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- 2021-06-24 发布
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2019-2020 届临川一中上学期第一次联合考试
高三数学试题(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1.若 2
1
iz i
则 z z
A.-2 B.2 C. 5
2 D.- 5
2
2.设集合 2{ }, { 3 2}A x x a B x x a ,若 A B 为空集,则实数 a 的取值范围为
A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞)
3.设 a,b∈R,则“(a-b)a2>0”是“a>b”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若函数 f(x)=ax-lnx 的图象上存在与直线 x+2y-4=0 垂直的切线,则实数 a 的取值范围是
A. (-2,+∞) B. ( 1
2
,+∞) C. (- 1
2
,+∞) D. (2,+∞)
5.若 x>0,y<0,则下列不等式一定成立的是
A.2x-2y>x2 B. 1
2
2 2 1x y log x C. 2x-2y>1+x D. 2x-2y>1-x
17.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另
一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金
三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一
个顶角为 360 的等腰三角形(另一种是顶角为 1080 的等腰三角形)。例如,五角星由五个黄金三
角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金△ABC 中, 5 1
2
BC
AC
。根据这些
信息,可得 cos2160=
A. 4 5
8
B. 1 5
4
C. 3 5
8
D.1 2 5
4
7.若函数
2
2 2, 1( )
log ( 1), 1
x xf x
x x
,在(-∞,a]上的最大值为 4,则 a 的取值范围为
A. (1,17] B. (1,9] C.[1,17] D. [1,9]
8.将编号为 1,2,3,4,5,6 的六个小球放入编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子中,每个
盒子放一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,则不同的放法总数是
A.40 B.60 C.80 D.100
9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 7,则判断框内 m 的取值范围是
A.(30,42] B.(30,42) C.(42,56] D.(42,56)
10.已知 F1,F2 为椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的两个焦点, B 为椭圆短轴的一个端点,
2
1 2 1 2
1
4BF BF F F ,则椭圆的离心率的取值范围为
A.[0, 1
2 ] B.[0, 2
2 ] C. [0, 3
3 ] D. [ 1
2
,1]
11.设曲线 y=cosx 与 x 轴、y 轴、直线
6x 围成的封闭图形的面积为 b,若 g(x)=2lnx-2bx2
-kx 在[1,+∞]上的单调递减,则实数 k 的取值范围是
A.[0,+∞) B.(0.+∞) C.[1,+∞) D.(1,+∞)
12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1+a2=2, 1
2
3n na S ,用[x]表示不超过 x 的最大
整数,设 bn=[an],数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则使 T2n>2019 成立的最小正整数 n 是
A.5 B.6 C.7 D.8
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡中的横线上。
13.
91
2x x
展开式中的常数项为 .
14.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 a7=-2a1,则 11
9 7
S
S a
.
15.如图所示是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边 BD 长为 2,侧视图是
一直角三角形,俯视图为一直角梯形,且 AB=BC=1,则异面直线 PB 与 CD 所成角的正切
值是 。
16.已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 F1,F2,点 A 是双曲线左支上的
一点,若直线 AF1 与直线 by xa
平行且△AF1F2 的周长为 9a,则双曲线的离心率为 。
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题,
每道试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.△ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,已知 acosB=(4c-b)cosA.
(1)求 cosA 的值;
(2)若 b=4,点 M 在线段 BC 上, 2 , 10AB AC AM AM ,求△ABC 的面积。
18.如图,在三棱锥 P-ABC 中,平面 PAB⊥平面 ABC,AB=6,BC= 2 3 ,D,E 分别为线
段 AB,BC 上的点,且 AD=2DB,CE=2EB,PD⊥AC。
(I)求证:PD⊥平面 ABC;
