2018届二轮复习（文）专题七解析几何3 41页

7 . 3 . 3 　 圆锥曲线中的定点 、 定 值与存在性问题 - 2 - 圆锥曲线中的定点问题 ( 多维探究 ) 解题策略一 　 直接法   (1) 求 C 的方程 ; (2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A , B 两点 . 若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为 - 1, 证明 : l 过定点 . - 3 - 难点突破 (1) 求椭圆方程需要两个条件 , 由椭圆的对称性 知 在 椭圆上 , 这只能算一个条件 , 将 P 1 (1,1) 代入椭圆方程与 P 3 代入椭圆方程的比较中 P 1 (1,1) 不在椭圆上 , 知两点易求椭圆方程 . (2) 证明直线 l 过定点可根据条件直接用参数表示出直线方程 , 得到形如 f ( x , y ) + λ g ( x , y ) = 0 的形式 , 且方程对参数的任意值都成立 , 解 方 程组 得 定点 . - 4 - 解 (1) 由于 P 3 , P 4 两点关于 y 轴对称 , 故由题设知 C 经过 P 3 , P 4 两点 . (2) 设直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率分别为 k 1 , k 2 , 如果 l 与 x 轴垂直 , 设 l : x=t , 由题设知 t ≠0, 且 |t|< 2, - 5 - 从而可设 l : y=kx+m ( m ≠1 ) . 所以 l 过定点 (2, - 1 ) . - 6 - 解题心得 证明直线和曲线过定点 , 如果定点坐标没有给出 , 一般可直接求直线和曲线的方程 , 然后根据方程的形式确定其过哪个定点 ; 如果得到的方程形如 f ( x , y ) + λ g ( x , y ) = 0, 且方程对参数的任意值 都 成立 , 则 令 解 方程组得定点 . - 7 - (1) 求椭圆 E 的方程 ; (2) 设椭圆 E 的右顶点为 A , 不过点 A 的直线 l 与椭圆 E 相交于 P , Q 两点 , 若以 PQ 为直径的圆经过点 A , 求证 : 直线 l 过定点 , 并求出该定点坐标 . - 8 - (2) 证明 : 由 (1) 得 A (2,0) . 设直线 l 的方程 为 my+t=x , P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ) . ∴ ( x 1 - 2)( x 2 - 2) +y 1 y 2 = 0, 即 ( my 1 +t- 2)( my 2 +t- 2) +y 1 y 2 = 0, 化为 ( m 2 + 1) y 1 y 2 + ( mt- 2 m )( y 1 +y 2 ) + ( t- 2) 2 = 0, - 9 - 解题策略二 　 逆推法   (1) 求点 P 的轨迹方程 ; (2) 设点 Q 在直线 x=- 3 上 , 且 = 1 . 证明 : 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. - 10 - 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ , 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. - 11 - 解题心得 证明直线或曲线过某一确定的定点 ( 定点坐标已知 ), 可把要证明的结论当条件 , 逆推上去 , 若得到使已知条件成立的结论 , 即证明了直线或曲线过定点 . - 12 - (1) 求椭圆 C 的标准方程 ; (2) 已知点 A , B 为动直线 y=k ( x- 2)( k ≠0) 与椭圆 C 的两个交点 , 证明 : 在 x 轴上是否存在定点 E , 使 为 定值 , 并求出定值 . 又以原点 O 为圆心 , 椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x 2 +y 2 =a 2 , - 13 - 要使上式为定值 , 即与 k 无关 , 则应 3 m 2 - 12 m+ 10 = 3( m 2 - 6 ), - 14 - 圆锥曲线中的定值问题 解题策略 　 直接法   例 3 (2017 全国 Ⅲ , 文 20) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 y=x 2 +mx- 2 与 x 轴交于 A , B 两点 , 点 C 的坐标为 (0,1) . 当 m 变化时 , 解答下列问题 : (1) 能否出现 AC ⊥ BC 的情况 ? 说明理由 ; (2) 证明过 A , B , C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 . 难点突破 (1) 先假设能出现 AC ⊥ BC , 再验证直线 AC , BC 的斜率之积是否为 - 1, 从而得结论 ; (2) 设 A ( x 1 ,0), B ( x 2 ,0), 点 C 的坐标已知 , 由 A , B , C 三点 ⇒ AB , BC 的中垂线方程 ⇒ 圆心坐标及圆半径 ⇒ 圆在 y 轴上的弦长 . - 15 - 解 (1) 不能出现 AC ⊥ BC 的情况 , 理由如下 : 设 A ( x 1 ,0), B ( x 2 ,0), 则 x 1 , x 2 满足 x 2 +mx- 2 = 0, 所以 x 1 x 2 =- 2 . 又 C 的坐标为 (0,1), 所以不能出现 AC ⊥ BC 的情况 . - 16 - 即过 A , B , C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 . - 17 - 解题心得 证某一量为定值 , 一般方法是用一参数表示出这个量 , 通过化简消去参数 , 得出定值 , 从而得证 . 对点训练 3 (2017 河南濮阳一模 , 文 20) 已知椭圆 C : ( a>b> 0 ) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , 过 F 2 的直线 l 交椭圆于 A , B 两点 , △ ABF 1 的周长为 8, 且 △ AF 1 F 2 的面积最大时 , △ AF 1 F 2 为正三角形 . - 18 - ( 1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 若 MN 是椭圆 C 经过原点的弦 , MN ∥ AB , 求证 : 为 定值 . 