河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期线上期中考试数学试题 18页

石家庄二中2019~2020学年度高二年级下学期线上期中考试 数学试卷 一､选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，，再计算交集得到答案.‎ ‎【详解】，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎2.设复数满足，其中为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则直接计算得到答案.‎ ‎【详解】，则.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域和值域，以及函数的图象之间的关系，分别进行判定，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，对于A中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；‎ 对于B中，函数的定义域和值域都满足条件，所以是正确的；‎ 对于C中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；‎ 对于D中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，其中解答中熟记函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，逐项进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4.设是可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数定义得到，得到答案.‎ ‎【详解】，故在点处的切线的斜率为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的定义，切线斜率，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎5.的定义域为，，，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义域计算得到，，，得到答案.‎ ‎【详解】满足，即，故，‎ ‎，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数定义域，指数对数函数的单调性比较大小，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎6.设函数在上有意义，对给定实数，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，，则的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，分别计算分段函数值域得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：，‎ 故当，，当，，‎ 故函数值域为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎7.若函数的极大值为，极小值为，则的单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到，得到单调区间，故极大值为，极小值为，计算得到答案.‎ ‎【详解】，则，函数有极大值极小值，故.‎ 取得到，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 故极大值为，‎ 极小值为，解得，.‎ 故单调区间为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值，函数单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用排除法：‎ 由函数的解析式可得：，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD错误；‎ 当时，，选项B错误，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：函数图象识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎9.定义在上的可导函数，其导函数为满足恒成立，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，判断函数单调递增，变换得到，根据单调性解得答案.‎ ‎【详解】设，则恒成立，函数单调递增.‎ ‎，即，故，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数判断单调性是解题的关键.‎ ‎10.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，，若函数有两个零点，其中，分别记为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算当时，，画出函数图像，根据图像得到，，，根据函数的单调性得到答案.‎ ‎【详解】当时，，故，即，‎ ‎，即，，‎ 根据图像知：，且，则，‎ ‎，函数上单调递增，故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了求零点范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎11.已知函数，以下结论正确的是（ ）‎ A. ‎ B. 在区间上是增函数 C. 若方程恰有个实根，则 D. 若函数在上有个零点，则=‎ ‎【答案】ABCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 时，，函数为周期为的周期函数，画出函数图像，根据函数图像依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】当时，，故，‎ 当时，，函数为周期为的周期函数，画出函数图像，如图所示：‎ ‎，正确；‎ 函数在上单调递增，正确；‎ 函数过定点，根据图像知：直线与轴的交点在之间，故，正确；‎ 根据图像知，不妨设，则，，，‎ 故=，正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的周期，分段函数，函数的零点问题，函数单调性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎12.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题为真命题的是（ ）‎ A. 在内单调递减 B. 和之间存在“隔离直线”，且的最小值为 C. 和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是 D. 和之间存在唯一的“隔离直线”‎ ‎【答案】ABCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到得到单调区间得到正确，根据题意得到，，计算得到正确，，计算公切线为，再验证得到正确，得到答案.‎ ‎【详解】，则，解得，正确；‎ ‎，故，易知；‎ ‎，故，，时成立，时，，‎ 故，且，‎ 故，解得，故，同理可得，故正确；‎ ‎，故若存在，则一定为在处的公切线，‎ ‎，故，，，‎ 故公切线方程为：，‎ 现证明满足：设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故，故恒成立，‎ 设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故，故，故正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 二､填空题 ‎13.若复数满足，其中为虚数单位，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，化简得到答案.‎ ‎【详解】，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.已知集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程组得到答案.‎ ‎【详解】，解得，或，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15.已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到函数解析式为，画出函数图像，根据图像得到函数单调递增，故，解得答案.‎ ‎【详解】当时，，，故，‎ 画出函数图像，如图所示：‎ 根据图像知，函数单调递增，，即，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数单调性，根据单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎ ‎16.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，画出函数图像，计算直线和函数相切时和过点 的斜率，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】，故，画出图像，如图所示：‎ 当直线与函数相切时，设切点为，此时，，‎ 故，，，解得，，；‎ 当直线过点时，斜率为，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 三､解答题 ‎17.已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算，，再计算交集得到答案.‎ ‎（2），故，讨论和，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），，‎ 故.‎ ‎（2），，故，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，故，解得.‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎18.已知函数(为常数)在点处的切线斜率为.‎ ‎（1）求实数的值以及此切线方程；‎ ‎（2）求在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，，解得，再计算切线方程得到答案.‎ ‎（2）求导得到单调区间，计算，得到答案.‎ ‎【详解】（1），则，，‎ 故，，故切线方程为：，即.‎ ‎（2），故，‎ 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎，故当或时函数有最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的 切线和最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎19.已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）．‎ ‎（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；‎ ‎（2）若f（x）≤mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m得取值范围．‎ ‎【答案】（1）[﹣，1]；（2）m≥．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用换元法令t=log2x，t∈[0，2]，得f（t）=（t﹣2）（t﹣），利用二次函数性质可得f（0）≥f（t）≥f（），‎ 进而求出值域；‎ ‎（2）由（1）可整理不等式为t+﹣3≤‎2m恒成立，只需求出左式的最大值即可，利用构造函数g（t）=t+，知在（，+∞）上递增，求出最大值．‎ 解：令t=log2x，t∈[0，2]，‎ ‎∴f（t）=（t﹣2）（t﹣）‎ ‎=（t﹣2）（t﹣1），‎ ‎∴f（0）≥f（t）≥f（），‎ ‎∴﹣≤f（t）≤1，‎ 故该函数的值域为[﹣，1]；‎ ‎（2）x∈[4，16]，‎ ‎∴t∈[2，4]，‎ ‎∴（t﹣2）（t﹣1）≤mt，‎ ‎∴t+﹣3≤‎2m恒成立，‎ 令g（t）=t+，知在（，+∞）上递增，‎ ‎∴g（t）≤g（4）=，‎ ‎∴﹣3≤‎2m，‎ ‎∴m≥．‎ 考点：函数恒成立问题．‎ ‎20.已知函数是定义域为的奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据和，代入计算得到答案.‎ ‎（2），确定函数单调递减，故，解得答案.‎ ‎【详解】（1），函数为奇函数，故，则，‎ ‎，，，故.‎ ‎（2），根据复合函数单调性知函数单调递减，‎ ‎，即，故，‎ 即，故.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，利用单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数在上恒小于，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案.‎ ‎（2）讨论，，，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案.‎ ‎【详解】（1），则，，‎ 当时，恒成立，函数单调递减；‎ 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）当时，函数单调递减，故恒成立，故；‎ 当时，若，即，函数在上单调递减，故，成立，故；‎ 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减，故，解得，故；‎ 若，即，函数在上单调递增，故，故，‎ 故无解.‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.‎ ‎22.已知函数，其中.‎ ‎（1）若的图象与直线有唯一交点，求的值；‎ ‎（2）若对任意，且，都有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简得到，设，求导得到单调性，画出函数图像，根据图像得到答案.‎ ‎（2）单调递增，不妨设，化简得到，故函数上单调递减，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），即，当时不成立，故，‎ ‎，设，则，‎ 故函数上单调递减，在上单调减，在上单调递增，且，‎ 画出函数图像，如图所示：根据图像知.‎ ‎（2）恒成立，故函数单调递增，不妨设，‎ 则，即，‎ 即，故函数在上单调递减.‎ ‎，故，‎ 在上单调递减.故，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据切线求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