黑龙江省哈尔滨市尚志市尚志中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试卷 22页

理科数学试题 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B．‎ 考点：概率问题 ‎2.设，则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】化简不等式，可知 推不出；‎ 由能推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．‎ ‎3.椭圆的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的方程求得，得到，再利用离心率的定义，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，根据椭圆方程可知，则，‎ 所以椭圆的离心率为，选D．‎ ‎【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．‎ ‎4.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，第一循环：，能被3整除，不成立，‎ 第二循环：，不能被3整除，不成立，‎ 第三循环：，不能被3整除，成立，‎ 终止循环，输出，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎5.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．‎ ‎【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，‎ 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，‎ 所以，‎ 若，则，不合题意；若，则，不合题意；‎ 若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查系统抽样.‎ ‎6.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．‎ ‎【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．‎ 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，‎ 中位数仍为，A正确．‎ ‎②原始平均数，后来平均数 平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确 ‎③‎ 由②易知，C不正确．‎ ‎④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．‎ ‎【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.‎ ‎7.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），‎ 故选D.‎ 考点：双曲线的简单性质 ‎【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.‎ ‎8.用秦九韶算法求多项式在时的值时，其中的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：直接利用秦九韶算法的基本原理求解即可.‎ 详解：由已知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选D.‎ 点睛：本题主要考查秦九韶算法的基本应用，意在考查利用基本原理解决问题的能力,属于基本题.‎ ‎9.为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.‎ 详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.‎ 详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎11.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则 ‎，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.‎ 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.‎ ‎12.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.‎ 详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,‎ 由斜率为得，，‎ 由正弦定理得,‎ 所以，故选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.‎ ‎【答案】0．98‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．‎ ‎【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为．‎ ‎【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．‎ ‎14.已知命题：若，则；命题：若，则.在命题①；②‎ ‎；③；④中，真命题是___(填序号)．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题p：若，则，是真命题；命题q：若，则，是假命题；利用复合命题的真假的判定方法即可得出．‎ ‎【详解】命题：若，则，为真命题；‎ 命题：当，时，满足，但不满足，故命题为假命题.‎ ‎∴，均为假命题；，均为真命题.‎ 故答案为: ②③.‎ ‎【点睛】解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题，的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假.‎ ‎15.尚祥学校早上7：40上课，假设该校学生小付与小马在早上7:00—7:20之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小付比小马至少早5分钟到校的概率为_________.（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立线性规划模型，结合几何概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】时间长度为分钟，设小付到校时间为，小马到校时间为，依题意，画出可行域如下图阴影部分所示，根据几何概型概计算公式可知， 小付比小马至少早分钟到校的概率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线性规划的实际应用，考查几何概型概率计算，考查数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．‎ 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ 三、解答题（17题10分，18~22题12分，共70分）‎ ‎17.某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：‎ 未使用节水龙头天的日用水量频数分布表 日用水量 频数 使用了节水龙头天的日用水量频数分布表 日用水量 频数 ‎（Ⅰ）作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）使用了节水龙头天的日用水量频数分布表，画出频率分布直方图；（Ⅱ）计算出未使用水龙头天的日均水量和使用节水龙头天的日均用水量，得到日均节水量，然后求出一年能节省的水量.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）根据使用了节水龙头天的日用水量频数分布表，‎ 作出使用了节水龙头天日用水量数据的频率分布直方图．如下图 ‎（Ⅱ）由题意得未使用水龙头天的日均水量为：‎ ‎，‎ 使用节水龙头天的日均用水量为：‎ ‎，‎ ‎∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的画法，根据频数分布表进行计算，属于简单题.‎ ‎18.设有关于的一元二次方程．‎ ‎（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程当时有实根的充要条件为，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到事件发生的概率． ‎ ‎（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为，．构成事件的区域为，，．根据几何概型公式得到结果．‎ ‎【详解】解：设事件为“方程有实数根”．当 时，方程有实数根的充要条件为．‎ ‎（Ⅰ）基本事件共12个：‎ ‎．‎ 其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．‎ ‎（Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为．构成事件的区域为，所求的概率为 ‎【点睛】本题考查几何概型和古典概型，放在一起目的是把两种概型加以比较，属于基础题．‎ ‎19. 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎ ‎2007 ‎ ‎2008 ‎ ‎2009 ‎ ‎2010 ‎ ‎2011 ‎ ‎2012 ‎ ‎2013 ‎ 年份代号t ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎7 ‎ 人均纯收入y ‎ ‎2.9 ‎ ‎3.3 ‎ ‎3.6 ‎ ‎4.4 ‎ ‎4.8 ‎ ‎5.2 ‎ ‎5.9 ‎ ‎ ‎ ‎（1）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，‎ ‎【答案】（1）；（2）在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加千元；元.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查线性回归方程、平均数等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用平均数的计算公式，由所给数据计算和，代入公式中求出和，从而得到线性回归方程；第二问，利用第一问的结论，将代入即可求出所求的收入．‎ 试题解析：（1）由所给数据计算得＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＝4，＝（2．9＋3．3＋3．6＋4．4＋4．8＋5．2＋5．9）＝4．3，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所求回归方程为．‎ ‎（2）由（1）知，，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0．5千元．‎ 将2017年的年份代号t＝9，代入（1）中的回归方程，得，‎ 故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6．8千元．‎ 考点：线性回归方程、平均数．‎ ‎20.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．‎ 由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为，‎ 由（1）可知，平面，故，可得平面 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 即 可取.‎ 设是平面的法向量，则 即可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：‎ ‎①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；‎ ‎②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；‎ ‎③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.‎ ‎21.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点．‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1） 取的中点，连结，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．‎ 试题解析：（1）取中点，连结，．‎ 因为为的中点，所以,,由得，又 所以．四边形为平行四边形， ．‎ 又，，故 ‎（2）‎ 由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，‎ 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 则，，，，‎ ‎,则 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以 ‎，‎ 即（x-1）²+y²-z²=0‎ 又M在棱PC上,设 由①，②得 所以M，从而 设是平面ABM的法向量，则 所以可取.于是 因此二面角M-AB-D的余弦值为 点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．‎ ‎（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos ‎ θ|＝|cos|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．‎ ‎22.‎ 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；‎ ‎（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.‎ ‎（i）证明：是直角三角形；‎ ‎（ii）求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件；‎ ‎（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形；‎ ‎（ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；‎ ‎（2）（i）设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限，所以，因此点的坐标为 直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解 所以有，代入直线方程中，得 ‎，所以点的坐标为，‎ 直线的斜率为; ,‎ 因为所以，因此是直角三角形；‎ ‎（ii）由（i）可知：，‎ 的坐标为，‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎,因为，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.‎ ‎ ‎