【数学】2020年高考真题——江苏卷（精校版） 21页

绝密★启用前 ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。‎ ‎4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ 参考公式：‎ 柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，则 ▲ ．‎ ‎2．已知是虚数单位，则复数的实部是 ▲ ．‎ ‎3．已知一组数据的平均数为4，则的值是 ▲ ．‎ ‎4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ▲ ．‎ ‎5．如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是 ▲ ．‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ▲ ．‎ ‎7．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则的值是 ▲ ．‎ ‎8．已知=，则的值是 ▲ ．‎ ‎9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边 形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm3.‎ ‎10．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的 对称轴的方程是 ▲ ．‎ ‎11．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n 项和，则d+q的值是 ▲ ．‎ ‎12．已知，则的最小值是 ▲ ．‎ ‎13．在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得 AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ▲ ．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个 动点，满足，则△PAB面积的最大值是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面AB1C1；‎ ‎（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米．‎ ‎（1）求桥AB的长度；‎ ‎（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．‎ ‎（1）求的周长；‎ ‎（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；‎ ‎（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知关于x的函数与在区间D上恒有．‎ ‎（1）若，求h(x)的表达式；‎ ‎（2）若，求k的取值范围；‎ ‎（3）若求证：．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．‎ ‎（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；‎ ‎（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；‎ ‎（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ～3”数列，且？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点．‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）求矩阵的逆矩阵．‎ B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．‎ C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 设，解不等式．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎ 22．（本小题满分10分）‎ 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．‎ ‎（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；‎ ‎（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．‎ ‎（1）求p1，q1和p2，q2；‎ ‎（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．‎ ‎【参考答案】‎ 数学Ⅰ 一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.‎ ‎1． 2．3 3．2 4． ‎ ‎5． 6． 7． 8． ‎ ‎9． 10． 11．4 12． ‎ ‎13．或0 14． ‎ 二、解答题 ‎15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空 间想象能力和推理论证能力.满分14分.‎ 证明：因为分别是的中点，所以.‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为平面，平面,‎ 所以.‎ 又,平面,平面, ‎ 所以平面.‎ 又因为平面,所以平面平面.‎ ‎16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基 础知识，考查运算求解能力.满分14分.‎ 解：（1）在中，因为，‎ 由余弦定理，得，‎ 所以.‎ 在中，由正弦定理，‎ 得，‎ 所以 ‎（2）在中，因为,所以为钝角，‎ 而,所以为锐角.‎ 故则.‎ 因为，所以，.‎ 从而 ‎17．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学 建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.‎ 解：（1）设都与垂直，是相应垂足.‎ 由条件知，当时，‎ ‎ 则.‎ 由得 ‎ 所以（米）.‎ ‎（2）以为原点，为轴建立平面直角坐标系（如图所示）.