ D．③④‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎13．在中，内角、、的对边长分别为、、，若，，则_________．‎ ‎14．已知实数，满足，则目标函数的最大值为_________‎ ‎15．直三棱柱的顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于________．‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，已知点．线段上的动点满足；线段上的动点满足．直线与直线交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为_________；当变化时，动点一定在_________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17．如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，，，平面平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎18．等差数列的公差为2，、、分别等于等比数列的第2项、第3项、第4项．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前2020项的和．‎ ‎19．新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此次战“疫”进行了持续、深入的宣传，帮助全体市民深入了解新冠病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新冠病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关知识问卷，随机抽取了年龄在15~75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年人和中老年人”经统计“青少年人”和中老年人的人数之比为19∶21．其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2∶1．‎ ‎（1）求图中，的值；‎ ‎（2）现采用分层抽样在和中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？‎ ‎（3）根据已知条件完成下面的 列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识？‎ 了解全面 了解不够全面 合计 青少年人 中老年人 合计 附表及公式，其中．‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20．已知椭圆的左，右点分别是、，是椭圆上一点，为的内切圆圆心，，且的周长为6．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点，若．求四边形面积的最大值．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在新中国成立70周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，为该曲线上的任意一点．‎ ‎（1）当时，求点的极坐标；‎ ‎（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 函数．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若存在，且，使得成立，求的取值范围．‎ 岳阳市2020届高三教学质量检测试卷（二）‎ 数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】因为，所以的虚部为2．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】∵，，且，∴，∴的值可为．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】若两直线垂直，则，解得或，所以是的充分不必要条件．‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】依题意，由对数函数的性质可得，由指数函数的性质及对数的性质，可得，故．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】∵，∴，∵．‎ ‎6【答案】D ‎【解析】∵，∴，即，将和代入，得出，所以．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】，则就是异面直线与所成角（或其补角），设正方体棱长为1，为的中点，就是与的交点，则，由正方体知，∴．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】模拟执行循环结构的程序框图，可得：，‎ 第1次循环：；‎ 第2次循环：；‎ 第3次循环：，‎ 此时满足判断框的条件，输出．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】设，，抛物线焦点坐标，准线方程：，‎ ‎∵，∴点是重心，则．‎ 而，，‎ ‎∴．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】如图，设勾为，则股为，∴弦为，则图中大四边形的面积为，小四边形的面积为，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】设切点坐标，‎ 由，得，∴切线斜率，‎ 所以过的切线方程为，即，‎ ‎∵切线过点，故，令，则，由，解得或，‎ 当，时，；当时，，‎ 所以的极大值极小值分别为，，‎ 故其图像与轴交点2个，也就是切线条数为2．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】，则函数为上的偶函数，故①正确；‎ 当时，，令，则在区间的零点只有一个，所以在有2个零点，故②错误；‎ 在的最小值为：，‎ 因为函数，所以函数的周期为由对称性以及周期性可知，函数的最小值为：，故③错误；‎ 当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，故④正确．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】因为，，所以，所以．‎ ‎14．【答案】6‎ ‎【解析】作出可行域，如图所示：由图可知最优解为，‎ 所以．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】如图，取，的中点，，由条件可知，，是和 的外接圆的圆心，连接，取的中点，连接，是直三棱柱外接球的球心，，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴此球的表面积等于．‎ ‎16．【答案】；双曲线 ‎【解析】∵；∴，又，∴；‎ ‎∵．∴，∴，‎ ‎∴．‎ 设，则，，∴，‎ ‎∴，即．故答案为，双曲线．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17．【解析】（1）∵为等边三角形，且为的中点，∴．‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，∵平面，∴，‎ 又，，、平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）∵，且，，‎ ‎∴．‎ 又是边长为2的等边三角形，且为的中点，则，且，‎ ‎∴的面积为．‎ 因此，三棱锥的体积为 ‎18．【解析】（1）依题意得：，所以，‎ 所以，解得．‎ ‎∴．‎ 设等比数列的公比为，所以，‎ 又，∴．‎ ‎（2）由（1）知，，．‎ 因为 ①‎ 当时， ②‎ 由①-②得，，即，‎ 又当时，不满足上式，‎ ‎∴‎ 数列的前2020项的和 设 ③，‎ 则 ④，‎ 由③-④得：‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎19．【解析】（1）由题意得，解得 ‎（2）由题意得在中抽取6人，记为，，，，，，在中抽取2人，记为1，2．‎ 则从8人中任取2人的全部基本事件（共28种）列举如下：‎ ‎，‎ 记2人中至少有1个是“中老年人”的概率是，则．‎ ‎（3）列联表如下：‎ 了解全面 了解不够全面 合计 青少年人 ‎40‎ ‎55‎ ‎95‎ 中老年人 ‎70‎ ‎35‎ ‎105‎ 合计 ‎110‎ ‎90‎ ‎200‎ 所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加非常全面了解防控的相关知识．‎ ‎20．【解析】（1）∵，∴，即①‎ 又∵的周长为6∴，即②‎ 由①②可得，则，∴椭圆方程为 ‎（2）设直线的方程为，，，则由联立消可得，，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，令 ‎∴，∴，又∵在区间上单调递增，‎ ‎∴，∴，∴四边形的面积最大值为 ‎21．【解析】（1），定义域，‎ ‎，‎ 由，在增，在减，‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 令，‎ 令，在单调递增，，‎ 在存在零点，即 由于在单调递增，故，即 在减，在增，‎ 所以 ‎22．【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎【解析】（1）有，即，，，，‎ ‎∴或 ‎∴点的极坐标为或 ‎（2）设射线的极角为，，，‎ 即 ‎∴的最大值为 ‎23．【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎【解析】（1）（法1）∵，‎ ‎∴．‎ ‎（法2）∵，‎ ‎∴当时，；‎ 当时，．‎ 综上，．‎ ‎（2）当时，，‎ 所以，‎ 当且仅当，时，取等号，‎ 因为存在，，使得成立，‎ 所以，‎ 所以或或．‎