解 (1) 由已知 A , B 在椭圆上 , 可得 |AF 1 |+|AF 2 |=|BF 1 |+|BF 2 |= 2 a , 又 △ ABF 1 的周长为 8, 所以 |AF 1 |+|AF 2 |+|BF 1 |+|BF 2 |= 4 a= 8, 即 a= 2, 由椭圆的对称性可得 , △ AF 1 F 2 为正三角形当且仅当 A 为椭圆短轴顶点 , 则 a= 2 c , 即 c= 1, b 2 =a 2 -c 2 = 3, 则椭圆 C 的方程 为 = 1 . - 19 - (2) 证明 : 若直线 l 的斜率不存在 , 即 l : x= 1 , 若直线 l 的斜率存在 , 设直线 l : y=k ( x- 1), 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), - 20 - 圆锥曲线中的存在性问题 解题策略 　 肯定顺推法   例 4 (2017 黑龙江大庆三模 , 文 20 ) 已知中心在原点 O , 焦点在 x 轴 上 (1) 求椭圆的方程 ; (2) 椭圆左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , 过 F 2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A , B , 则 △ F 1 AB 的内切圆的面积是否存在最大值 ? 若存在 , 求出这个最大值及此时的直线方程 ; 若不存在 , 请说明理由 . - 21 - 难点突破 (1) 设椭圆方程 , 由题意列关于 a , b , c 的方程组求解 a , b , c 的值 , 则椭圆方程可求 ; (2) 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 不妨设 y 1 > 0, y 2 < 0, 设 △ F 1 AB 的内切圆的 半径 立 , 从而可表示 △ F 1 AB 的面积 , 利用换元法 , 借助于导数 , 即可求得结论 . - 22 - (2) 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 不妨设 y 1 > 0, y 2 < 0, 设 △ F 1 AB 的内切圆的半径为 R , - 23 - - 24 - 解题心得 存在性问题通常用 “ 肯定顺推法 ”, 将不确定性问题明朗化 , 其步骤为假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在 , 用待定系数法设出 , 列出关于待定系数的方程组 , 若方程组有实数解 , 则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在 ; 否则 , 元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . - 25 - (1) 求椭圆 E 的方程 ; (2) 设 O 为坐标原点 , 过点 P 的动直线与椭圆交于 A , B 两点 , 是否存在常数 λ , 使得 为 定值 ? 若存在 , 求 λ 的值 ; 若不存在 , 请说明理由 . - 26 - 解 (1) 由已知 , 点 C , D 的坐标分别为 (0, -b ),(0, b ) . - 27 - - 28 - 解析几何化简中的换元法 解题策略 　 换元法   (1) 求椭圆 C 1 与抛物线 C 2 的标准方程 ; (2) 过 (1,0) 的两条相互垂直直线与抛物线 C 2 有四个交点 , 求这四个点围成四边形的面积的最小值 . - 29 - ∴ p= 4, ∴ 抛物线 C 2 的标准方程为 y 2 = 8 x. (2) 由题意易得两条直线的斜率存在且不为 0, 设其中一条直线 l 1 的斜率为 k , 直线 l 1 方程为 y=k ( x- 1), 则另一条直线 l 2 的方程为 同理设直线 l 2 与抛物线 C 2 的交点为 C , D , - 30 - ∴ 当两直线的斜率分别为 1 和 - 1 时 , 四边形的面积最小 , 最小值为 96 . - 31 - 解题心得 解析几何中常用的化简策略 —— 根号内开不出 , 便把根号外的项往根号里面拿 . 使用换元法后 , 注意新变量的取值范围 . - 32 - 对点训练 5 已知抛物线 E : y 2 = 2 px ( p> 0) 的准线与 x 轴交于点 K , 过点 K 作圆 C :( x- 5) 2 +y 2 = 9 的两条切线 , 切点为 M , N , |MN|= 3 . (1) 求抛物线 E 的方程 ; (2) 设 A , B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点 , 且 ( 其中 O 为坐标原点 ) . ① 求证 : 直线 AB 必过定点 , 并求出该定点 Q 的坐标 ; ② 过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G , D 两点 , 求四边形 AGBD 面积的最小值 . - 33 - - 34 - 故 S min = 88, 当且仅当 m=± 1 时取到最小值 88 . - 35 - 解析几何化简中的双参数问题 解题策略 　 参数法   例 6 已知椭圆 C : ( a>b> 0 ) 的四个顶点是一边长为 2, 一内角为 60° 的菱形的四个顶点 . (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 如果直线 y=kx ( k ≠0) 交椭圆 C 于不同的两点 E , F , 证明 : 点 Q (1,0) 始终在以 EF 为直径的圆内 ; - 36 - 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 因为显然直线 AB 有斜率 , - 37 - 因直线 l : y=mx+t ( m ≠0 ), - 38 - 解题心得 第一步 , 走解题程序 : 直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点 , 设方程 ⇒ 联立方程组 ⇒ 整理化简 ⇒ 两根之和、两根之积、根的判别式 . 第二步 , 与条件对接 : 与条件等式对接的转化形式为 : 将条件等式转化为关于 x 1 , x 2 的表达式或关于 y 1 , y 2 的表达式 , 然后 , 解出两个参数之间的关系式 , 将双参数问题转换成一个参数的问题 , 然后用函数的方法处理 . - 39 - 对点训练 6 已知椭圆 C : ( a>b> 0 ) 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系 , 直线 l : x-y + = 0 与以原点为圆心 , 以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切 . (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 设 M 是椭圆的上顶点 , 过点 M 分别作直线 MA , MB 交椭圆于 A , B 两点 , 设两直线的斜率分别为 k 1 , k 2 , 且 k 1 +k 2 = 4, 证明 : 直线 AB 过 定点 - 40 - (2) ① 若直线 AB 的斜率不存在 , 设方程为 x=x 0 , 则点 A ( x 0 , y 0 ), B ( x 0 , -y 0 ) . - 41 -