‎ 设则 ‎ ‎.‎ 因为所以.‎ 设则 ‎ 所以 ‎ 记桥墩和的总造价为，‎ 则 ‎ ‎，‎ 令 得 ‎ 所以当时，取得最小值.‎ 答：（1）桥的长度为120米；‎ ‎（2）当为20米时，桥墩和的总造价最低.‎ ‎18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量 数量积等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分16分.‎ 解：（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，‎ 则.‎ 所以的周长为.‎ ‎（2）椭圆的右准线为.‎ 设，‎ 则，‎ ‎ ‎ 在时取等号.‎ 所以的最小值为.‎ ‎（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，‎ 则.‎ 所以直线 ‎ 设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍. ‎ 由此得，‎ 则或.‎ 由得，此方程无解；‎ 由得，所以或.‎ 代入直线，对应分别得或.‎ 因此点的坐标为或.‎ ‎19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题 以及逻辑推理能力.满分16分.‎ 解：（1）由条件，得，‎ 取，得，所以．‎ 由，得，此式对一切恒成立，‎ 所以，则，此时恒成立，‎ 所以．‎ ‎（2）.‎ 令，则令，得.‎ 所以.则恒成立，‎ 所以当且仅当时，恒成立．‎ 另一方面，恒成立，即恒成立，‎ 也即恒成立．‎ 因为，对称轴为，‎ 所以，解得．‎ 因此，k的取值范围是 ‎ ‎（3）①当时，‎ 由，得，‎ 整理得 ‎ 令 则．‎ 记 则恒成立，‎ 所以在上是减函数，则，即．‎ 所以不等式有解，设解为，‎ 因此．‎ ‎②当时，‎ ‎．‎ 设， ‎ 令，得．‎ 当时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数．‎ ‎，，则当时，．‎ ‎（或证：．）‎ 则，因此．‎ 因为，所以．‎ ‎③当时，因为，均为偶函数，因此也成立．‎ 综上所述，．‎ ‎20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、‎ 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．‎ 解：（1）因为等差数列是“λ～1”数列，则，即，‎ 也即，此式对一切正整数n均成立．‎ 若，则恒成立，故，而，‎ 这与是等差数列矛盾．‎ 所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）‎ ‎（2）因为数列是“”数列，‎ 所以，即．‎ 因为，所以，则．‎ 令，则，即．‎ 解得，即，也即，‎ 所以数列是公比为4的等比数列．‎ 因为，所以．则 ‎（3）设各项非负的数列为“”数列，‎ 则，即．‎ 因为，而，所以，则．‎ 令，则，即．（*）‎ ‎①若或，则（*）只有一解为，即符合条件的数列只有一个．‎ ‎（此数列为1，0，0，0，…）‎ ‎②若，则（*）化为，‎ 因为，所以，则（*）只有一解为，‎ 即符合条件的数列只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）‎ ‎③若，则的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，‎ 则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t）．‎ 所以或．‎ 由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列有无数多个，则对应的有无数多个．‎ 综上所述，能存在三个各项非负的数列为“”数列，的取值范围是．‎ 数学Ⅱ(附加题) ‎ ‎21．【选做题】‎ A．[选修4-2：矩阵与变换]‎ 本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．‎ 解：（1）因为 ，所以 解得，所以．‎ ‎（2）因为，，所以可逆，‎ 从而．‎ B．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．‎ 解：（1）由，得；，又（0，0）（即（0，））也在圆C上，‎ 因此或0．‎ ‎（2）由得，所以．‎ 因为，，所以，．‎ 所以公共点的极坐标为．‎ C．[选修4-5：不等式选讲]‎ 本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．‎ 解：当x>0时，原不等式可化为，解得；‎ 当时，原不等式可化为，解得；‎ 当时，原不等式可化为，解得．‎ 综上，原不等式的解集为．‎ ‎22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间 想象能力和运算求解能力．满分10分．‎ 解：（1）连结OC，因为CB =CD，O为BD中点，所以CO⊥BD．‎ 又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．‎ 以为基底，建立空间直角坐标系O–xyz．‎ 因为BD=2，，AO=2，‎ 所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）．‎ 因为E为AC的中点，所以E（0，1，1）．‎ 则=（1，0，–2），=（1，1，1），‎ 所以．‎ 因此，直线AB与DE所成角的余弦值为．‎ ‎（2）因为点F在BC上，，=（–1，2，0）．‎ 所以．‎ 又，‎ 故．‎ 设为平面DEF的一个法向量，‎ 则即 取，得，，所以．‎ 设为平面DEC的一个法向量，又=（1，2，0），‎ 则即取，得，，‎ 所以．‎ 故．‎ 所以．‎ ‎23．【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推 理论证能力．满分10分．‎ 解：（1），，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）当时，‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎，得．‎ 从而，又，‎ 所以，．③‎ 由②，有，又，‎ 所以，．‎ 由③，有，．‎ 故，．‎ 的概率分布 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 则．‎