• 691.50 KB
  • 2021-06-24 发布

新课标版高考数学复习题库考点14 等比数列

  • 12页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎ ‎ 考点14 等比数列 ‎ ‎1.(2010·辽宁高考文科·T3)设为等比数列的前n项和,已知 ‎,则公比q = ( ) ‎ ‎(A)3 (B)4 (C)5 (D)6‎ ‎【命题立意】本题主要考查等比数列的前n项和公式,考查等比数列的通项公式.‎ ‎【思路点拨】两式相减,即可得到相邻两项的关系,进而可求公比q.‎ ‎【规范解答】选B.两式相减可得:,.故选B.‎ ‎2.(2010·辽宁高考理科·T6)设{an}是由正数组成的等比数列,为其前n项和.已知a‎2a4=1, ,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式,等比数列的前n项和公式.‎ ‎【思路点拨】列出关于a1,q 的方程组,解出a1,q,再利用前n项和公式求出.‎ ‎【规范解答】选B.根据题意可得:‎ ‎3.(2010·安徽高考理科·T10)设是任意等比数列,它的前项和,前项和与前项和分别 为,则下列等式中恒成立的是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【命题立意】本题主要考查等比数列的性质,考查考生的观察、分析、推理能力.‎ ‎ 【思路点拨】从整体观察,分析与,与的关系,即可得出结论.‎ ‎ 【规范解答】选 D.设等比数列的公比为,由题意,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,所以,故D正确.‎ ‎4.(2010·浙江高考理科·T3)设为等比数列的前项和,,则( )‎ ‎(A)11 (B)5 (C) (D)‎ ‎【命题立意】本题主要考查了等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎【思路点拨】抓等比数列的基本量可解决本题.‎ ‎【规范解答】选D.设等比数列的公式为,则由得,‎ ‎..‎ ‎5.(2010·山东高考理科·T9)设是等比数列,则“”是数列是递增数列的( )‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】分清条件和结论再进行判断.‎ ‎【规范解答】选C.若已知,则设数列的公比为,因为,所以有,解得且,所以数列是递增数列;反之,若数列是递增数列,则,即,所以是数列是递增数列的充分必要条件.‎ ‎6.(2010·北京高考理科·T2)在等比数列中,,公比.若,则m =( )‎ ‎(A)9 (B)10 (C)11 (D)12‎ ‎【命题立意】本题考查等比数列的基础知识.‎ ‎ 【思路点拨】利用等比数列的通项公式即可解决.‎ ‎ 【规范解答】选C.‎ 方法一:由得.又因为,所以.因此.‎ 方法二:因为,所以.又因为,,所以所以,即.‎ ‎7.(2010·山东高考文科·T7)设是首项大于零的等比数列,则“”是“数列是 递增数列”的( )‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】分清条件和结论再进行判断.‎ ‎【规范解答】选C.若已知,则设数列的公比为,因为,所以有,又,解得所以数列是递增数列;反之,若数列是递增数列且,则公比,所以,即,所以是数列是递增数列的充分必要条件.‎ ‎8.(2010·广东高考文科·T4)已知数列{}为等比数列,是它的前n项和.若=‎2a1,且与2的等差中项为,则S5=( )‎ ‎(A)35 (B)33 (C)31 (D)29‎ ‎【命题立意】本题考查等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前项和公式.‎ ‎【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件 得出,由等差数列的性质及已知条件得出,从而求出及.‎ ‎【规范解答】选.由,‎ 又 得 .所以,‎ ‎ ,, .故选.‎ ‎9.(2010·福建高考理科·T11)在等比数列{ }中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式= .‎ ‎【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式.‎ ‎【思路点拨】由前3项之和等于21求出 ,进而求出通项公式.‎ ‎【规范解答】, ‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】另解:,‎ ‎10.(2010 ·海南宁夏高考·理科T17)设数列满足,an+1-an=3·22n-1.