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- 2021-06-24 发布
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课时提能演练(十二)
(45 分钟 100 分)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1.(2011·福建高考)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数
m 的取值范围是( )
(A)(-1,1)
(B)(-2,2)
(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)
(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
2.函数 f(x)=- +log2x 的一个零点落在下列哪个区间( )
(A)(0,1) (B)(1,2)
(C)(2,3) (D)(3,4)
3.(2012·福州模拟)下列图象表示的函数能用二分法求零点的是( )
4.(预测题)设函数 f(x)=n-1,x∈[n,n+1),n∈N,函数 g(x)=log2x,则方程
1
x
f(x)=g(x)的实数根的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5.(2012·揭阳模拟)若函数 y=( )|1-x|+m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值
范围是( )
(A)m≤-1 (B)m≥1
(C)-1≤m<0 (D)0b;③dc 中有可能成立的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)
7.函数 f(x)= 的零点个数为_______.
8.(2012·衡水模拟)已知函数 f(x)=3x+x-5 的零点 x0∈[a,b],且 b-a=1,a,b∈
N*,则 a+b=_________.
9.(易错题)若函数 f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1 有且仅有一个零点,则实数 m 的
取值集合是_________.
三、解答题(每小题 15 分,共 30 分)
10.(2012·长沙模拟)已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,
f(x)=x2-2x.
(1)写出函数 y=f(x)的解析式;
(2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围.
1
2
1
3
2 1x 2 x ,x 02
lgx 1,x 0
− + ≤
− >
11.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c.
(1)若 a>b>c 且 f(1)=0,试证明 f(x)必有两个零点;
(2)若对 x1,x2∈R,且 x10,
解得 m>2 或 m<-2.
2.【解析】选 B.∵f(1)=-1+log21=-1<0,
f(2)=- +log22= >0,
∴f(1)·f(2)<0,故选 B.
3.【解析】选 C.能用二分法求零点,必须满足零点两侧函数值异号.
4.【解题指南】在同一坐标系中作出函数 f(x)和 g(x)的图象,数形结合求解.
【解析】选 C.画出 f(x)和 g(x)的图象,如图所示,从图中不难看出方程
f(x)=g(x)有 3 个零点.
1
2
1
2
1
2
1
2
5.【解析】选 C.由已知函数 y=( )|1-x|+m 有零点,即方程( )|1-x|+m=0 有解,
此时 m=-( )|1-x|.
∵|1-x|≥0,∴0<( )|1-x|≤1,
∴m∈[-1,0).
6.【解析】选 C.由题意,f(x)=( )x-log2x 在(0,+∞)上是减函数,
∵正数 a,b,c 依次成公差为正数的等差数列,
∴af(b)>f(c),
又 f(a)·f(b)·f(c)<0,
∴f(c)<0,又 f(d)=0,
∴d0,f(b)>0,则 ad,b>d.故①正确.
综上,有可能成立的为 3 个.
【变式备选】已知函数 f(x)=( )x-log2x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且
0f(x0)=0.
7.【解题指南】作出函数 f(x)的图象,数形结合求解.
【解析】作出函数 f(x)的图象,从图象中可知函数 f(x)的零点有 4 个.
答案:4
8.【解析】由已知 x0∈[a,b],且 b-a=1,a,b∈N*,
∴a,b 的可能取值为 a=1,b=2,或 a=2,b=3,…
又 f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0,
∴f(1)f(2)<0,故 a=1,b=2 符合要求.
又∵f(x)为增函数,当 x 取大于或等于 2 的整数时,所对应的函数值都大于 0,
∴a=1,b=2.
∴a+b=1+2=3.
答案:3
9.【解析】当 m=1 时,f(x)=4x-1=0,得 x= ,符合要求.
当 m≠1 时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即 m2+3m=0,解得:m=-3 或 m=0,
∴m 的取值集合是{-3,0,1}.
1
3
1
4
答案:{-3,0,1}
【误区警示】本题求解过程中易忽视 m=1 而失误.根据原式将 f(x)误认为二次
函数.
10.【解析】(1)当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),
∵y=f(x)是奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]
=-x2-2x,
∴f(x)=
(2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;
当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为 1.
∴据此可作出函数 y=f(x)的图象(如图所示),根据图象得,若方程 f(x)=a 恰有
3 个不同的解,则 a 的取值范围是(-1,1).
11.【证明】(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即 ac<0.
又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0,∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根,∴函数 f(x)必有
2
2
x 2x x 0.
x 2x x 0
− ≥− − <
两个零点.
(2)令 g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)],则 g(x1)=f(x1)- [f(x1)+f(x2)]=
,
g(x2)=f(x2)- [f(x1)+f(x2)]
= .
∴g(x1)g(x2)=[ ]·[ ]
=- [f(x1)-f(x2)]2.
∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)g(x2)<0.
∴g(x)=0 在(x1,x2)内必有一实根.
即 f(x)= [f(x1)+f(x2)]必有一实根属于(x1,x2).
【探究创新】
【解析】(1)“对于任意的 a∈R(R 为实数集),方程 f(x)=1 必有实数根”是真
命题.
依题意:f(x)=1 有实根,即 x2+(2a-1)x-2a=0 有实根,
∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0 对于任意的 a∈R(R 为实数集)恒成立,即
x2+(2a-1)x-2a=0 必有实根,从而 f(x)=1 必有实根.
(2)依题意:要使 y=f(x)在区间(-1,0)及(0, )内各有一个零点,
只需
1
2
1
2
( ) ( )1 2f x f x
2
−
1
2
( ) ( )2 1f x f x
2
−
( ) ( )1 2f x f x
2
− ( ) ( )2 1f x f x
2
−
1
4
1
2
1
2
( )
( )
f 1 0
f 0 0
1f ( ) 02
− >
<
>
即
解得 .
3 4a 0
1 2a 0
3 a 04
− >
− <
− >
,
1 3a2 4
< <