上海市宝山区交大附中2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 25页

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期 高二数学期中考试试卷 一、填空题：本大题共12个小题,满分54分. 将答案填在答题纸上 ‎1.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两条平行直线确定个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果.‎ 详解】两条平行直线可确定个平面 直线与两条平行直线交于不同的两点 该直线也位于该平面上 这三条直线可确定个平面 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.‎ ‎2.已知球的体积为，则该球主视图的面积等于________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎ 由球体积公式，可得，则，所以主视图的面积为.‎ ‎3.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，．‎ 考点：棱柱的体积．‎ ‎【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．‎ ‎2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．‎ ‎4.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，‎ ‎ 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎ 因为的坐标为，所以,‎ ‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎5.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，即，母线与底面夹角为，则为，.‎ ‎【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.‎ ‎6.已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上底面圆心，是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图，若直线与所成角的大小为，则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为，在直角三角形ODA中，因为∠OAD=，所以，故答案为。‎ 考点：异面直线及其所成的角.‎ ‎7.已知三个顶点到平面的距离分别是3，3，6，则其重心到平面的距离为__________．（写出所有可能值）‎ ‎【答案】0，2，4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将所有情况分为三类：①在平面同侧，且在平面另一侧；②位于平面同侧，‎ 在平面另一侧；③在平面同侧；利用重心分中线成比例的性质可分别求得结果.‎ ‎【详解】设到平面距离为；到平面距离为 ‎①若在平面同侧，且在平面另一侧，则 取中点，连接，设重心为 又到平面的距离，到平面的距离 由重心性质可知： ‎ ‎ 到平面的距离为 ‎②若位于平面同侧，在平面另一侧，取中点，连接 设重心为，在平面内的射影分别为：，如下图所示：‎ ‎，‎ 又 ，即到平面距离为 ‎③若在平面同侧，则，取中点，连接 设重心为，在平面内的射影分别为，如下图所示：‎ ‎，‎ 又 ，即到平面距离为 综上所述，重心到平面距离为 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查点到面的距离的求解，关键是能够将原题进行准确的分类，做到不重不漏；考查了学生对于重心分中线成比例的性质的应用.‎ ‎8.正方体的棱长为,若动点在线段上运动, 则的取值范围 是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．∴‎ ‎，∴，故答案为．‎ 考点：平面向量数量积的运算.‎ ‎9.如图，在边长为4的正方形纸片中，与相交于点，剪去，将剩余部分沿折叠，使重合，则折叠后以为顶点的四面体的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 折叠后的四面体如图所示．‎ OA，OC，OD两两相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，‎ 所以体积V＝S△OCD·OA＝××(2)3＝‎ ‎10.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原几何体后，可根据垂直关系，利用勾股定理得到之间的关系：；利用三角换元的方式可将问题转化为三角函数最值的求解，根据三角函数的值域可求得结果.‎ ‎【详解】由三视图可得到三棱锥如下图所示：‎ 其中，，‎ ‎ ‎ 设，，‎ ‎，其中且 ‎ 当时，取得最大值：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查三视图还原几何体、利用圆的参数方程即三角换元法求解最值问题；解题关键是能够根据棱长关系得到所满足的关系式，从而利用三角换元将问题转化为三角函数值域问题的求解.‎ ‎11.已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，‎ ‎，，若，其中为球心，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据球面距离可求得三边长，利用正弦定理可求得所在小圆的半径；，根据平面向量基本定理可知四点共面，从而将所求问题变为的最大值；根据最小值为球心到所在平面的距离，可求得最小值，代入可求得所求的最大值.‎ ‎【详解】间的球面距离为 ‎ 同理可得：‎ ‎ ‎ 所在小圆的半径：‎ 设 四点共面 若取最大值，则需取最小值 最小值为球心到所在平面的距离 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三角形等知识；关键是能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题转化为半径与球心到小圆面距离的比值的最大值的求解的问题.‎ ‎12.如图，在四面体中，分别为的中点，过任作一个平面分别与直线相交于点，则下列结论正确的是___________．①对于任意的平面，都有直线，，相交于同一点；②存在一个平面，使得点在线段上，点在线段的延长线上； ③对于任意的平面，都有；④对于任意的平面，当在线段上时，几何体的体积是一个定值.‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当分别为中点时，可知三线互相平行，排除①；若三线相交，交点必在上，可排除②；取中点，利用线面平行判定定理可证得平面，平面，再结合为中点可得到平面的距离相等，进一步得到到直线的距离相等，从而证得面积相等，③正确；首先通过临界状态与重合，与重合时，求得所求体积为四面体体积一半；当不位于临界状态时，根据③的结论可证得，从而可知所求体积为四面体体积一半，进而可知为定值，④正确.‎ ‎【详解】当分别为中点时，，则①错误 若三线相交，则交点 不存在在线段上，在线段延长线上的情况，则②错误 取中点，如图所示：‎ 分别为中点 ‎ 又平面，平面 平面 同理可得：平面 到平面的距离相等；到平面的距离相等 又为中点 到平面的距离相等 到平面的距离相等 连接交于，则为中点 到距离相等 ‎，则③正确 当与重合，与重合时，此时几何体体积为三棱锥的体积 为中点 三棱锥的体积为四面体体积的一半 当如图所示时，由③可知 又为中点 到截面的距离相等 ‎ 综上所述，几何体的体积为四面体体积的一半，为定值，则④正确 本题正确结果：③④‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中的截面问题，涉及到几何体体积的求解、点到面的距离、直线交点问题等知识；要求学生对于空间中的直线、平面位置关系等知识有较好的理解，对学生的空间想象能力和逻辑推理能力有较高的要求，属于难题.‎ 二、选择填（本大题共4题,每小题5分,满分20分.）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎13. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B．‎ 考点：圆锥的体积公式．‎ ‎14.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)‎ A. B. ‎ C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用数量积运算性质展开即可得到答案 ‎【详解】,‎ 故 故选 ‎【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础。‎ ‎15.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，‎ 所以，即的近似值为，故选B.‎ 考点：《算数书》中的近似计算，容易题.‎ ‎16.在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为的点有（ ）‎ A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果.‎ ‎【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类 显然与所成角的正切值为，故大于 与所成角的为，大于 与所成角为，大于 与所成角的正切值为，小于 当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足；‎ 依此类推，当点在上运动时，都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何知识的综合应用，关键是能够利用类似于函数的零点存在性定理的方式，通过确定角度的变化规律，找到变化过程中的临界点，通过一上一下两点的角度变化特点得到是否存在满足要求的点，属于较难题.‎ 三、解答题：本大题共5题，满分76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是，高是；2号容器的底面边长是，高是；3号容器的底面边长是，高是；4号容器的底面边长是，高是.假设，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.‎ ‎【答案】存在，选择3号和4号容器.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出四个容器的体积，可求得，从而得到必胜方案，即选择号和号容器.‎ ‎【详解】号容器体积为：；号容器体积为：；‎ 号容器体积为：；号容器体积为：‎ 存在必胜方案，即选择号和号容器 ‎【点睛】本题考查与棱柱体积有关的计算问题，关键是能够进行因式分解得到恒大于零的式子，从而得到所求方案.‎ ‎18.如图，已知圆锥底面半径，为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点 为母线的中点，与所成的角为，求：‎ ‎（1）圆锥的侧面积；‎ ‎（2）两点在圆锥面上的最短距离.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）取中点，连接，根据可得；根据垂直关系，结合勾股定理和直角三角形中的长度关系可求得圆锥母线长；根据扇形面积公式可求得圆锥的侧面积；（2）在圆锥侧面上连接两点可知最短距离为直线，将圆锥沿母线展开，根据（1）的结果可知圆心角为，根据角度和长度关系可证得为等边三角形，从而求得结果.‎ ‎【详解】（1）取中点，连接 则 即为异面直线与所成角 又平面 平面 平面 ‎ 在中， ‎ 又 ‎ 圆锥母线长，即侧面展开扇形半径 底面圆周长 圆锥的侧面积 即圆锥的侧面积为：‎ ‎（2）在圆锥侧面上连接两点的所有曲线中，最短的必为直线 由（1）知，侧面展开图扇形的圆心角为 沿母线将圆锥侧面展开，如下图所示：‎ 则 是半圆弧的中点 ‎ 又 为等边三角形 即两点在圆锥面上的最短距离为：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中圆锥侧面积的求解、最短距离的求解问题；解决侧面上两点间的最短距离的方法是将侧面展开，可知两点间线段最短，从而根据角度和长度关系来进行求解.‎ ‎19.如图，在四棱锥中底面，为直角，，，分别为中点.‎ ‎（1）试证：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的大小；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）易证得四边形为矩形，从而；利用线面垂直性质可证得，进而得到平面，由线面垂直性质得，由平行关系得，由线面垂直判定定理证得结论；（2）由（1）可知即为所求角；根据四边形为矩形可得到长度关系，从而得到，进而得到结果；（3）利用体积桥可知，利用三棱锥体积公式计算可得结果.‎ ‎【详解】（1），为直角，‎ ‎ 四边形为矩形 ‎ 又平面，平面 ‎ 又，平面， 平面 平面 ‎ 分别为中点 ‎ 平面， 平面 ‎（2）由（1）知，在平面内的射影为 即为直线与平面所成角 四边形为矩形 ‎ 在中， ‎ 即直线与平面所成角大小为：‎ ‎（3），又为中点 ‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直关系的证明、直线与平面所成角的求解、三棱锥体积的求解；立体几何中求解三棱锥体积的常用方法是采用体积桥的方式，将问题转化为底面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.