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- 2021-06-24 发布
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考点14 等比数列
1.(2010·辽宁高考文科·T3)设为等比数列的前n项和,已知
,则公比q = ( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【命题立意】本题主要考查等比数列的前n项和公式,考查等比数列的通项公式.
【思路点拨】两式相减,即可得到相邻两项的关系,进而可求公比q.
【规范解答】选B.两式相减可得:,.故选B.
2.(2010·辽宁高考理科·T6)设{an}是由正数组成的等比数列,为其前n项和.已知a2a4=1, ,则( )
(A) (B) (C) (D)
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式,等比数列的前n项和公式.
【思路点拨】列出关于a1,q 的方程组,解出a1,q,再利用前n项和公式求出.
【规范解答】选B.根据题意可得:
3.(2010·安徽高考理科·T10)设是任意等比数列,它的前项和,前项和与前项和分别
为,则下列等式中恒成立的是( )
(A) (B)
(C) (D)
【命题立意】本题主要考查等比数列的性质,考查考生的观察、分析、推理能力.
【思路点拨】从整体观察,分析与,与的关系,即可得出结论.
【规范解答】选 D.设等比数列的公比为,由题意,,
,
,
,,所以,故D正确.
4.(2010·浙江高考理科·T3)设为等比数列的前项和,,则( )
(A)11 (B)5 (C) (D)
【命题立意】本题主要考查了等比数列的通项公式与前n项和公式.
【思路点拨】抓等比数列的基本量可解决本题.
【规范解答】选D.设等比数列的公式为,则由得,
..
5.(2010·山东高考理科·T9)设是等比数列,则“”是数列是递增数列的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】分清条件和结论再进行判断.
【规范解答】选C.若已知,则设数列的公比为,因为,所以有,解得且,所以数列是递增数列;反之,若数列是递增数列,则,即,所以是数列是递增数列的充分必要条件.
6.(2010·北京高考理科·T2)在等比数列中,,公比.若,则m =( )
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
【命题立意】本题考查等比数列的基础知识.
【思路点拨】利用等比数列的通项公式即可解决.
【规范解答】选C.
方法一:由得.又因为,所以.因此.
方法二:因为,所以.又因为,,所以所以,即.
7.(2010·山东高考文科·T7)设是首项大于零的等比数列,则“”是“数列是
递增数列”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】分清条件和结论再进行判断.
【规范解答】选C.若已知,则设数列的公比为,因为,所以有,又,解得所以数列是递增数列;反之,若数列是递增数列且,则公比,所以,即,所以是数列是递增数列的充分必要条件.
8.(2010·广东高考文科·T4)已知数列{}为等比数列,是它的前n项和.若=2a1,且与2的等差中项为,则S5=( )
(A)35 (B)33 (C)31 (D)29
【命题立意】本题考查等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前项和公式.
【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件 得出,由等差数列的性质及已知条件得出,从而求出及.
【规范解答】选.由,
又 得 .所以,
,, .故选.
9.(2010·福建高考理科·T11)在等比数列{ }中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式= .
【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式.
【思路点拨】由前3项之和等于21求出 ,进而求出通项公式.
【规范解答】,
【答案】
【方法技巧】另解:,
10.(2010 ·海南宁夏高考·理科T17)设数列满足,an+1-an=3·22n-1.
(1)求数列的通项公式.
(2)令,求数列的前n项和.
【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前项和的求法,解决本题的关键是仔细观察形式,找到规律,利用等比数列的性质解题.
【思路点拨】由给出的递推关系,求出数列的通项公式,再求数列的前n项和.
【规范解答】(1)由已知,当时,
而,满足上述公式,
所以的通项公式为.
(2)由可知,
S ①
从而 ②
①②得
即 .
【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和.
11.(2010·陕西高考理科·T16)已知是公差不为零的等差数列,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前n项和.
【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查考生的运算求解能力.
【思路点拨】已知关于d的方程d
【规范解答】,
【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解.
2.数列求通项的常见类型与方法:公式法、由递推公式求通项,由求通项,累加法、累乘法等.
3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等.
4.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略.
12.(2010·北京高考文科·T16)已知为等差数列,且,.
(1)求的通项公式.
(2)若等比数列满足,,求的前n项和公式.
【命题立意】本题考查等差数列的通项公式,等比数列的前n项和,熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.
【思路点拨】(1)由a3,a6可列方程解出,从而可求出通项公式;(2)求出,再求出公比q.
代入等比数列的前n项和公式即可.
【规范解答】(1)设等差数列的公差.因为,
所以解得,所以.
(2)设等比数列的公比为,
因为 所以,即=3.
所以的前项和公式为.
13.(2010·福建高考文科·T17)数列{} 中1=,前n项和满足-=(n).
(1)求数列{}的通项公式以及前n项和.
(2)若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数t的值.
【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归转化思想.
【思路点拨】第一步先求{}的通项,可知{}为等比数列,利用等比数列的前n项和求解出;第二步利用等差中项列出方程求出t.
