山西省应县第一中学校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 18页

‎ 高二年级期末考试数学试题（理）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，集合，，再根据集合的运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合，，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.若复数满足，则的虚部为 A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，虚部为．‎ ‎【考点】复数的运算与复数的定义．‎ ‎3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）‎ A. 假设三内角都不大于60度 B. 假设三内角都大于60度 C. 假设三内角至多有一个大于60度 D. 假设三内角至多有两个大于60度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过命题否定即可得到答案.‎ ‎【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60度”的否定是“至多有0个小于60度”即“三内角都大于60度，故答案为B.‎ ‎”‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的否定，难度不大.‎ ‎4.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：‎ 使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 学习成绩不优秀 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 附表：‎ 经计算，则下列选项正确的是 A. 有的把握认为使用智能手机对学习有影响 B. 有的把握认为使用智能手机对学习无影响 C. 有的把握认为使用智能手机对学习有影响 D. 有的把握认为使用智能手机对学习无影响 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据附表可得k=10>7.879,所以有的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A ‎5.已知，且，则等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，即可求出，由即可求出 ‎【详解】令，得，所以，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查赋值法的应用。‎ ‎6.函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(　　)‎ A. [1,2] B. [－1,0] C. [0,2] D. [2，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出分段函数图象，数形结合，可得函数的单调减区间。‎ ‎【详解】函数的图象如图所示：‎ 结合图象可知函数的单调减区间是 故选 ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用以及函数单调性的判断，考查了数形结合的思想，属于基础题，在含有绝对值的题目时通常要经过分类讨论去绝对值。‎ ‎7.把4个苹果分给两个人，每人至少一个，不同分法种数有(　　)‎ A. 6 B. 12 C. 14 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 给两个人命名为甲、乙，根据甲分的苹果数进行分类即可求出。‎ ‎【详解】按照分给甲的苹果数，有种分法，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用。‎ ‎8.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是(　　)‎ A. [－3,3] B. ‎ C. D. [－1,1]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分、必要条件的定义，可知当时，恒成立，解一元二次不等式即可。‎ ‎【详解】依题意可知，当时，恒成立，所以，解得 ‎，故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查充分、必要条件定义应用以及恒成立问题的解法。‎ ‎9.下列函数中，满足“且”的是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知，函数在上是减函数，根据选项判断即可。‎ ‎【详解】根据题意知，函数在上是减函数。‎ 选项A，在上是增函数，不符合；‎ 选项B，在上不单调，不符合；‎ 选项C，在上是减函数，符合；‎ 选项D，在上是增函数，不符合；综上，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的定义应用以及常见函数的单调性的判断。‎ ‎10.设是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若，则的值(　　)‎ A. 恒为负值 B. 恒等于零 C. 恒为正值 D. 无法确定正负 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据奇函数的性质，在上单调递减，可以判断出在上单调递减，进而根据单调性的定义和奇偶性的定义，即可判断的符号。‎ ‎【详解】因为时，单调递减，而且是定义在上的奇函数，所以，在上单调递减，当时，，由减函数的定义可得，，即有，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性应用。‎ ‎11.若在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．‎ 详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，‎ 配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：‎ 由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，‎ 又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，‎ 故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，‎ 则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，‎ 代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）‎ 故选：A．‎ 点睛：已知函数单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎12.已知函数，若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当时，画出函数图像如下图所示，由图可知，无解，不符合题意，故排除两个选项.‎ 当时，画图函数图像如下图所示，由图可知，或，解得不符合题意，故排除选项，选.‎ 点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，考查复合函数的研究方法，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点问题题.题目所给的分段函数当时，图像是确定的，当时，图像是含有参数的，所以要对参数进行分类讨论.在分类讨论的过程中，围绕的解的个数来进行.‎ 二、填空题 ‎13.经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程：=0．245x+0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加___万元．‎ ‎【答案】0.245‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，即可得到家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加的数字．‎ ‎【详解】∵y关于x的线性回归直线方程：0.254x+0.321①‎ ‎∴年收入增加l万元时，年饮食支出y＝0.254（x+1）+0.321②‎ ‎②﹣①可得：年饮食支出平均增加0.254万元 故答案为：0.254‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，属于基础题．‎ ‎14.若命题：是真命题，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：命题：“对，”是真命题.当时，则有；当时，则有且，解得.综上所示，实数的取值范围是.‎ 考点：1.全称命题；2.不等式恒成立 ‎15.把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师，2名学生)开展实验活动，但学生甲必须与教师A在一起，这样的分组方法有________种．(用数字作答)‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三名教师命名为A，B，C，按照要求，教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种。