黑龙江省鹤岗市工农区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 21页

鹤岗一中2019~2020学年度上学期期末考试 高二数学（文）试题 一、选择题（每小题5分，共计60分）‎ ‎1.复数的实部为 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】==，‎ ‎∴复数的实部为0．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．‎ ‎2.命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(　　)‎ A. 不存在x0∈R,2x0>0 B. 存在x0∈R,2x0≥0‎ C. 对任意的x∈R,2x≤0 D. 对任意的x∈R,2x>0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 命题“存在x0∈R,2x0≤0是特称命题，特称命题的否定是全称命题；特称命题的条件的否定是结论的否定是故选D ‎3.已知命题：方程表示双曲线；命题：.命题是命题的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等价转化命题，利用充分必要性定义结合不等式性质判断即可.‎ ‎【详解】方程表示双曲线等价于，即命题：，‎ 由推不出，充分性不具备，‎ 由能推出，必要性具备，‎ 故命题是命题的必要不充分条件，‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好双曲线方程系数的关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎4.若直线与直线平行，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得两直线的斜率分别为：‎ 由于两直线平行，故 解得 验证可得当时，直线的方程均可以化为：‎ ‎，直线重合，故可得 故答案选 ‎5.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：‎ ‎ ‎ 甲 ‎ 乙 ‎ 丙 ‎ 丁 ‎ 平均成绩 ‎ ‎89 ‎ ‎89 ‎ ‎86 ‎ ‎85 ‎ 方差 ‎ ‎2．1 ‎ ‎3．5 ‎ ‎2．1 ‎ ‎5．6 ‎ ‎ ‎ 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：从平均成绩看，甲、乙均可入选，再从方差来看，甲的方差小于乙的方差，甲更稳定，故最佳人选是甲．‎ 考点：样本平均数与方差的意义 ‎6.某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400,300，300,200.为做好小学放学后“快乐30分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为（ ）‎ A. 120 B. 40 C. 30 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的定义即可得到结论．‎ ‎【详解】假设抽取一年级学生人数为.‎ ‎∵一年级学生400人 ∴抽取一个容量为200的样本，用分层抽样法抽取的一年级学生人数为 ‎∴，即一年级学生人数应40人， 故选B．‎ ‎【点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即.‎ ‎7. 从一批产品（其中正品、次品都多于两件）中任取两件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是（ ）‎ ‎①恰有一件次品和恰有两件次品；‎ ‎②至少有一件次品和全是次品；‎ ‎③至少有一件正品和至少有一件次品；‎ ‎④至少有一件次品和全是正品.‎ A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ①③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵从一批产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件，‎ ‎∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，‎ 至少有一件次品和全是正品是互斥的，‎ ‎∴①④是互斥事件.‎ 考点：互斥事件和对立事件.‎ ‎8.下列事件是随机事件的是（ ）.‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，有解；‎ ‎③当时，关于x的方程在实数集内有解；‎ ‎④当时，.‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机事件的概念进行判断．‎ ‎【详解】①当时，，属于必然事件；‎ ‎②当时，有解，属于必然事件；‎ ‎③当时，关于x的方程需要根据a的值确定在实数集内是否有解，属于随机事件；‎ ‎④当时，可能有，属于随机事件.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查事件的概念．掌握必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题基础．‎ ‎9.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为 ：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个（为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：先根据等差数列列关于m以及首项的不定方程，根据正整数解确定m可能取法，最后根据古典概型概率公式求结果.‎ 详解：设首项为，因为和为80，所以 因为，‎ 所以 因此“公”恰好分得30个橘子的概率是，‎ 选B.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎10.某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早5分钟到校的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设小明到校时间为，小方到校时间为 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为 一个矩形区域，‎ 对应的面积 则小明比小方至少早分钟到校事件，作出符合题意的图象 则符合题意得区域为，联立 ‎，得，由，得 则，由几何概率模型可知小明比小方至少早分钟到校的概率为 故选 点睛：本题主要考查的是几何概型的知识点，设小明到校时间为，小方到校时间为 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为 是一个矩形区域，则小明比小方至少早分钟到校事件，作出符合题意的图象由图根据几何概率模型的规则求解即可．‎ ‎11.为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：‎ 语文成绩优秀 语文成绩非优秀 总计 男生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 女生 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 总计 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ 经过计算，，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A. 