陕西省西安中学2020届高三第八次模拟考试数学（理）试题 12页

西安中学2020届高三第八次模拟考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数在复平面内对应的点的坐标为为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知集合，则集合的真子集个数为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 C. 7 D. 8‎ ‎3．已知（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．由表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为，则的值为 ( )‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ A. B. ‎1 ‎C. 0 D. ‎ ‎5．已知函数则函数的图像在点处的切线斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知函数当时，取得最大值，则函数的大致图像为（ ）‎ ‎7．如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知函数的定义域为且满足若（ ）‎ A. B. C. 0 D. 4‎ ‎9． 若的内角,,所对的边分别为，已知，则 ‎=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．在正方体中，异面直线和分别在上底面和下底面上运动，且，现有以下结论：‎ ‎①当与所成角为60°时，与所成角为60°；‎ ‎②当与所成角为60°时，与侧面所成角为30°；‎ ‎③与所成角的最小值为45°‎ ‎④与所成角的最大值为90°‎ 其中正确的是（ ）‎ A. ‎①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④‎ ‎11．如图，分别是双曲线的左，右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点,设直线交双曲线的左右两支分别于两点（在线段上），若且，则双曲线的离心率为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12． 若表示不超过的最大整数（例如：），数列满足：，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.‎ ‎13．已知直线则的值为 .‎ ‎14. 已知的展开式的各项二项式系数和为，则展开式中的系数为 .‎ ‎15. 已知公差不为0的等差数列中，依次成等比数列，若，依次成等比数列，则等于 .‎ ‎16. 记函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 已知，的内角的对边分别为，为锐角，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知在多面体ABCDEF中，四边形ABFE为正方形，，G为AB的中点，.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面CDEF；‎ ‎（2）求平面ACD与平面BCF所成锐二面角的余弦值.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点 ‎，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 如图，直角坐标系中，圆的方程为，‎ 为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子（骰子为正方体形状，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6）．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②‎ 棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．‎ 设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为．例如：‎ 掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为．‎ ‎（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；‎ ‎（2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；‎ ‎（3）记，其中．证明：数列 是等比数列，并求.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，已知直线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点的极坐标为，求的值.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数，且的解集为 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，都是正实数，且，求证：.‎ 西安中学2020届高三第八次模拟考试 数学（理）答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A D B A C A B D C C A 二、填空题：‎ ‎13、 -1 14、160 15、 16、‎ 三、解答题：‎ ‎17. （1）函数 ‎，‎ 由得：，为锐角，，‎ ‎；‎ ‎（2）由余弦定理有，，，，‎ ‎，，.‎ ‎18. (1)证明：取中点,连接,根据题意可知,四边形是边长为2的正方形,所以,易求得,所以, 于是；‎ 而,所以平面,又因为,所以平面；‎ ‎(2)因为平面,且,故以为空间直角坐标系原点建立如图空间直角坐标系.‎ 由题意可知,故.‎ 设平面的法向量,则,即,‎ 不妨设,则易得.故.‎ 又,故可设平面的法向量.‎ 设平面与平面所成锐二面角为,故.‎ ‎19. （1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，‎ ‎，又由得，‎ 解得：，或（舍去），‎ 椭圆方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，的坐标分别为 则直线的方程为，令，得点的横坐标 直线的方程为，令，得点的横坐标 把直线代入椭圆得 由韦达定理得,‎ ‎∴，是定值．‎ ‎20. （1）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 由，得或.‎ 当即时，由得，‎ 由得或；‎ 当即时，当时都有；‎ 当时，单调减区间是，单调增区间是，；‎ 当时，单调增区间是，没有单调减区间.‎ ‎（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，‎ 从而在上的最小值为.‎ 对任意，存在，使得，‎ 即存在，使的值不超过在区间上的最小值. ‎ 由，.‎ 令，则当时，.‎ ‎，‎ 当时；当时，，.‎ 故在上单调递减，‎ 从而，‎ 从而.‎ ‎21. ‎ ‎22.‎ ‎ ‎ ‎23．解：（I）依题意,即,‎ ‎∴ ‎ ‎（II）方法1:∵‎ ‎∴‎ 当且仅当,即时取等号 ‎ 方法2: ∵‎ ‎∴由柯西不等式得 ‎ 整理得 当且仅当,即时取等号