江苏省徐州市古邳中学2020届高三模拟考试数学试卷 23页

‎2020届高三年级第二次模拟考试卷 数 学 参考公式；‎ ‎ 圆锥的侧面积公式：S=πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长。‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）‎ ‎1．已知集合A={x|x=2k+1，k∈z}，B={x|x(x-5)<0），则A∩B=____ ．‎ ‎2．已知复数z=1+2i，其中i为虚数单位，则z2的模为 ．‎ ‎3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为-l，则输入的实数x的值为 ．‎ ‎4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 个．‎ ‎5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ‎ ‎6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且周期为2，当x∈(0，1]时，f(x)=x+，则f(a)的值为 ．‎ ‎7．若将函数f(x) =sin(2x+)的图象沿x轴向右平移（> 0）个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x轴对称，则 的最小值为 ‎ ‎8．在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=90°，则△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．‎ ‎9．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，满足{a1，a2，a3}= {b1，b2，b3}={a，b，-2}，其中a>0，b>0，则a+b的值为 ． ‎ ‎10.已知点P是抛物线x2=4y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为（0，-1），则 的最小值为 ‎ ‎11.已知x，y为正实数，且xy+2x+ 4y=41，则x+y的最小值为 .‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x-m)2+y2=r2(m>0)．已知过原点O且相互垂直的两条 直线l1和l2，其中l1与圆C相交予A，B两点，l2与圆C相切于点D.若AB=OD，则直线l1的率为 ．‎ ‎ 13.在△ABC中，BC为定长，．若△ABC的面积的最大值为2，则边BC的长为 ．‎ ‎ 14．函数f(x) =ex-x-b(e为自然对数的底数，b∈R)，若函数g(x)=f(f(x)一 ）恰有4个零 ‎ 点，则实数b的取值范围为 ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．‎ ‎ 15．（本小题满分14分）‎ ‎ 如图，三棱锥P-ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE⊥平面ABC.‎ ‎ (1)求证：AC∥平面PDE;‎ ‎ (2)若PD=AC=2，PE=，求证：平面PBC⊥平面ABC.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ ‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=bcosC +csinB.‎ ‎ (1)求B的值．‎ ‎(2)设∠BAC的平分线AD与边BC交于点D，已知AD=，cosA= -，求b的值．‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ ‎ 如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE，湖面上的点B在线段AC上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道A8，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道．记∠CBD为θ．‎ ‎(1)用疗表示栈道的总长度f(θ)，并确定sinθ的取值范围；‎ ‎(2)求当θ为何值时，栈道总长度最短．‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1(a>b>0)的离心率为，且过 点(0，)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知△BMN是椭圆C的内接三角形，‎ ‎ ①若点B为椭圆C的上顶点，原点O为△BMN的垂心，求线段MN的长；‎ ‎ ②若原点O为△BMN的重心，求原点O到直线MN距离的最小值．‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ ‎ 已知函数f(x)=x3-x2-(a-16)x，g(x) =alnx，a∈R．函数h(x)= -g(x)的导函数 h'(x)在[，4]上存在零点．‎ ‎(1)求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若存在实数a，当x∈[0，b]时，函数f(x)x=0时取得最大值，求正实数b的最大值;‎ ‎(3)若直线l与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切，且l在y轴上的截距为-12，求实数a的值．‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ ‎ 已知无穷数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn。记Tn为数列{an}的前an项和，‎ ‎ 即Tn=a1+a2+…+.‎ ‎ (1)若数列{an}为等比数列，且a1=1，S4=5S2，求T3的值；‎ ‎(2)若数列{an}为等整数列，且存在唯一的正整数n（n≥2），使得<2，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)若数列{Tn}的通项为Tn=，求证：数列{an}为等差数列．‎ 数学附加题 ‎21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M=，MN=‎ ‎(1)求矩阵N；‎ ‎(2)求矩阵N的特征值．‎ B．选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ‎（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为．若直线l交曲线C于A，B 两点，求线段AB的长，‎ C．选修4-5：不等式选讲 已知a>0，证明：‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答，解答成写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商晶即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）．‎ ‎(1)若m=4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；‎ ‎(2)若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 已知集合An={1，2，…，n），n∈N*，n≥2，将An的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，Mm)，其中m=2n，记集合Mk中元素的个数为ak，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.‎ ‎(1)当n=2时，求a1+a2+…+am的值；‎ ‎(2)利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，Mm)，满足任意i∈N*，i≤m-l，都有|ai-ai+1|=1．‎ ‎2020 届高三年级第二次模拟考试数学 注意事项：‎ ‎2020.03‎ 1. 本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本试卷满 分为 160 分，考试时间为 120 分钟．‎ 2. 答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题纸内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．‎ 参考公式：‎ 圆锥的侧面积公式：V = p rl ，其中 r 为圆锥底面圆的半径， l 为圆锥的母线长.‎ 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1. 已知集合 A = {x x = 2k +1, k Î Z} ， B = {x x ( x - 5) < 0}，则 A B = .‎ ‎【答案】{1,3} ‎【解析】集合的交集 ‎【点评】考查集合的交集运算，该题属于基础题型。‎ 2. 已知复数 z = 1 + 2i ，其中i 为虚数单位，则 z2 的模为 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】 z = 1 + 2i ， z2 = -3 + 4i ， z2 = 5 ，‎ ‎【点评】考查复数的运算，属于基础题型。‎ 3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数 y 的值为-1 ，则输入的实数 x 的值为 .‎ ‎【答案】- 1‎ ‎4‎ ‎【解析】log (2x + 1) = -1 = log 1 Þ x = - 1‎ ‎ ‎ ‎2 2 2 4‎ ‎【点评】考察流程图与分段函数，属于基础题。‎ 4. 某校初三年级共有 500 名女生，为了了解初三女生1 分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1 分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1 分钟至少能做到30 个仰卧起坐的初三女生有 个.‎ ‎【答案】325‎ ‎【解析】设[20, 30] 之间的频率 为 x ，则有(0.015 + 2x + 0.035 + 0.01) ´10 = 1 Þ x = 0.02 ，500 人中至少能 组距 做 30 个的人数为(0.035 + 0.02 + 0.01) ´10 ´ 500 = 325 人 ‎【点评】考察概率及统计图，属于基础题型。‎ 2. 从编号为1, 2,3, 4 的 4 张卡片中随机抽取一张，放．回．