(2)若直线 PA 与平面 ABC 所成的角为 450,求平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角大小。
19.已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率 3
2
,一个长轴顶点在直线 y=x+2 上,若直线
l 与椭圆交于 P,Q 两点,O 为坐标原点,直线 OP 的斜率为 k1,直线 OQ 的斜率为 k2。
(1)求该椭圆的方程;
(2)若 1 2
1
4k k ,试问△OPQ 的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理
由。
20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着许多旅游景点。每年来抚州参观
旅游的人数不胜数。其中,名人园与梦岛被称为抚州的两张名片,为合理配置旅游资源,现
对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查。若不去梦岛记 1 分,若继续去梦岛记 2 分。
每位游客去梦岛的概率均为 2
3
,且游客之间的选择意愿相互独立。
(1)从游客中随机抽取 3 人,记总得分为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望;
(2)若从游客中随机抽取 m 人,记总分恰为 m 分的概率为 Am,求数列{Am}的前 6 项和;
(3)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中,记已调查过的累计得分恰为 n 分的概率为 Bn,
探讨 Bn 与 Bn-1 之间的关系,并求数列{Bn}的通项公式。
21.已知函数 2 21 1( ) (2ln 1) (ln 2)4 2f x x x ax x x 。
(1)讨论 f(x)的单调性。
(2)试问是否存在 a∈(-∞,e],使得 1( ) 3 sin4 4
af x ,对 x∈[1,+∞)恒成立?若存在,
求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 cos ( [0,2 )sin
x
y
为参数),在同一平面
直角坐标系中,经过伸缩变换 2x x
y y
得到曲线 C1,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系(ρ为极径,θ为极角)。
(I)求曲线 C 的直角坐标方程和曲线 C1 的极坐标方程;
(II)若射线 OA:θ=β(ρ>0)与曲线 C1 交于点 A,射线 OB:θ=β+
2
(ρ>0)与曲线 C1 交于点 B,
求 2 2
1 1
OA OB
的值。
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
己知函数
2 1( ) 1 ( 0), ( ) 4 1af x x x a g x xa
。
(I)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥5 的解集;
(II)若关于 x 的不等式 f(x)≤g(x)的解集包含[1,2],求 a 的取值集合。
2019-2020 届临川一中上学期第一次联合考试
数学答案(理)
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A D B B C A A C A B
二、填空题
13.-21
2 14.3
2 15. 16.2
三、解答题
17.解(1)∵acosB=(4c-b)cosA,
由正弦定理得:sinAcosB=(4sinC-sinB)cosA,…………2 分
即 sinAcosB+cosAsinB=4sinCcosA,即 sinC=4 cosAsinC,…………4 分
在 中, ,所以 cosA=1
4…………………………5 分
(2)AB→ +AC→ =2
AM→ ,两边平方得: ……6 分
由 b=4,|
AM→ |=,cosA=1
4
得 c2+b2+2×c×b×
1
4=4×10,………………8 分
可得 c2+16+2c=40……………………10 分
解得:c=4 或 c=-6(舍) ………………11 分
所以△ABC 的面积 s=1
2bcsinA=2 ………………12 分
18.解:(1)证明:∵AC=2,BC=2,AB=6,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴cos∠ABC=
3
6=
3
3.又易知 BD=2,
∴CD2=22+(2)2-2×2×2cos∠ABC=8,
∴CD=2,又 AD=4,
∴CD2+AD2=AC2,
∴CD⊥AB.
∵平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB,CD⊂平面 ABC,
∴CD⊥平面 PAB,又 PD⊂平面 PAB,
∴CD⊥PD,
∵PD⊥AC,AC∩CD=C,
∴PD⊥平面 ABC.……………………5 分
(2)由(1)知 PD,CD,AB 两两互相垂直,
∴可建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,
∵直线 PA 与平面 ABC 所成的角为 45°,即∠PAD=45°,
∴PD=AD=4,
则 A(0,-4,0),C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,4),
∴
CB
―→=(-2,2,0),
AC
―→=(2,4,0),
PA
―→=(0,-4,-4).
∵AD=2DB,CE=2EB,
∴DE∥AC,由(1)知 AC⊥BC,
∴DE⊥BC,
又 PD⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC,
∴PD⊥BC,
∵PD∩DE=D,
∴CB⊥平面 PDE,
∴
CB
―→=(-2,2,0)为平面 PDE 的一个法向量.
设平面 PAC 的法向量为 n=(x,y,z),
则
AC
―→
PA
―→
PA
=0,即
2x+4y=0,
-4y-4z=0,令 z=1,得 x=,y=-1,
∴n=(,-1,1)为平面 PAC 的一个法向量.
