2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第9章 第5节 古典概型 6页

‎2010~2014年高考真题备选题库 第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第5节 古典概型 ‎1．（2014陕西，5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：　从这5个点中任取2个，有C＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C＝6种，因此所求概率P＝＝.故选C.‎ 答案：C ‎2．（2013新课标全国Ⅰ，5分）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力，难度较小．从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是＝.‎ 答案：B ‎3．（2013新课标全国Ⅱ，5分）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．‎ 解析：本题主要考查古典概型，意在考查考生对基本概念的理解与基本方法的掌握．从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5”的结果有(1,4)，(2,3)，共2个，故所求概率为＝.‎ 答案： ‎4．（2013山东，5分）某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．‎ 解：本题主要考查古典概型，考查数据处理能力和运算能力．‎ ‎(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人的身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到的2人的身高都在1.78以下的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．‎ 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1＝.‎ ‎5．（2013辽宁，12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：‎ ‎(1)所取的2道题都是甲类题的概率；‎ ‎(2)所取的2道题不是同一类题的概率．‎ 解：本题主要考查用列举法列出基本事件空间以及基本事件，意在考查考生古典概型的一些基本概念和古典概率的求法．‎ ‎(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．‎ 用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.‎ ‎(2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.‎ ‎6．（2013天津，13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4, 则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：‎ ‎ ‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标 ‎(x, y, z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1,2,1)‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标 ‎(x, y, z)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,1)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(2,1,2)‎ ‎(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎(2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品，‎ ‎(ⅰ) 用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎(ⅱ) 设事件B为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S都等于‎4”‎， 求事件B发生的概率．‎ 解：本题主要考查用样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力．(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ S ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.‎ ‎(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．‎ ‎(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．‎ 所以P(B)＝＝.‎ ‎7．（2013北京，13分）如图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择‎3月1日至‎3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ ‎(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；‎ ‎(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；‎ ‎(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)‎ 解：本题主要考查考生利用古典概型处理较为热点的环境问题的能力，意在考查考生的推理论证能力、识图能力、等价转化能力．‎ ‎(1)在‎3月1日至‎3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.‎ ‎(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”，‎ 所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.‎ ‎(3)从‎3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. ‎ ‎8．（2012安徽，5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：标记红球为A，白球分别为B1、B2，黑球分别为C1、C2、C3，记事件M为“取出的两球一白一黑”．则基本事件有：(A，B1)、(A，B2)、(A，C1)、(A，C2)、(A，C3)、(B1，B2)、(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)、(C1，C2)、(C1，C3)、(C2，C3)，共15个．其中事件M包含的基本事件有：(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)，共6个．根据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)＝＝.‎ 答案：B ‎9．（2011新课标全国，5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：甲、乙各自参加一个兴趣小组是相互独立的事件，且每人报每个兴趣小组也是独立的，故两位同学参加同一兴趣小组的概率为C××＝.‎ 答案：A ‎10．（2011浙江，5分）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：从3个红球、2个白球中任取3个，根据穷举法，可以得到10个基本事件，其中没有白球的取法只有一种，因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P＝1－P(没有白球)＝1－＝.‎ 答案：D ‎11．（2011江苏，5分）从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是____．‎ 解析：采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为.‎ 答案： ‎12．（2010江苏，5分）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．‎ 解析：设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，‎ 则从中随机摸出两只球的情形有：‎ AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.‎ 答案： ‎13. （2012江西，12分）如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．‎ ‎(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；‎ ‎(2)求这3点与原点O共面的概率．‎ 解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：‎ x轴上取2个点的有A‎1A2B1，A‎1A2B2，A‎1A2C1，A‎1A2C2，共4种；‎ y轴上取2个点的有B1B‎2A1，B1B‎2A2，B1B‎2C1，B1B‎2C2，共4种；‎ z轴上取2个点的有C‎1C2A1，C‎1C2A2，C‎1C2B1，C‎1C2B2，共4种．‎ 所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B‎1C1，A1B‎1C2，A1B‎2C1，A1B‎2C2，A2B‎1C1，A2B‎1C2，A2B‎2C1，A2B‎2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．‎ ‎(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B‎1C1，A2B‎2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝＝.‎ ‎(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A‎1A2B1，A‎1A2B2，A‎1A2C1，A‎1A2C2，B1B‎2A1，B1B‎2A2，B1B‎2C1，B1B‎2C2，C‎1C2A1，C‎1C2A2，C‎1C2B1，C‎1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝.‎