高中数学必修1抽象函数奇偶性对称性周期性 9页

‎ ‎ 抽象函数的对称性、奇偶性与周 ‎ 1、周期函数的定义：‎ 对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。‎ 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:‎ ‎。把个单位即按向量在其他周期的图像：。‎ ‎2、奇偶函数：‎ 设 ①若 ②若。‎ 分段函数的奇偶性 ‎3、函数的对称性：‎ 二、函数对称性的几个重要结论 ‎（一）函数图象本身的对称性（自身对称）‎ 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。‎ ‎1、 图象关于直线对称 推论1： 的图象关于直线对称 推论2、 的图象关于直线对称 推论3、 的图象关于直线对称 ‎2、 的图象关于点对称 ‎ ‎ 推论1、 的图象关于点对称 推论2、 的图象关于点对称 推论3、 的图象关于点对称 ‎（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）‎ ‎1、偶函数与图象关于Y轴对称 ‎2、奇函数与图象关于原点对称函数 ‎3、函数与图象关于X轴对称 ‎4、互为反函数与函数图象关于直线对称 ‎5.函数与图象关于直线对称 ‎ 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与 图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 ‎ ‎ ‎（三）抽象函数的对称性与周期性 ‎1、抽象函数的对称性 性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：‎ ‎（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)‎ 性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：‎ ‎（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)‎ 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。‎ ‎ 2、复合函数的奇偶性 定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。‎ 定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。‎ 说明：‎ ‎（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。‎ ‎ ‎ ‎（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)‎ ‎（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）‎ ‎ 3、复合函数的对称性 性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称 性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称 推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称 推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称 ‎ 4、函数的周期性 若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。‎ ‎①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)‎ ‎③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)‎ ‎5、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|‎ 性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|‎ 性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|‎ ‎ 6、函数对称性的应用 ‎ （1）若,即 ‎ （2）例题 ‎ 1、;‎ ‎ 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：。‎ ‎ 3、若的图像关于直线 ‎ ‎ 对称。设 ‎.‎ ‎（四）常用函数的对称性 三、函数周期性的几个重要结论 ‎1、( ) 的周期为，()也是函数的周期 ‎2、 的周期为 ‎3、 的周期为 ‎4、 的周期为 ‎5、 的周期为 ‎6、 的周期为 ‎7、 的周期为 ‎8、 的周期为 ‎9、 的周期为 ‎10、若 ‎11、有两条对称轴和 周期 推论：偶函数满足 周期 ‎ ‎ ‎12、有两个对称中心和 周期 推论：奇函数满足 周期 ‎13、有一条对称轴和一个对称中心的 四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型 灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。‎ ‎1.求函数值 例1.（1996年高考题）设是上的奇函数，当时，，则等于（-0.5）‎ ‎（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.‎ 例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。‎ ‎2、比较函数值大小 例3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.‎ 解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，‎ ‎3、求函数解析式 例4.（1989年高考题）设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.‎ 解：设 时，有 ‎ 是以2 为周期的函数，.‎ 例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.‎ ‎ ‎ 解：当，即，‎ 又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，‎ ‎4、判断函数奇偶性 例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，‎ 判断函数的奇偶性.‎ 解：由的周期为4，得，由得 ‎，故为偶函数.‎ ‎5、确定函数图象与轴交点的个数 例7.设函数对任意实数满足， ‎ 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.‎ 解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间上，‎ 故图象与轴至少有2个交点.‎ 而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.‎ ‎6、在数列中的应用 例8.在数列中，，求数列的通项公式，并计算 分析：此题的思路与例2思路类似.‎ ‎ ‎ 解：令则 不难用归纳法证明数列的通项为：，且以4为周期.‎ 于是有1，5，9 …1997是以4为公差的等差数列，‎ ‎，由得总项数为500项，‎ ‎7、在二项式中的应用 例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？‎ 分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.‎ 解：‎ 因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，‎ 故天为星期四.‎ ‎8、复数中的应用 例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是 ‎（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.‎ 分析：运用方幂的周期性求值即可.‎ 解：，‎ ‎ ‎ ‎9、解“立几”题 例11.ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ‎（A）1； （B）；（C） ； （D）0.‎ 解：依条件列出白蚁的路线 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.‎ ‎1990=6，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在点，白蚁在C点，故所求距离是 例题与应用 例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值 ‎ 例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2‎ 例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式 例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.‎ 例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数 例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值. ‎ ‎ ‎ 例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，‎ 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？ 解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10‎ ‎ 故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0‎ ‎ 即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根 ‎ 又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，‎ ‎ 因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+=401个根.‎ 例1、 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ）‎ A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于 点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）‎ 例2、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）‎ 例3、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）‎ 例4、 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ）‎ A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 六、巩固练习 ‎1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象。‎ A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，‎ ‎　　f(x)＝x，则f(7.5)=（   ）。‎ ‎　　A．0.5         B．－0.5         C．1.5           D．－1.5‎ ‎3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，‎ ‎　　f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（   ）。‎ ‎　　A．偶函数，又是周期函数     B．偶函数，但不是周期函数 ‎　　C．奇函数，又是周期函数     D．奇函数，但不是周期函数 ‎4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T＝2。‎ ‎5、在数列求=-1．‎