‎ ‎ (1)求数列的通项公式.‎ ‎ (2)令,求数列的前n项和.‎ ‎【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前项和的求法,解决本题的关键是仔细观察形式,找到规律,利用等比数列的性质解题.‎ ‎【思路点拨】由给出的递推关系,求出数列的通项公式,再求数列的前n项和.‎ ‎【规范解答】(1)由已知,当时,‎ 而,满足上述公式,‎ 所以的通项公式为.‎ ‎(2)由可知,‎ S ①‎ 从而 ②‎ ‎①②得 ‎ ‎ 即 .‎ ‎【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和.‎ ‎11.(2010·陕西高考理科·T16)已知是公差不为零的等差数列,且成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前n项和.‎ ‎【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查考生的运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】已知关于d的方程d ‎【规范解答】,‎ ‎【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解.‎ ‎2.数列求通项的常见类型与方法:公式法、由递推公式求通项,由求通项,累加法、累乘法等.‎ ‎3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等.‎ ‎4.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略.‎ ‎12.(2010·北京高考文科·T16)已知为等差数列,且,.‎ ‎(1)求的通项公式.‎ ‎(2)若等比数列满足,,求的前n项和公式.‎ ‎【命题立意】本题考查等差数列的通项公式,等比数列的前n项和,熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎【思路点拨】(1)由a3,a6可列方程解出,从而可求出通项公式;(2)求出,再求出公比q.‎ 代入等比数列的前n项和公式即可.‎ ‎【规范解答】(1)设等差数列的公差.因为,‎ ‎ 所以解得,所以.‎ ‎ (2)设等比数列的公比为,‎ ‎ 因为 所以,即=3.‎ 所以的前项和公式为.‎ ‎13.(2010·福建高考文科·T17)数列{} 中1=,前n项和满足-=(n).‎ ‎ (1)求数列{}的通项公式以及前n项和.‎ ‎ (2)若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数t的值.‎ ‎【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归转化思想. ‎ ‎【思路点拨】第一步先求{}的通项,可知{}为等比数列,利用等比数列的前n项和求解出;第二步利用等差中项列出方程求出t.‎ ‎【规范解答】 ( 1 ) 由得,又,故,从而.‎ ‎(2)由( 1 ) 从而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列可得解得.‎ ‎【方法技巧】要求数列通项公式,由题目提供的是一个递推公式,如何通过递推公式来求数列的通项.题目要求的是项的问题,这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题.一般地,含有的递推关系式,常利用化“和”为“项”.‎ ‎14.(2010·湖南高考文科·T20)给出下面的数表序列:‎ 其中表n(n=1,2,3 )有n行,第1行的n个数是1,3,5,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.‎ ‎(1)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明).‎ ‎(2)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,记此数列为 ‎ 求和:‎ ‎【命题立意】以数列为背景考查学生的观察、归纳和总结的能力.‎ ‎【思路点拨】在第(2)问中首先应得到数列的通项公式,再根据通项公式决定求和的方法.‎ ‎【规范解答】 (1) 表4为 ‎1 3 5 7‎ ‎4 8 12‎ ‎12 20‎ ‎32‎ 它的第1,2,3,4行中的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.