2021版高考数学一轮复习核心素养测评十九定积分与微积分基本定理理北师大版 10页

核心素养测评十九 定积分与微积分基本定理 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(x+ex)的值为 (　　)　‎ A.e B.e+‎ C.e- D.e+1‎ ‎【解析】选C.(x+ex)dx==+e-1=e-.‎ ‎【变式备选】‎ e|x|dx的值为 (　　)‎ A.2　　B.2e　　C.2e-2　　D.2e+2‎ ‎【解析】选C.e|x|dx=e-xdx+exdx ‎=-e-x+ex=[-e0-(-e)]+(e-e0)‎ ‎=-1+e+e-1=2e-2.‎ ‎2.已知f(x)=x3-x+sin x,则f(x)dx的值为 (　　)‎ A.等于0 B.大于0‎ C.小于0 D.不确定 ‎【解析】选A.由题意得,函数f(x)=x3-x+sin x是奇函数,所以f(x)dx=0.‎ ‎【变式备选】‎ 已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则f(x)dx等于 (　　)‎ - 10 -‎ A.0　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.16‎ ‎【解析】选D.f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx,‎ 因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图像关于y轴对称,故f(x)dx=2f(x)dx=2×8=16.‎ ‎3.设f(x)=则f(x)dx等于 (　　)‎ A.　　 B.　　 C.　　 D.不存在 ‎【解析】选C.f(x)dx=x2dx+(2-x)dx ‎=+=+=.‎ ‎4.函数y=x2-1的图像如图所示,则阴影部分的面积是 (　　)‎ A.(x2-1)dx B.(x2-1)dx C.|x2-1|dx D.(x2-1)dx+(1-x2)dx ‎【解析】选C.所求面积为(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx.‎ ‎5.如图四边形OABC是边长为2的正方形,曲线段DE所在的曲线方程为xy=1,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 (　　)‎ - 10 -‎ A.　　　　　　 B.‎ C.　 D.‎ ‎【解析】选A.根据条件可知,E,阴影部分的面积为dx=(2x-ln x)=3-2ln 2,‎ 所以豆子落在阴影部分的概率为.‎ ‎6.(2020·渭南模拟)一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时,F(x)做的功为 (　　)‎ A.J B.J C.J D.2J ‎【解析】选C.变力F在位移方向上的分力为Fcos 30°,故F(x)做的功为W=(5-x2)cos 30°dx=(5-x2)dx==(J).‎ ‎7.已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1=(x>0),y2=x,y3=x,则阴影部分的面积为 (　　)‎ A.1+ln 2 B.ln 2 C.1 D.2‎ - 10 -‎ ‎【解析】选B.由得x=1;由得x=2.阴影部分的面积S=dx+‎ dx ‎=dx+dx-dx ‎=+ln x-=ln 2.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.计算:dx=________________. ‎ ‎【解析】根据定积分的几何意义,可知 dx表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的(如图中阴影部分).‎ 故dx=.‎ 答案:‎ ‎9.已知m=(cos x-x+3sin2x)dx,则的展开式中,常数项为________________. ‎ - 10 -‎ ‎【解析】m=(cos x-x+3sin 2x)dx ‎==2,‎ 所以=,所以Tr+1=‎ x6-r=,由6-r=0得r=4,因此常数项为=.‎ 答案:‎ ‎10.射线y=4x(x≥0)与曲线y=x3所围成的图形的面积为________________.  ‎ ‎【解析】将射线方程与曲线方程联立,解得:,,‎ 即射线y=4x(x≥0)与曲线y=x3有两个公共点,所围成的图形的面积为(4x-x3)dx==4.‎ 答案:4‎ ‎【变式备选】‎ 记曲线y=与直线x=2,y=0所围成封闭图形的面积为S,则S=__________. ‎ ‎【解析】S=dx==.‎ 答案:‎ ‎(15分钟　35分)‎ - 10 -‎ ‎1.(5分)(2020·黄冈模拟)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图像的一条对称轴是 (　　)‎ A.x= B.x=‎ C.x= D.x=‎ ‎【解析】选A.函数f(x)的对称轴为x-φ=+k1π⇒x=φ++k1π,因为sin(x-φ)dx=0⇒-cos+cos φ=0⇒sin=0,‎ 所以-φ=k2π⇒φ=-k2π,即对称轴x=φ++k1π=-k2π+k1π(k1,k2∈Z),则x=是其中一条对称轴.‎ ‎【变式备选】‎ ‎(2019·日照模拟)在函数y=cos x,x∈的图像上有一点P(t,cos t),若该函数的图像与x轴、直线x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则函数S=g(t)的图像大致是 (　　)‎ ‎【解析】选B.因为S=g(t)=cos xdx=sin t+1,所以图像是B.‎ - 10 -‎ ‎2.(5分)一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为________________J. ‎ ‎【解析】由题意知,力F(x)所做的功为 W=F(x)dx=5dx+(3x+4)dx=5×2+‎ ‎=10+=36(J).‎ 答案:36‎ ‎3.(5分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为________________. ‎ ‎【解析】f′(x)=-3x2+2ax+b,因为f′(0)=0,‎ 所以b=0,所以f(x)=-x3+ax2,‎ 令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).S阴影=‎ ‎-(-x3+ax2)dx=a4=,所以a=-1.‎ 答案:-1‎ ‎4.(10分)已知曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内的交点为P.‎ ‎(1)求P处与曲线C2相切的直线方程.‎ - 10 -‎ ‎(2)求两条曲线所围图形(如图所示阴影部分)的面积S. ‎ ‎【解析】(1)曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内交点为P(2,2).C2:y=x2的导数y′=x, y′|x=2=2,‎ 而切点的坐标为(2,2),‎ 所以曲线C2:y=x2在P处的切线方程为 y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.‎ ‎(2)由曲线C1:y2=2x与C2:y=x2可得两曲线的交点坐标为(0,0),(2,2),‎ 所以两条曲线所围图形的面积 S=dx==.‎ ‎【变式备选】‎ 求由抛物线y2=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积.‎ ‎【解析】如图所示,‎ 解方程组得两交点的坐标分别为(2,-2),(8,4).‎ 方法一:选取横坐标x为积分变量,则图中阴影部分的面积S可看作部分面积之和,‎ 即S=2dx+(-x+4)dx=18.‎ 方法二:选取纵坐标y为积分变量,则图中阴影部分的面积S=dy=18.‎ - 10 -‎ ‎5.(10分)(1)求函数f(x)=的图像与x轴所围成的封闭图形的面积.‎ ‎(2)求曲线y=x2,y=x及y=2x所围成的平面图形的面积. ‎ ‎【解析】(1)(x+2)dx+2cos xdx ‎=+2sin x=0-+2=4.‎ ‎(2)曲线y=x2,y=x及y=2x所围成的平面图形的面积如图所示:‎ 由,得A(1,1),又由,得B(2,4),‎ 所以S阴影=(2x-x)dx+(2x-x2)dx ‎=x2+=.‎ 所求平面图形面积为.‎ ‎(2020·皖南八校联考)用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值,设f(x)=min,则由函数f(x)的图像,x轴与直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积为________________. ‎ ‎【解析】由题意,围成的封闭图形如图中阴影部分,‎ - 10 -‎ 由题意,S=dx+dx=‎ ‎+ln x=+ln 2=+ln 2.‎ 答案:+ln 2‎ - 10 -‎