∴cos=
-4-2
12 =-
3
2,
∴平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角的余弦值为
3
2,
故平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角为 30°.……………………12 分
19.解:由 e=c
a=3
2,又由于 a>b>0,一个长轴顶点在直线 y=x+2 上,
可得:a=2,c=,b=1
(1)故此椭圆的方程为x2
4 +y2=1………………5 分
(2)设 P(x1,y1),Q(x1,y1),当直线 PQ 的斜率存在时,设其方程为 y=kx+m
联立椭圆的方程得: (4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0
由△=64k2m2-4(4k2+1)( 4m2-4)>0,可得 m2<4k2+1
则 x1+x2=- 8km
4k2+1 ,x1·x2=4m2-4
4k2+1
|PQ|=·|x1-x2|=·
=4·4k2-m2+1
4k2+1
又点 O 到直线 y=kx+m 的距离 d= |m|
k2+1
S△OPQ=1
2·d·|PQ|=2|m|·4k2-m2+1
4k2+1
由于 k1·k2=y1y2
x1x2=x1+x2+m2
x1x2 =- 1
4,
可得:4k2=2m2-1
故 S△OPQ=2|m|·2m2-1-m2+1
2m2 =1
当直线 PQ 的斜率不存在时,可算得:S△OPQ=1
故△OPQ 的面积为定值 1……………………12 分
20.(1)X 可能取值为 3,4,5,6
P(X=3)=(
1
3)3 = 1
27
P(X=4)=C31 (
2
3)(
1
3)2 = 6
27…………1 分
P(X=5)=C32 (
2
3)2(
1
3) =12
27
P(X=6)= (
2
3)3 = 8
27…………2 分
故其分布列为……………………3 分
X 3 4 5 6
P 1
27
6
27
12
27
8
27
E(X)=5………………4 分
(2)①总分恰为 m 的概率 Am=(
1
3)m……………………6 分
故 S6=1
3=364
729……………………8 分
②已调查过的累计得分恰为 n 分的概率为 Bn,
得不到 n 分的情况只有先得 n-1 分,再得 2 分,概率为 2
3Bn-1,而 B1=1
3…………9 分
故 1-Bn=2
3Bn-1,即 Bn=-2
3Bn-1+1…………10 分
可得 Bn-3
5=-2
3( Bn-1-3
5),B1-3
5=- 4
15…………11 分
可得 Bn=3
5+2
5·(-2
3)n……………………12 分
21.解:(1)f / (x)=xlnx-alnx+a-x=(x-a)(lnx-1),x∈(0,+∞)………………1 分
①当 a=e 时,f / (x) =(x-e)(lnx-1)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增…………2 分
②当 a≤0 时,x-a>0,f(x)在(0,e) 上单调递减,在(e,+∞)上单调递增…………3 分
③当 0<a<e 时, f(x)在(a,e) 上单调递减,在(0,a),(e,+∞)上单调递增…………4 分
④当 a>e 时, f(x)在(e,a) 上单调递减,在(0,e),(e,+∞)上单调递增…………6 分
(2)假设存在 a∈(-∞,e],使得 f(x)>3+1
4sin
aπ
4 对任意 x∈[1,+∞)恒成立
则 f(1)=2a-3
4>3+1
4sin
aπ
4 ,即 8a-sin
aπ
4 -15>0…………7 分
设 g(x)=8x-sin
πx
4 -15,g/ (x)=8-π
4cos
πx
4 >0,则 g(x)单调递增
由于 g(2)=0,所以 a>2
①当 a=e 时,f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以 f(x)min=f(1),所以 a >2,
从而 a=e 满足题意…………8 分
②当 2<a<e 时, f(x)在(a,e) 上单调递减,在(0,a),(e,+∞)上单调递增
所以1
4
aπ
4
1
4
aπ
4
aπ
4 ,可aπ
4
aπ-e2-12>0 (1)…………9 分
设 h(x)=4ex-sin
πx
4 -e2-12,h/ (x)=4e-π
4cos
πx
4 >0,则 h(x)是单调递增函数…………
10 分
由于 h(2)=8e-e2-13>0
可得 h(x)的零点小于 2,从而不等式组(1)的解集为(2,+∞)
所以 2<a<e…………11 分
综上,存在 a∈(-∞,e],使得 f(x) >3+1
4sin
aπ
4 对 x∈[1,+∞]恒成立,
且 a 的取值范围是(2,e] …………12 分
22.(1)C:x2+y2=1,
曲线 C1:x/=2cosα
y/=sinα ,得 x/2+4y/2=4…………2 分
即ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4………………5 分
(2) θ=β
ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4,有 1
ρ2=cos2θ
4 +sin2θ…………7 分
∴ 1
|OA|2=cos2θ
4 +sin2θ,…………8 分
同理 1
|OB|2=2+sin2(θ+π
2)=sin2θ
4 +cos2θ…………9 分
故 1
|OA|2+ 1
|OB|2=5
4………………10 分
23.(1)f(x)=|x-2|+|x-1|≥5 可解得 x∈(-∞,-1]∪[4,+∞)…………5 他
(2)由|x-a2+1
a |+|x-1|≤4-|x+1|在[1,2]上恒成立,
由于 a>0,可得a2+1
a ≥2…………6 分
等价于a2+1
a -x+x-1≤4-x-1 在[1,2]上恒成立…………7 分
即a2+1
a ≤4-x 在[1,2]上恒成立,…………8 分
即a2+1
a ≤2,可得 a=1,…………9 分
故 a 的取值集合为{1}…………10 分