‎ ‎【详解】将三名教师命名为A，B，C，所以可按三步完成分组，第一步让教师A选学生，第二步让教师B选学生，第三步将剩下的学生分配给教师C即可。教师A只需再选一名学生，有5种选法，教师B有种选法，根据分步乘法计数原理，可得分组方法有种。‎ ‎【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用。‎ ‎16.已知函数f(x)＝||，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n的值，即得解.‎ ‎【详解】因为f(x)＝|log3x|＝,‎ 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，‎ 由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得,‎ 则,所以0＜m2＜m＜1，‎ 则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，‎ 所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，‎ 解得m＝，则n＝3，所以＝9.‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.在直角坐标系中，圆C的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线的极坐标方程是，射 线与圆C的交点为，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎【答案】(1)；(2)3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过直角坐标与极坐标互化公式，即可求得圆C的极坐标方程；（2）直接联立直线方程和射线方程可以解出点Q，联立圆的方程和射线方程求出点P，即可求得线段的长。‎ ‎【详解】(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4，‎ 得圆C的极坐标方程为.‎ ‎(2)设P(ρ1，θ1)，则由,‎ 解得ρ1＝2，θ1＝.‎ 设Q(ρ2，θ2)，则由,‎ 解得ρ2＝5，θ2＝.‎ 所以|PQ|＝ρ2－ρ1＝3.‎ ‎【点睛】本题主要考查普通方程与极坐标方程的互化，曲线交点的求法以及极坐标方程的应用，考查学生的数学运算能力。‎ ‎18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.‎ ‎（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？‎ ‎（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；‎ ‎【答案】（1）3人，2人，2人（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意结合分层抽样的概念计算可得应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．结合古典概型计算相应的概率值可得随机变量的分布列，然后求解数学期望可得.‎ ‎【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，‎ 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，‎ 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．‎ P（X=k）=（k=0，1，2，3）．‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望．‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样的概念，离散型随机变量分布列的求解与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.已知二次函数f（x）的最小值为﹣4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数g（x）的零点个数．‎ ‎【答案】（1）；（2）个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}，‎ ‎∴f（x）＝a（x+1）（x﹣3）＝a[（x﹣1）2﹣4]（a＞0）‎ ‎∴f（x）min＝﹣4a＝﹣4‎ ‎∴a＝1‎ 故函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x﹣3‎ ‎（2）g（x）4lnx﹣2（x＞0），‎ ‎∴g′（x）‎ x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，3）‎ ‎3‎ ‎（3，+∞）‎ g′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ g（x）‎ 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加 当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）＝﹣4＜0；‎ 又g（e5）20﹣2＞25﹣1﹣22＝9＞0‎ 故函数g（x）只有1个零点，且零点 ‎【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力．‎ ‎20.在平面直角坐标系中，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的参数方程；‎ ‎(2)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于和，且点在第一象限，当四边形周长最大时，求直线的普通方程.‎ ‎【答案】（1），(为参数)；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先求得的普通方程，由此可求得的参数方程；（Ⅱ）设四边形的周长为，点，然后得到与的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得的普通方程．‎ 试题解析：（Ⅰ），（为参数）．‎ ‎（Ⅱ）设四边形的周长为，设点，‎ ‎ ，‎ 且，，‎ 所以，当（）时，取最大值，‎ 此时，‎ 所以，，，‎ 此时，，的普通方程为．‎ 点睛：将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．‎ ‎21.某学校为了丰富学生课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率，记该班级完成首背诵后的总得分为.‎ ‎(1)求且的概率；‎ ‎(2)记，求的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】(1)；(2) 分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由知，背诵6首，正确4首，错误2首，又，所以第一首一定背诵正确，由此求出对应的概率；‎ ‎（2）根据题意确定的取值，计算相对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望。‎ ‎【详解】(1)当S6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由Si≥0(i＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；‎ 若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．‎ 则所求的概率.‎ ‎(2)由题意知ξ＝|S5|的所有可能的取值为10,30,50，又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，意在考查学生的逻辑推理能力与数学计算能力。‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)当时，求函数的值域；‎ ‎(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t＝∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，‎ 因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，‎ 故函数h(x)的值域为[0,2]．‎ ‎(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，‎ 得(3－4)(3－)＞k·，‎ 令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，‎ 所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立，‎ ‎①当t＝0时，k∈R；‎ ‎②当t∈(0,2]时，恒成立，‎ 即，‎ 因为，当且仅当，即时取等号，‎ 所以的最小值为－3.所以k＜－3.‎ 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值。意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力。‎ ‎ ‎