有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 B. 有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 C. 有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 D. 没有理由认为语文成绩是否优秀与性别有关系 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出的观测值，结合临界值表即可判断出结果.‎ ‎【详解】由题意可得，的观测值，‎ 所以有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查独立性检验，熟记公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎12.设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆 的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为 的点P的个数为(　　)‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，‎ 设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．‎ ‎【详解】由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，‎ 解得或，‎ 则A（0，2），B（﹣1，0），‎ ‎∴AB==，‎ ‎∵△PAB的面积为﹣1，‎ ‎∴AB边上的高为h==．‎ 设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，‎ P到直线y=2x+2的距离d==，‎ 即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；‎ 联立得：①或②，‎ ‎①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，‎ ‎∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；‎ 由②消去b得：2a2+2a+1=0，‎ ‎∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．‎ 综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________.‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ 四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁 没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.‎ ‎【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.‎ ‎14.如图，是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点，连接，则弦的长度不超过的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意，先找出弦的长度不超过对应的点，其构成的区域是点M两侧各 圆周，既而求得概率.‎ ‎【详解】根据题意，满足条件“弦的长度不超过”对应的点，其构成的区域是点M两侧各圆周，所以弦MN的长度不超过的概率是 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的意义，关键是找出满足条件弦MN的长度不超过的图形测度，再带入公式求解.‎ ‎15.已知的取值如表所示：若与呈线性相关，且回归方程为，则等于___________．‎ ‎ ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎ ‎ ‎5 ‎ ‎4 ‎ ‎6 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：回归方程.‎ ‎16.（1）已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1.‎ ‎（2）线性回归直线必过点；‎ ‎（3）对于分类变量A与B的随机变量，越大说明“A与B有关系”的可信度越大.‎ ‎（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好.‎ ‎（5）根据最小二乘法由一组样本点，求得的回归方程是，对所有的解释变量,的值一定与有误差.‎ 以上命题正确的序号为____________.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）（4）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相关系数的意义判断（1）；‎ 由样本数据得到的回归方程的特点可得必过样本点的中心，判断（2）；‎ 根据独立性检验中的观测值的意义判断（3）．‎ 根据相关指数的意义判断（4）；‎ 根据回归直线方程的意义判断（5）；‎ ‎【详解】解：由相关性与相关系数的关系，可得若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故（1）正确；‎ 由样本数据得到的回归方程的特点可得必过样本点的中心，故（2）正确；‎ 对分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越大，故（3）正确；‎ 用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故（4）正确；‎ 根据最小二乘法由一组样本点，求得的回归方程是，对所有的解释变量,的值可能与有误差，只是一个预测值，故（5）错误.‎ 即正确的有：（1）（2）（3）（4）‎ 故答案为：（1）（2）（3）（4）‎ ‎【点睛】本题利用命题真假的判断，考查了统计知识的应用问题，属于基础题．‎ 三、解答题（17—21题每小题12分，22题10分，共70分）‎ ‎17.已知命题，使；命题，使.‎ ‎（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若p为假命题，，可直接解得a的取值范围；（2）由题干可知p,q一真一假，分“p真q假”和“p假q真”两种情况讨论，即可得a的范围．‎ ‎【详解】解：（1）由命题P为假命题可得：，‎ 即，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）为真命题，为假命题，则一真一假.‎ 若真命题，则有或，若为真命题，则有.‎ 则当真假时，则有 当假真时，则有 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查根据命题的真假来求变量的取值范围，属于基础题，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎18.