【规范解答】 ( 1 ) 由得,又,故,从而.
(2)由( 1 ) 从而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列可得解得.
【方法技巧】要求数列通项公式,由题目提供的是一个递推公式,如何通过递推公式来求数列的通项.题目要求的是项的问题,这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题.一般地,含有的递推关系式,常利用化“和”为“项”.
14.(2010·湖南高考文科·T20)给出下面的数表序列:
其中表n(n=1,2,3 )有n行,第1行的n个数是1,3,5,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
(1)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明).
(2)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,记此数列为
求和:
【命题立意】以数列为背景考查学生的观察、归纳和总结的能力.
【思路点拨】在第(2)问中首先应得到数列的通项公式,再根据通项公式决定求和的方法.
【规范解答】 (1) 表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.简证如下(对考生不作要求):
首先,表n(n≥3)各行中的第一行,1,3,5,…,2n-1是等差数列,其平均数为;其次,若表n的第k(1≤k≤n-1)行a1 ,a2 ,…,an-k+1 是等差数列,则它的第k+1行a1+a2,a2+a3,…,an-k+an-k+1,也是等差数列.由等差数列的性质知,表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是
由此可知,表n(n≥3)各行中的数都成等差数列,且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.
(2)表n的第一行是1,3,5,…,2n-1,其平均数是
由(1)知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列,于是,表n中最后一行的唯一一个数为bn=n·2n-1.
因此,
故
.
【方法技巧】研究数列要抓住变化规律.
15.(2010·天津高考理科·T22)在数列中,,且对任意.,,成等差数列,其公差为.
(1)若=,证明,,成等比数列().
(2)若对任意,,,成等比数列,其公比为.
①设q1≠1,证明{}是等差数列;②若a2=2,证明
【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
【思路点拨】利用等差、等比数列的定义证明.
【规范解答】(1)由题设,可得.
所以
=
=2k(k+1),
由=0,得
于是.
所以成等比数列.
(2)方法一:①由成等差数列,及成等比数列,得,
当≠1时,可知≠1,k
所以是等差数列,公差为1.
②,,可得,从而=1.由①有
所以
因此,
以下分两种情况进行讨论:
(i)当n为偶数时,设n=2m()
若m=1,则.
若m≥2,则
+
所以
(ii)当n为奇数时,设n=2m+1()
所以从而···
综合(i)(ii)可知,对任意,,有.
方法二:①由题设,可得
所以
由可知.可得,
所以是等差数列,公差为1.
②因为所以.
所以,从而,.于是,由(1)可知是公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式可得= ,故.
从而.
所以由,可得.
于是,由(1)可知
以下同方法一.
16.(2010·湖南高考理科·T21)数列中,
是函数的极小值点.
(1)当a=0时,求通项.
(2)是否存在a,使数列是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【命题立意】以三次函数为载体引出数列再考查数列,考查分类讨论思想.
【思路点拨】由一元三次函数极小值的求法,引出数列,进一步研究数列.
【规范解答】(1)易知
令
①若3an0, fn(x)单调递增;
当3ann2时,f′n(x)>0, fn(x)单调递增.
故fn(x)在x=n2取得极小值.
②若3an>n2,仿①可得,fn(x)在x=3an取得极小值.
③若3an=n2,则f ′n(x)≥0, fn(x)无极值.
当a=0时,a1=0,则3a1<12.由①知, a2=12=1.
因3a2=3<22,则由①知,a3=22=4.
因为3a3=12>32,则由②知,a4=3a3=3×4.
又因为3a4=36>42,则由②知,a5=3a4=32×4.
由此猜测:当n≥3时,an=4×3n-3.
下面先用数学归纳法证明:当n≥3时,3an>n2.
事实上,当n=3时,由前面的讨论知结论成立.
假设当n=k(k≥3)时,3ak>k2成立,则由②知,ak+1=3ak>k2,从而
3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0,
所以3ak+1>(k+1)2.
故当n≥3时,3an>n2成立.
于是由②知,当n≥3时,an+1=3an,而a3=4,因此an=4×3n-3.
综上所述,当a=0时,a1=0,a2=1, an=4×3n-3(n≥3).
(2)存在a,使数列{an}是等比数列.
事实上,由②知,若对任意的n,都有3an>n2,则an+1=3an.即数列{an}是首项为a,公比为3的等比数列,且an=a·3n-1.
而要使3an>n2,即a·3n>n2对一切n
记bn=
令y=
在[2,+∞)上单调递减.故当n≥2时,数列{bn}单调递减,即数列{bn}中最大项为b2=
当a<
综上所述,存在a,使数列{an}是等比数列,且a的取值范围是(
【方法技巧】处理复杂函数的常用步骤:求导数,解方程,列表,求函数在关键点的极限,作出图象,按要求解题.证明一个数列是等比数列,要使一个数列是等比数列,判断一个数列是否为等比数列常用的方法有:定义法,前三项再检验法等.