后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 .‎ ‎【答案】 1‎ ‎2‎ ‎【解析】列举法，符合题意的有第一次和第二次抽取的数分别为 11，12，13，14，22，24，33，44，因 此概率为 8 = 1‎ ‎16 2‎ ‎【点评】考查概率，属于基础题型。‎ 3. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且周期为2 ，当 x Î(0,1] 时， f ( x) = x + a ，则 f (a) 的值 ‎3‎ 为 .‎ ‎【答案】0‎ ‎‎ ì f (1) = f (1 - 2) = f (-1)‎ î ‎【解析】由 f (x) 的周期为 2 及奇函数可得： í f (1) = - f (-1)‎ ‎，解得 f (-1) = f (1) = 0 Þ a = -3 ，‎ f (-3) = f (-3 + 2) = f (-1) = 0‎ ‎【点评】考查函数的周期性及奇偶性，属于基础题型。‎ 2. 若将函数 f ( x) = sin æ 2x + p ö 的图像沿 x 轴向右平移j (j > 0) 个单位长度后所得的图像与 f ( x) 的图像 ç 3 ÷ è ø 关于 x 轴对称，则j 的最小值为 .‎ ‎【答案】 p ‎2‎ ‎【解析】 f (x) = sin(2x + p ) 的周期为T = 2p = p ， f (x) 向右平移j(j > 0) 个单位后与 f (x) 关于 x 轴对 ‎3 2‎ 称，可得j = T · k = p · k ， (k > 0, k Î Z ) ，得到j 的最小值为 p ‎2 2 2‎ ‎【点评】考查三角函数的周期及图像平移变换，属于基础题型。‎ 3. 在DABC 中， AB = 2 5, AC = 5, ÐBAC = 90° ，则DABC 绕 BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表 面积为 .‎ ‎【答案】6 5p ‎5‎ ‎5‎ ‎【解析】由题，此旋转体为以 2 为底面圆半径， 2 及 ‎为母线长的两个圆锥组合而成 ‎【点评】考查旋转几何体的表面积计算，属于基础题型。‎ 4. 已知数列{an } 为等差数列，数列{bn } 为等比数列，满足{a1 , a2 , a3} = {b1 ,b2 ,b3} = {a,b, -2} ，其中 a > 0,b > 0, 则 a + b 的值为 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎a＞0,b＞0 ，设a＜b ， {a1 , a2 , a3} = {b1 ,b2 ,b3} = {a,b, -2} ，且{an } 为等差数列，{bn } 为等比数 ìïb - 2 = 2a 列，可得 ‎，解出ìa = 1 , a + b = 5 ，同理a＞b 时， a + b = 5‎ î í íï(-2)2 = ab ‎îb = 4‎ ‎【点评】考察等差等比数列的中项，需要运用公差与公比的正负 5. 已知点 P 是抛物线 x2 = 4 y 上动点， F 是抛物线的焦点，点 A 的坐标为(0, -1) ，则 PF 的最小值为 PA ‎ .‎ ‎2‎ ‎【答案】‎ ‎2‎ ‎‎ PF 2 x2 + ( y -1)2‎ ‎‎ y2 + 2 y + 1‎ ‎【解析】设 P ( x, y )( y ³ 0) ， F (0,1), A(0, -1),‎ ‎x2 = 4 y, = =  ‎ PA2 x2 + ( y + 1)2‎ ‎y2 + 6 y + 1‎ = 1 - 4 y ‎，当 y = 0 ，原式= 1，当 y＞0 ，原式= 1 - ‎4 ³ 1 ，所以 PF 的最小值为 2‎ ‎ ‎ y2 + 6 y + 1‎ ‎y + 6 + 1 2 PA 2‎ y ‎【点评】直接运用距离公式，结合基本不等式中的分式不等式即可 2. 已知 x, y 为正实数，且 xy + 2x + 4 y = 41 ，则 x + y 的最小值为 .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】设 x + y = k ， y = k - x 代入 xy + 2x + 4 y = 41 ， 可得： x (k - x) + 2x + 4(k - x) - 41 = 0‎ 整理可得： -x2 + (k - 2) x + 4k - 41 = 0 ，这个方程需要有正解，D = (k - 2)2 - 4 × (-1) × (4k - 41) ³ 0 ，解 得 k ³ 8 或k £ -20 （舍）k = x + y 的最小值为8 ，经检验，此时有正根。‎ ‎【点评】运用万能 K 法，转化为方程有解即可 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C ： (x - m)2 + y2 = r2 (m > 0) .已知过原点O 且互相垂直的两条直线l 和 l2 ，其中l1 与圆C 相交于 A, B 两点， l2 与圆C 相切于点 D ，若 AB = OD ，则直线l1 的斜率为 .‎ ‎【答案】± 2 5‎ ‎5‎ AB = 2 r 2 - d 2‎ ‎【解析】‎ ‎= OD = ‎m2 - r 2 ,5r 2 - 4d 2 = m2‎ 设l1 : y = kx,l2‎ ‎: y = - 1‎ k ‎‎ x ，所以d = ‎-km ‎ , d = k 2 + 1‎ ‎k 2 m2 k 2 + 1‎ ‎‎ ‎，同理r 2‎ ‎= m2‎ k 2 + 1‎ 同时代入5r2 - 4d 2 = m2 ，可得k =± 2 5‎ ‎5‎ ‎【点评】考察直线与圆相交，相切的位置关系，结合弦长与切线长。