某书店为了了解销售单价（单位：元）在内的图书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，已知样本中销售单价在内的图书数是销售单价在内的图书数的2倍.‎ ‎（1）求出x与y，再根据频率分布直方图佔计这100本图书销售单价的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从销售单价在内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；‎ ‎（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率.‎ ‎【答案】（1），平均数：14.9，中位数：15；（2）6；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出与，再根据直方图求出平均数、中位数；‎ ‎（2）根据分层抽样是按比例抽样可得；‎ ‎（3）用列举法和古典概型概率公式可得．‎ ‎【详解】解：（1）样本中图书的销售单价在，内的图书数是，‎ 样本中图书的销售单价在，内的图书数是，‎ 依据题意，有，即，①‎ 根据频率分布直方图可知，②‎ 由①②得，．‎ 根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为 ‎（元 故可判断中位数在之间，设为，则 解得，故中位数为 ‎（2）因为销售单价在，，，，，，，，，，，的图书的分层抽样比为，故在抽取的40本图书中，销售单价在，，，，，，，，，，，内的图书分别为 ‎，，，，， （本（3）这40本书中价格低于12元的共有6本，其中价格低于10元的2本，记这2本为，，另外4本记为，，，，从中抽取2本的基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中价格不低于10元的有6个，所以：‎ 这2本书价格都不低于10元的概率．‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图，古典概率的概率计算问题，属中档题．‎ ‎19.设某地区乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 时间代号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 储蓄存款y（千亿元）‎ ‎3.5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9.5‎ ‎（1）求关于x的回归方程，并预测该地区2019年的人民币储蓄存款（用最简分数作答）.‎ ‎（2）在含有一个解释变量的线性模型中，恰好等于相关系数r的平方，当时，认为线性冋归模型是有效的，请计算并且评价模型的拟合效果（计算结果精确到0.001）.‎ 附：‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1），；（2），模型的拟合效果有效.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出，，求出相关系数，从而求出回归方程即可；‎ ‎（2）求出的值，求出，比较即可．‎ 详解】解：（1），‎ ‎，‎ 故，‎ 故回归方程为：，‎ ‎2019对应的，‎ 时，，‎ 故预测存款是千亿元；‎ ‎（2），‎ 故，‎ 故模型的拟合效果有效.,‎ ‎【点睛】本题考查了回归方程问题，考查相关系数以及转化思想，属于基础题．‎ ‎20.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动.‎ ‎（1）根据以上数据建立一个列联表；‎ ‎（2）判断是否有99%的把握认为性别与休闲方式有关系.‎ 下面临界值表供参考：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：）‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）有99%的把握认为休闲方式与性别有关系.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意填写的列联表即可；‎ ‎（2）根据列联表中的数据，计算的观测值，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】（1）的列联表：‎ 休闲方式性别 看电视 运动 合计 女 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 男 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 合计 ‎50‎ ‎60‎ ‎110‎ ‎（2）根据列联表中的数据，计算的观测值为 ‎.‎ 所以有99%的把握认为休闲方式与性别有关系.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，属于基础题．‎ ‎21.如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.‎ ‎（l）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ 分析：‎ ‎(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质 ，，列出关于 、 的方程组，求出 、 ，即可得椭圆的标准方程；‎ ‎(2)可设直线方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，又点也在直线上，进而得结果.‎ 详解：‎ ‎（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，‎ 所以，解得.‎ 又椭圆经过点，所以.‎ 所以.‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ 证明：（2）因为线段的中垂线的斜率为，‎ 所以直线的斜率为-2.‎ 所以可设直线的方程为.‎ 据得.‎ 设点，，.‎ 所以， .‎ 所以，.‎ 因为，所以.‎ 所以点在直线上.‎ 又点，也在直线上，‎ 所以三点共线.‎ 点睛：‎ 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎22. （选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程是，以极点 为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点，直线与曲线交于、两点．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的极坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）求线段、长度之积的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先消参数，将直线的参数方程化为普通方程：，再根据将直线的方程化为极坐标方程：，即；利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程：（Ⅱ）利用直线参数方程几何意义求线段、长度之积的值：将代入得，．‎ 试题解析：（Ⅰ）直线的极坐标方程为，曲线的普通方程为；‎ ‎（Ⅱ）将代入得，．‎ 考点：直线参数方程几何意义 ‎ ‎ ‎ ‎