简证如下(对考生不作要求):‎ 首先,表n(n≥3)各行中的第一行,1,3,5,…,2n-1是等差数列,其平均数为;其次,若表n的第k(1≤k≤n-1)行a1 ,a2 ,…,an-k+1 是等差数列,则它的第k+1行a1+a2,a2+a3,…,an-k+an-k+1,也是等差数列.由等差数列的性质知,表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是 由此可知,表n(n≥3)各行中的数都成等差数列,且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)表n的第一行是1,3,5,…,2n-1,其平均数是 由(1)知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列,于是,表n中最后一行的唯一一个数为bn=n·2n-1.‎ 因此,‎ 故 ‎.‎ ‎【方法技巧】研究数列要抓住变化规律.‎ ‎15.(2010·天津高考理科·T22)在数列中,,且对任意.,,成等差数列,其公差为.‎ ‎(1)若=,证明,,成等比数列().‎ ‎(2)若对任意,,,成等比数列,其公比为.‎ ‎①设q1≠1,证明{}是等差数列;②若a2=2,证明 ‎【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎【思路点拨】利用等差、等比数列的定义证明.‎ ‎【规范解答】(1)由题设,可得.‎ 所以 ‎=‎ ‎=2k(k+1),‎ 由=0,得 于是.‎ 所以成等比数列.‎ ‎(2)方法一:①由成等差数列,及成等比数列,得,‎ 当≠1时,可知≠1,k 所以是等差数列,公差为1.‎ ‎②,,可得,从而=1.由①有 所以 因此,‎ 以下分两种情况进行讨论:‎ ‎(i)当n为偶数时,设n=‎2m()‎ 若m=1,则.‎ 若m≥2,则 ‎+‎ 所以 ‎(ii)当n为奇数时,设n=‎2m+1()‎ 所以从而···‎ 综合(i)(ii)可知,对任意,,有.‎ 方法二:①由题设,可得 所以 由可知.可得,‎ 所以是等差数列,公差为1.‎ ‎②因为所以.‎ 所以,从而,.于是,由(1)可知是公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式可得= ,故.‎ 从而.‎ 所以由,可得.‎ 于是,由(1)可知 以下同方法一.‎ ‎16.(2010·湖南高考理科·T21)数列中,‎ 是函数的极小值点.‎ ‎(1)当a=0时,求通项. ‎ ‎(2)是否存在a,使数列是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【命题立意】以三次函数为载体引出数列再考查数列,考查分类讨论思想.‎ ‎【思路点拨】由一元三次函数极小值的求法,引出数列,进一步研究数列. ‎ ‎【规范解答】(1)易知 令 ‎①若3an0, fn(x)单调递增;‎ 当3ann2时,f′n(x)>0, fn(x)单调递增.‎ 故fn(x)在x=n2取得极小值.‎ ‎②若3an>n2,仿①可得,fn(x)在x=3an取得极小值.‎ ‎③若3an=n2,则f ′n(x)≥0, fn(x)无极值.‎ 当a=0时,a1=0,则‎3a1<12.由①知, a2=12=1.‎ 因‎3a2=3<22,则由①知,a3=22=4.‎ 因为‎3a3=12>32,则由②知,a4=‎3a3=3×4.‎ 又因为‎3a4=36>42,则由②知,a5=‎3a4=32×4.‎ 由此猜测:当n≥3时,an=4×3n-3.‎ 下面先用数学归纳法证明:当n≥3时,3an>n2.‎ 事实上,当n=3时,由前面的讨论知结论成立.‎ 假设当n=k(k≥3)时,3ak>k2成立,则由②知,ak+1=3ak>k2,从而 ‎3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0,‎ 所以3ak+1>(k+1)2.‎ 故当n≥3时,3an>n2成立.‎ 于是由②知,当n≥3时,an+1=3an,而a3=4,因此an=4×3n-3.‎ 综上所述,当a=0时,a1=0,a2=1, an=4×3n-3(n≥3).‎ ‎(2)存在a,使数列{an}是等比数列.‎ 事实上,由②知,若对任意的n,都有3an>n2,则an+1=3an.即数列{an}是首项为a,公比为3的等比数列,且an=a·3n-1.‎ 而要使3an>n2,即a·3n>n2对一切n 记bn=‎ 令y=‎ 在[2,+∞)上单调递减.故当n≥2时,数列{bn}单调递减,即数列{bn}中最大项为b2=‎ 当a<‎ 综上所述,存在a,使数列{an}是等比数列,且a的取值范围是(‎ ‎【方法技巧】处理复杂函数的常用步骤:求导数,解方程,列表,求函数在关键点的极限,作出图象,按要求解题.证明一个数列是等比数列,要使一个数列是等比数列,判断一个数列是否为等比数列常用的方法有:定义法,前三项再检验法等. ‎

相关文档