高中数学选修2-2教学课件2_2_2 反证法 26页

2.2.2 　反证法 路 边 苦 李 王戎 7 岁时 , 与小伙伴们外出游玩 , 看到路边的李树上结满了果子 . 小伙伴们纷纷去摘取果子 , 只有王戎站在原地不动 . 伙伴问他为什么不去摘？ 王戎回答说 :“ 树在道边而多子 , 此必苦李 .” 小伙伴摘取一个尝了一下 , 果然是苦李 . 王戎是怎么知道李子是苦的呢 ? 他运用了怎样的推理方法 ? 王戎的推理方法是 : 假设李子不苦 , 则因树在“道”边 , 李子早就被别人采摘而没有了 , 这与“多李”产生矛盾 . 所以假设不成立 , 李为苦李 . 1. 反证法的定义 . 2. 反证法的一般步骤 . （重点） 3. 运用反证法的注意事项 . （难点） 探究点 1 反证法的定义 引例： 证明：在一个三角形中至少有一个角不小于 60°. 已知：∠ A ， ∠ B ， ∠ C 是△ ABC 的内角 . 求证： ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 中至少有一个 不小于 60°. 证明： 假设 的三个内角 ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 都小于 60° ， 则有∠ A <60° ，∠ B < 60° ， ∠ C <60° 所以 ∠A+∠B+∠C<180° 这与 　　　　 相矛盾 . 三角形内角和等于 180° 所以假设不成立，所求证的结论成立 . 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确 . 　这种证明方法就是 —— 反证法 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 . 注：反证法是最常见的间接证法 . 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾 . 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做 反证法 . 反证法 否定结论 —— 推出矛盾 —— 肯定结论 即分三个步骤： 反设 — 归谬 — 存真 反设 —— 假设命题的结论不成立； 归谬 —— 从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾； 反证法的证明过程 存真 —— 由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立 . 归谬矛盾： （ 1 ）与已知条件矛盾 . （ 2 ）与假设矛盾或自相矛盾 . （ 3 ）与已有公理、定理、定义、事实矛盾 . 反证法的思维方法：正难则反 . 你能说出下列结论的反面吗 ? a⊥b 2.d 是正数 3.a≥0 4.a∥b a 不垂直于 b d 不是正数 , 即 d≤0 a ＜ 0 a 不平行 b 万事开头难，让我们走好第一步！ 探究点 2 反证法的应用 常用的互为否定的表述方式： 至少有三个 —— 最多有一个 —— 至多有两个 至少有两个 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有 n 个 小于 至多有 n 个 对所有 x, 成立 对任何 x ， 不成立 准确地作出反设 ( 即否定结论 ) 是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式 .   不是 不都是 不大于 大于或等于 一个也没有 至少有两个 至多有（ n-1) 个 至少有（ n+1) 个 存在某 x ， 不成立 存在某 x, 成立 不等于 某个 证明： 因为 a ∥b 所以经过直线 a ,b 确定一个平 面 . 因为 , 而 ， 所以 与 是两个不同的平面 . 因为 ， 所以 . 例 1 已知直线 a ， b 和平面 , 如果 , 且 , 求证 : . a b P 下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点，假设 直线 a 与平面 有公共点 P ，则 P ，即点 P 是 直线 a 与 b 的公共点，这与 a ∥b 矛盾，所以 a ∥ . 分析： 直接证明一个数是无理数比较困难，我 们采用反证法 . 假设 不是无理数，那么它就是有理数 . 我们 知道，任一有理数都可以写成形如 （ m,n 互质， m∈Z,n∈N * ) 的形式 . 下面我们看看能否由此推出矛 盾 . 证明： 假设 不是无理数，那么它就是有理数 . 于是，存在互质的正整数 m,n 使得 ，从而有 反证法的一般步骤 先假设命题的结论不成立 从假设出发，经过推理 得出矛盾 否定假设 肯定原命题 分清条件和结论 【 总结提升 】 宜用反证法证明的题型 （ 1 ）以否定性判断作为结论的命题 . （ 2 ）某些定理的逆命题 . （ 3 ）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题 . （ 4 ）关于“唯一性”结论的命题 . （ 8 ）涉及各种“无限”结论的命题等 . （ 7 ）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 . （ 6 ）一些不等量命题的证明 . （ 5 ）解决整除性问题 . 1.“a ＜ b” 的反面应是（ ） a≠b 或 a ＞ b B. a ＞ b C. a=b D. a=b 或 a ＞ b 2. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角” 时，应假设 ____________ . D 三角形中有两个或三个角是直角 3. 否定“自然数 a ， b ， c 中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ ） A.a ， b ， c 都是奇数 B. a ， b ， c 都是偶数 C. a ， b ， c 中至少有两个偶数 D. a ， b ， c 中都是奇数或至少有两个偶数 D 4. 如图，在△ ABC 中 , 若∠ C 是直角，那么∠ B 一定是锐角 . 证明： 假设结论不成立 , 则∠ B 是 直角 或 钝角 . 当∠ B 是 直角 时，则 ∠B+ ∠C= 180° ， 这与 三角形的三个内角和等于 180° 矛盾； 当∠ B 是 钝角 时，则 ∠B+ ∠C ＞ 180° ， 这与 三角形的三个内角和等于 180° 矛盾； 综上所述 , 假设不成立 . 所以 ∠B 一定是锐角 . 分析 : 假设 C 没有撒谎 , 则 C 真 . 那么 A 假且 B 假 ; 由 A 假 , 知 B 真 . 这与 B 假矛盾 . 那么假设 C 没有撒谎不成立 ; 则 C 必定是在撒谎 . 5.A 、 B 、 C 三个人， A 说 B 撒谎， B 说 C 撒谎， C 说 A,B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎，为什么？ 1. 反证法的一般步骤 : 假设命题不成立 引出矛盾 假设不成立 求证的命题正确 假设 归谬 结论 从假设出发 得出结论 与假设、已知、定义、定理、公理或者事实矛盾等 2. 用反证法证题时 , 应注意的事项 :   （ 1 ）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏 . （ 2 ）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性 . （ 3 ）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的 . 沟潭之水，凝滞沉闷，飞瀑之流，奋迅高亢 —— 同是为水，性却异，前者满足安逸，后者进取不已 .