‎ ‎20.如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱长上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）‎ ‎（1）证明：为正四面体；‎ ‎（2）若，求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）‎ ‎（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥的体积减去棱锥的体积.）‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎；（3）存在，证明见解析.（注：所构造直平行六面体不唯一，只需题目满足要求即可）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据棱长和相等可知，根据面面平行关系和棱锥为正三棱锥可证得，进而证得各棱长均相等，由此得到结论；（2）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和线面垂直判定定理可证得平面，由线面垂直性质可知，从而得到即为所求二面角的平面角；易知，从而得到，在中根据长度关系可求得，从而得到结果；（3）设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为，根据正四面体体积为，可验证出；又所构造六面体体积为，知，只需满足即可满足要求，从而得到结果.‎ ‎【详解】（1）棱台与棱锥的棱长和相等 平面平面，三棱锥为正三棱锥 ‎ ‎ ‎ 为正四面体 ‎（2）取的中点，连接 ‎， ，‎ 平面， 平面 平面 ‎ 为二面角的平面角 由（1）知，各棱长均为 ‎ 为中点 ‎ 即二面角的大小为：‎ ‎（3）存在满足题意的直平行六面体，理由如下：‎ 棱台的棱长和为定值，体积为 设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为 则该六面体棱长和为，体积为 正四面体体积为： ‎ 时，满足要求 故可构造棱长均为，底面相邻两边夹角为的直平行六面体即可满足要求 ‎【点睛】本题考查立体几何知识的综合应用，涉及到正四面体的证明、二面角的求解、存在性问题的求解等知识；此题对考生的思维能力的要求较高，对学生的空间想像能力，观察，分析，综合，探索和创新有较高的要求，属于较难题.‎ ‎21.火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物。建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75~150米，底边直径65~120米. 双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高.（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略.）‎ ‎（1）如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100，俯视图为三个同心圆，其半径分别40，，30，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（为长度单位米）；‎ ‎（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，，绕轴旋转形成的旋转体的体积多少？（用表示）.（用积分计算不得分）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4（底部），最薄处厚度为0.3（喉部，即左右顶点处），试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是？并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是多少；（计算时取3.14159，保留到个位即可）‎ ‎（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内.超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加，现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元.试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）.‎ ‎【答案】（1），；（2），，；（3）万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由最窄处距离可求得；根据时，；时，，可构造方程求得，从而得到双曲线方程；（2）首先求得双曲线旋转体的体积和内层双曲线方程，计算得到体积差的函数关系式，分别代入和可求得体积差，加和得到所求体积；（3）由（2）可推得高度时的几何体体积；将在高度米以内的薄壳体积的建筑费用分为高度米以内和高度在米之间两类分别计算；设超过米部分，每高米的环形建筑物的体积构成数列，其相应的每立方米的施工费用对应为等差数列，易得通项公式；由双曲线对称性可知，进而可计算出此部分对应的建筑费用；综合三部分的费用即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）最窄处即双曲线两顶点间 ‎ 设双曲线的标准方程为：‎ 由题意知：当（地面半径）时对应的值是；当时，的值为 ‎，解得：‎ 双曲线的标准方程是，‎ ‎（2）高为的双曲线旋转体的体积是：‎ 其旋转体相当于一个底面半径为，高为的圆柱与底面半径为，高为倒立圆锥的体积之和.‎ 计算内层双曲线方程为：‎ 高为时双曲线旋转体的体积差为：‎ 当与时，计算上述体积差，分别为，，合计约为立方米 冷却塔的建筑体积约为立方米 ‎（3）由（2）知高为的双曲线冷却塔壳体体积为立方米 立方米 当高度时，其几何体体积为：‎ 于是在高度米以内的薄壳体积的建筑费用：‎ 第一部分，高度米以内的体积：‎ 相应施工费用为：（元）‎ 第二部分，高度在米之间的部分体积 相应施工费用为：（元）‎ 设超过米部分，每高米的环形建筑物的体积构成数列，其相应的每立方米的施工费用对应为等差数列 注意到双曲线的对称性，本题中的冷却塔喉部在高度米处，其上方米，下方处恰为高度米处，于是 又数列是等差数列 ‎ 这部分费用为：‎ 其中为（2）中时壳体的体积，其值约为 这部分施工费用约为（元）‎ 综上，本题中所求的施工总费用元，约万元 ‎【点睛】本题考查圆锥曲线中的双曲线的实际应用问题，考查了双曲线方程的求解、双曲线几何性质的应用、曲线旋转所得几何体体积的求解等知识；本题对于学生分析和解决问题的能力有很高的要求，属于难题.‎ ‎ ‎