2021版新高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形A新人教A版 1 9页

单元质检卷四　三角函数、解三角形(A)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ 一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)‎ ‎1.(2019山东日照质检)若点P(1,-2)是角α的终边上一点,则cos 2α=(　　)‎ A.‎2‎‎5‎ B.-‎3‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎ D.‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎2.已知α∈R,sin α+2cos α=‎10‎‎2‎,则tan 2α=(　　)‎ A.‎4‎‎3‎ B.‎3‎‎4‎ C.-‎3‎‎4‎ D.-‎‎4‎‎3‎ ‎3.(2019山东烟台一模)将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π‎2‎的图象向右平移π‎6‎个单位长度后,所得图象关于y轴对称,且fπω=-‎1‎‎2‎,则当ω取最小值时,函数f(x)的解析式为(　　)‎ A.f(x)=sin2x+π‎6‎ B.f(x)=sin2x-‎π‎6‎ C.f(x)=sin4x+π‎6‎ D.f(x)=sin4x-‎π‎6‎ ‎4.‎ ‎(2019上海宝山区校级月考)凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形,把四边形任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形,如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=‎3‎,AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为(　　)‎ A.3 B.4‎ 9‎ C.‎6‎+1 D.‎‎7+2‎‎3‎ 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎5.(2019广东中山期末)将函数f(x)=2sinx+π‎6‎-1的图象上各点横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是(　　)‎ A.函数g(x)的图象关于点-π‎12‎,0对称 B.函数g(x)的周期是π‎2‎ C.函数g(x)在0,π‎6‎上单调递增 D.函数g(x)在0,π‎6‎上最大值是1‎ ‎6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,下列结论正确的是(　　)‎ A.△ABC的边长可以组成等差数列 B.AB‎·‎AC>0‎ C.‎A‎7‎‎=B‎5‎=‎C‎3‎ D.若b+c=8,则△ABC的面积是‎15‎‎3‎‎4‎ 三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ 9‎ ‎7.《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中《方田》章给出的计算弧田面积的经验公式为弧田面积=‎1‎‎2‎(弦×矢+矢2),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦的长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有弧长为‎4π‎3‎米,半径等于2米的弧田,则弧所对的弦AB的长是　　　米,按照上述经验公式计算得到的弧田面积是　　　平方米. ‎ ‎8.(2019北京海淀区模拟)已知函数f(x)=asin x-2‎3‎cos x的一条对称轴为x=-π‎6‎,f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,则|x1+x2|的最小值为　　　　. ‎ 四、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-cos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求证:当x∈‎0,‎π‎2‎时,f(x)≥0.‎ ‎10.(15分)(2019浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sin x+‎3‎sinx+π‎2‎+sinx+π‎3‎,x∈R.‎ ‎(1)求f(2 019π)的值;‎ ‎(2)若f(α)=1,且0<α<π,求cos α的值.‎ 9‎ ‎11.(15分)(2019广东揭阳二模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且a2=4‎3‎S.‎ ‎(1)若C=60°,且b=1,求a边的值;‎ ‎(2)当cb=2+‎3‎时,求∠A的大小.‎ 参考答案 单元质检卷四　三角函数、‎ 解三角形(A)‎ ‎1.B　因为点P(1,-2)是角α的终边上一点,所以sinα=‎-2‎‎1‎‎2‎‎+(-2‎‎)‎‎2‎=-‎‎2‎‎5‎‎5‎‎.‎ 9‎ 所以cos2α=1-2sin2α=1-2×-‎2‎‎5‎‎5‎2=-‎3‎‎5‎‎.‎故选B.‎ ‎2.C　∵sinα+2cosα=‎10‎‎2‎,‎ ‎∴sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=‎‎5‎‎2‎‎.‎ 用降幂公式化简得4sin2α=-3cos2α,‎ ‎∴tan2α=sin2αcos2α=-‎3‎‎4‎‎.‎故选C.‎ ‎3.C　将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π‎2‎的图象向右平移π‎6‎个单位长度后,可得y=sinωx-ωπ‎6‎+φ的图象;‎ ‎∵所得图象关于y轴对称,‎ ‎∴-ωπ‎6‎+φ=kπ+π‎2‎,k∈Z.‎ ‎∵fπω=-‎1‎‎2‎=sin(π+φ)=-sinφ,即sinφ=‎1‎‎2‎,|φ|<π‎2‎,φ=‎π‎6‎‎.‎ ‎∴-ωπ‎6‎=kπ+π‎3‎,k∈Z,得ω=-6k-2>0,k∈Z.则当ω取最小值时,取k=-1,可得ω=4,∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin4x+π‎6‎.