2018届二轮复习（理）　立体几何学案（全国通用） 12页

回扣7　立体几何 ‎1．概念理解 ‎(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．‎ ‎(2)三视图 ‎①三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．‎ ‎②三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．‎ ‎2．柱、锥、台、球体的表面积和体积 侧面展开图 表面积 体积 直棱柱 长方形 S＝2S底＋S侧 V＝S底·h 圆柱 长方形 S＝2πr2＋2πrl V＝πr2·l 棱锥 由若干三角形构成 S＝S底＋S侧 V＝S底·h 圆锥 扇形 S＝πr2＋πrl V＝πr2·h 棱台 由若干个梯形构成 S＝S上底＋S下底＋S侧 V＝(S＋＋S′)·h 圆台 扇环 S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2‎ V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h 球 S＝4πr2‎ S＝πr3‎ ‎3.平行、垂直关系的转化示意图 ‎(1)‎ ‎(2)两个结论 ‎①⇒a∥b，②⇒b⊥α.‎ ‎4．用空间向量证明平行垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有：‎ ‎(1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.‎ ‎(2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.‎ ‎(3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.‎ ‎(4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.‎ ‎5．用向量求空间角 ‎(1)直线l1，l2的夹角θ有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．‎ ‎(2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．‎ ‎(3)平面α，β的夹角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，则α—l—β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．‎ ‎1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，‎ a⊂α.‎ ‎2．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．‎ ‎3．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.‎ ‎4．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．‎ ‎5．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．‎ ‎6．几种角的范围 两条异面直线所成的角0°<α≤90°；‎ 直线与平面所成的角0°≤α≤90°；‎ 二面角0°≤α≤180°；‎ 两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90°；‎ 直线的倾斜角0°≤α<180°；‎ 两个向量的夹角0°≤α≤180°；‎ 锐角0°<α<90°.‎ ‎7．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．‎ ‎1．(2017·重庆外国语学校月考)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(　　)‎ A. B. C. D．π 答案　D 解析　由三视图可知，该几何体为球的，其半径为1，则体积V＝××π×13＝π.‎ ‎2．直三棱柱ABC—A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是(　　)‎ A．AB1∥平面BDC1‎ B．A1C⊥平面BDC1‎ C．直三棱柱的体积V＝4‎ D．直三棱柱的外接球的表面积为4π 答案　D 解析　由三视图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.‎ 连接B1C交BC1于点O，连接OD.‎ 在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，‎ ‎∴OD∥AB1，‎ 又OD⊂平面BDC1，AB1⊄平面BDC1，‎ ‎∴AB1∥平面BDC1.故A正确；‎ 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ 又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C1C，‎ ‎∴BD⊥平面AA1C1C.‎ ‎∴BD⊥A1C.‎ 又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，‎ ‎∴A1B1⊥平面B1C1CB，‎ ‎∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，‎ ‎∴BC1⊥平面A1B1C.‎ ‎∴BC1⊥A1C，‎ 又BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BDC1，‎ ‎∴A1C⊥平面BDC1.故B正确；‎ V＝S△ABC×C1C＝×2×2×2＝4，故C正确；‎ 此直三棱柱的外接球的半径为，其表面积为12π，D错．故选D.‎ ‎3．已知直线l，m和平面α，则下列结论正确的是(　　)‎ A．若l∥m，m⊂α，则l∥α B．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m C．若l⊥m，l⊥α，则m∥α D．若l∥α，m⊂α，则l∥m 答案　B 解析　若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α， 故A错误；若l⊥α，m⊂α，则l⊥m，B正确；若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故选B.‎ ‎4．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β， 则(　　)‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案　C 解析　由题意知，α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.‎ 故选C.‎ ‎5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)‎ A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 答案　D 解析　假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，得m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.