‎ 故选C.‎ ‎4.C　设∠ABC=α,∠ACB=β,则AC2=AB2+BC2-2·AB·BCcosα=4-2‎3‎cosα.由正弦定理ACsinα‎=‎ABsinβ得sinβ=‎sinα‎4-2‎3‎cosα‎.‎ 所以由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2·BC·CD·cosβ+π‎2‎=3+4-2‎3‎cosα+2‎·‎3‎·‎4-2‎3‎cosα·‎sinα‎4-2‎3‎cosα=7+2‎3‎sinα-2‎3‎cosα 9‎ ‎=7+2‎6‎sinα-π‎4‎,‎ 故当α=‎3π‎4‎时,取得最大值为‎6‎+1.‎ 故选C.‎ ‎5.ABD　将函数f(x)=2sinx+π‎6‎-1的图象上各点横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin2x+π‎6‎-1的图象,由于当x=-π‎12‎时,f(x)=-1,故函数g(x)的图象关于点-π‎12‎,-1对称,故A错误;‎ 函数g(x)的周期为‎2π‎2‎=π,故B错误;‎ 在0,π‎6‎上,2x+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎π‎2‎,g(x)单调递增,故C正确;‎ 在0,π‎6‎上,2x+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎π‎2‎,g(x)的最大值趋向于1,故D错误.故选ABD.‎ ‎6.AD　由已知可设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k>0),‎ 则a=‎7‎‎2‎k,b=‎5‎‎2‎k,c=‎3‎‎2‎k,‎ ‎∵a∶b∶c=7∶5∶3,‎ ‎∴2b=a+c,即△ABC的边长可以组成等差数列,故A正确;‎ ‎∴sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3,C错误;又cosA=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc‎=‎‎25‎k‎2‎‎4‎‎+‎9‎k‎2‎‎4‎-‎‎49‎k‎2‎‎4‎‎2×‎5‎‎2‎×‎3‎‎2‎×‎k‎2‎=-‎1‎‎2‎<0,‎ ‎∴△ABC为钝角三角形,‎ ‎∴AB·‎AC‎=bccosA<0,B错误;‎ 若b+c=8,则k=2,∴b=5,c=3,‎ 9‎ 又A=120°,‎ ‎∴S△ABC=‎1‎‎2‎bcsinA=‎15‎‎3‎‎4‎,D正确.故选AD.‎ ‎7.‎ ‎2‎3‎‎　‎3‎+‎‎1‎‎2‎　由弧长为‎4π‎3‎米,半径等于2米,可得圆心角为‎2π‎3‎,‎ ‎∴OD=1米,则AB=2BD=2‎3‎米;‎ ‎∴弧田面积S=‎1‎‎2‎(弦×矢十矢2)=‎1‎‎2‎[2‎3‎‎×‎(2-1)+(2-1)2]=‎‎3‎‎+‎1‎‎2‎.‎ ‎8‎.‎‎2π‎3‎　函数f(x)=asinx-2‎3‎cosx=a‎2‎‎+12‎sin(x+θ),其中tanθ=-‎2‎‎3‎a,‎ 函数f(x)的一条对称轴为x=-π‎6‎,可得f-π‎6‎=-‎1‎‎2‎a-2‎3‎‎×‎‎3‎‎2‎=-‎1‎‎2‎a-3,所以‎-‎1‎‎2‎a-3‎‎=‎a‎2‎‎+12‎,解得a=2.‎ ‎∴θ=-π‎3‎;对称中心横坐标由x-π‎3‎=kπ(k∈Z),可得x=kπ+π‎3‎(k∈Z);‎ 又f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,‎ ‎∴|x1+x2|=2kπ+π‎3‎,当k=0时,可得|x1+x2|=‎‎2π‎3‎‎.‎ ‎9.(1)解因为f(x)=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=‎2‎sin2x-π‎4‎+1,所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)证明由(1)可知,f(x)=‎2‎sin2x-π‎4‎+1.当x‎∈‎‎0,‎π‎2‎时,2x-π‎4‎‎∈‎‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎,‎ 9‎ sin‎2x-‎π‎4‎‎∈‎‎-‎2‎‎2‎,1‎,‎ ‎2‎sin‎2x-‎π‎4‎+1∈[0,‎2‎+1].‎ 当2x-π‎4‎=-π‎4‎,即x=0时,f(x)取得最小值0.‎ 所以当x‎∈‎‎0,‎π‎2‎时,f(x)≥0.‎ ‎10.解(1)由题得f(x)=sinx+‎3‎cosx+‎1‎‎2‎sinx+‎3‎‎2‎cosx=3sinx+π‎3‎,所以f(2019π)=3sin2019π+π‎3‎=3sinπ+π‎3‎=-3sinπ‎3‎=-‎‎3‎‎3‎‎2‎‎.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=3sinx+π‎3‎.‎ 由f(α)=1得sinα+π‎3‎=‎1‎‎3‎‎<‎‎1‎‎2‎,又因为0<α<π,故π‎2‎<α<‎2π‎3‎,‎ 所以cosα+π‎3‎=-‎2‎‎2‎‎3‎,‎ 所以cosα=cosα+π‎3‎-π‎3‎=-‎‎2‎‎2‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎×‎3‎‎2‎=‎3‎‎-2‎‎2‎‎6‎.‎ ‎11.解(1)由a2=4‎3‎S,a2=4‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎absinC,‎ ‎∴a=2‎3‎b·sinC,‎ ‎∵C=60°且b=1,∴a=2‎3‎‎×‎‎3‎‎2‎=3.‎ ‎(2)当cb=2+‎3‎时,‎ bc‎=‎‎1‎‎2+‎‎3‎‎=2-‎3‎,‎ ‎∵a2=4‎3‎S=b2+c2-2bccosA,‎ 9‎ ‎∴4‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎bcsinA=b2+c2-2bccosA,‎ 即2bc(‎3‎sinA+cosA)=b2+c2,‎ ‎∴4sinA+π‎6‎=b‎2‎‎+‎c‎2‎bc‎=bc+‎cb=4,得sinA+π‎6‎=1.‎ ‎∵A∈(0,π),∴A+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,则A+π‎6‎‎=‎π‎2‎,得A=‎π‎3‎‎.‎ 9‎