‎ ‎6.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直于平面CB1D1；③直线AH和BB1所成角为45°；④AH的延长线经过点C1，其中假命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案　B 解析　∵AB＝AA1＝AD，BA1＝BD＝A1D，‎ ‎∴三棱锥A－BA1D为正三棱锥，‎ ‎∴点H是△A1BD的垂心，故①正确；‎ ‎∵平面A1BD与平面B1CD1平行，AH⊥平面A1BD，‎ ‎∴AH⊥平面CB1D1，故②正确；‎ ‎∵AA1∥BB1，‎ ‎∴∠A1AH就是直线AH和BB1所成的角，‎ 在直角三角形AHA1中，‎ ‎∵AA1＝1，A1H＝××＝，‎ ‎∴sin∠A1AH＝≠，故③错误；‎ 根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C1，‎ 故④正确，故选B.‎ ‎7．将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．垂直 C．相交成60°角 D．异面且成60°角 答案　D 解析　如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.‎ ‎8．长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为3,4,5，则该球面的表面积为(　　)‎ A．25π B．50π C．75π D.π 答案　B 解析　设球的半径为R，由题意可得(2R)2＝32＋42＋52＝50，∴4R2＝50，球的表面积为S＝4πR2＝50π.‎ ‎9．如图，三棱锥A－BCD的棱长全相等，点E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　取AB中点G，连接EG，CG.‎ ‎∵E为AD中点，∴EG∥BD.‎ ‎∴∠GEC为CE与BD所成的角．设AB＝1，‎ 则EG＝BD＝，‎ CE＝CG＝，‎ ‎∴cos∠GEC＝ ‎＝ ‎＝.‎ 方法二　设AB＝1，则·＝(－)·(－)＝·(－)‎ ‎＝2－·－·＋· ‎＝－cos 60°－cos 60°＋cos 60°＝.‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝，故选A.‎ ‎10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，则1＝(，1,2)，则＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，‎ 故sin θ＝＝.‎ ‎11．如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．‎ 答案　平行 解析　由＝，得MN∥BD.‎ 而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，‎ 所以MN∥平面BDC.‎ ‎12．已知长方体ABCD—A′B′C′D′，E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的有________条．‎ 答案　6‎ 解析　如图，连接EG，EH，FG，∵EH綊FG，‎ ‎∴EFGH四点共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，‎ EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，‎ 可得平面EFGH与平面AB′D′平行，‎ ‎∴符合条件的共有6条．‎ ‎13．点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成角的大小是________．‎ 答案　 解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1,0)，因此 cos〈，〉＝ ＝，‎ 因此PB和AC所成的角为60°，即.‎ ‎14．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎①⇒β∥γ；②⇒m⊥β；‎ ‎③⇒α⊥β；④⇒m∥α.‎ 其中，正确的命题是________．(填序号)‎ 答案　①③‎ 解析　①中平行于同一平面的两平面平行是正确的；②中m，β可能平行，相交或直线在平面内；③中由面面垂直的判定定理可知结论正确；④中m，α可能平行或线在面内．‎ ‎15．如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图(2)所示的五棱锥P－ABFED，且PB＝.‎ ‎(1)求证：BD⊥PA；‎ ‎(2)求四棱锥P－BFED的体积．‎ ‎(1)证明　∵点E，F分别是边CD，CB的中点，‎ ‎∴BD∥EF.‎ ‎∵菱形ABCD的对角线互相垂直，‎ ‎∴BD⊥AC.‎ ‎∴EF⊥AC.‎ ‎∴EF⊥AO，EF⊥PO.‎ ‎∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO＝O，‎ ‎∴EF⊥平面POA，‎ ‎∴BD⊥平面POA，‎ 又PA⊂平面POA，‎ ‎∴BD⊥PA.‎ ‎(2)解　设AO∩BD＝H.‎ 连接BO，‎ ‎∵∠DAB＝60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴BD＝4，BH＝2，‎ HA＝2，HO＝PO＝，‎ 在Rt△BHO中，BO＝＝，‎ 在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，‎ ‎∴PO⊥BO.‎ ‎∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，‎ BO⊂平面BFED，‎ ‎∴OP⊥平面BFED，‎ 梯形BFED的面积S＝(EF＋BD)·HO＝3，‎ ‎∴四棱锥P－BFED的体积 V＝S·PO＝×3×＝3.‎ ‎16.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0＜λ≤1)．‎ ‎(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；‎ ‎(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．‎ ‎(1)证明　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，λa)．‎ ‎∴＝(－a，a,0)，＝(－a，－a，λa)，‎ ‎∴·＝0对任意λ∈(0,1]都成立，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE.‎ ‎(2)解　显然n＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，‎ ‎∵＝(－a，a,0)，＝(－a,0，λa)，∴ 即 ‎∴ 取z＝1，则x＝y＝λ，‎ ‎∴m＝(λ，λ，1)，‎ ‎∵二面角C－AE－D的大小为60°，‎ ‎∴cos〈n，m〉＝＝＝，‎ ‎∵λ∈(0,1]，∴λ＝.‎