‎ AB + 2AC = 3 BC 4. 在DABC 中， BC 为定长， . 若DABC 的面积最大值为 2，则边 BC 的长为 ‎ .‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】如图， M 为 BC 的三等分点 AB + 2AC = 3 BC 1 AB + 2 AC = BC = AM ‎3‎ ‎3‎ ‎， Smax ‎= 1 × BC × AM = 2 BC = 2‎ ‎2‎ ‎【点评】三角形与向量综合问题，考查平面向量基本定理的应用，难度中档 2. 函数 f (x) = ex - x - b （ e 为自然对数的底数， b Î R ），若函数 g(x) = f ( f (x) - 1) 恰有 4 个零点，则实 ‎2‎ 数b 的取值范围为 .‎ ‎【答案】1 < b < 1 + ln 2‎ ‎2‎ ‎【解析】方法一： f '( x) = ex - 1，令 f '( x) = 0 ， x = 0‎ 要使函数符合题意， f (0) = 1 - b < 0 ， b > 1‎ 函数图像如图：‎ f ( x) - 1 = t ，则t = x 或x ， f ( x) = x + 1 或x + 1‎ ‎ ‎ ‎2‎ x > 0 ， x ‎1 2 1 2 2 2‎ + ‎1 > 0 必有两个零点 ‎2 2 2‎ 又因为共有四个零点 x1‎ x1‎ ‎+ 1 > 1 - b ‎2‎ > 1 - b ‎2‎ f æ 1 - b ö > 0‎ ç 2 ÷ è ø ‎1 -b 即e2‎ ‎- 1 > 0‎ ‎2‎ b < 1 + ln 2 2‎ 1 < b < 1 + ln 2‎ ‎2‎ 方法二：‎ 设 f ( x) - 1 = t ，则 f (t) = 0 有两个根t ‎‎ < 0 < t ‎‎ ‎， f ( x) - 1 = t 或t ‎2‎ t > 0 ， f (x) - 1 = t ‎1 2‎ 必有两个零点 ‎2 1 2‎ ‎2 2 2‎ 又因为共有四个零点，如图：‎ ï 1‎ ìt > 1 - b í 2‎ ïî f (t1 ) = 0‎ ì0 < t < 1‎ ï 1 ln( )‎ í 2‎ ïîb = et1 - t 1 < b < 1 + ln 2‎ ‎2‎ ‎【点评】经典复合函数零点问题，对函数与图像结合分析能力要求较高，难度中档 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ 2. ‎（本小题满分 14 分）‎ 如图，三棱锥 P - ABC 中，点 D, E 分别为 AB, BC 的中点，且平面 PDE ^ 平面 ABC .‎ （1） 求证： AC / / 平面 PDE ；‎ ‎3‎ （2） 若 PD = AC = 2, PE = ，求证：平面 PBC ^ 平面 ABC .‎ ‎【解析】（1）‎ DE // AC ‎D, E 分别为 AB, BC 中点 AC Ë 面 PDE ， DE Ì 面 PDE AC // 面 PDE ‎（2） D, E 分别为 AB, BC 中点 DE = 1 AC = 1 2‎ 在DPDE 中 DE 2 + PE 2 = PD2 = 4‎ PE ^ DE 面PDE ^ 面ABC,面PDE 面ABC = DE PE Ì 面PDE PE ^ 面ABC PE Ì 面PBC 面PBC ^ 面ABC ‎【点评】第一问考查线面平行的判定，利用中位线即可找到线线平行，进而证出线面平行。第二问考查面面垂直的性质及判定，结合线段长度与面面垂直的性质定理得线面垂直，进而证出面面垂直。属于基础题型。‎ ‎16.（本小题满分 14 分）‎ 在DABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a,b, c ，且a = b cos C + c sin B .‎ （1） 求 B 的值.‎ （2） 设ÐBAC 的平分线 AD 与边 BC 交于点 D ，已知 AD = 17 ， cos A =- 7‎ ‎‎ ‎，求b 的值.‎ ‎7 25‎ ‎【解析】（1）由正弦定理得sin A = sin B cos C + sin C sin B ，‎ sin éëp - (B + C )ùû = sin B cosC + sin C sin B sin (B + C ) = sin B cos C + sin C sin B sin B cos C + sin C cos B = sin B cos C + sin C sin B sin C cos B = sin C sin B C Î(0,p ),sin C > 0, B Î(0,p ),sin B > 0‎ cos B = sin B, tan B = 1‎ B Î(0,p ) B = p ‎4‎ ‎（2）记 A = 2a AD 是ÐBAC 的角平分线 ÐBAD = ÐCAD = a cos A = - 7 , A Î(0,p ) ‎25‎ sin A = ‎= 24‎ ‎1 - cos2 A ‎25‎ sin C = sin( A + B) = 17 2‎ ‎50‎ cos A = 2cos2 a -1 = 1- 2sin2 a ， a = A Îæ 0, p ö ‎2 ç 2 ÷ è ø sin a = 4 , cosa = 3‎ ‎5 5‎ sin ÐADC = sin (B + a ) = 7 2‎ ‎10‎ 在DADC 中，由正弦定理得：‎ ‎b sin ÐADC ‎= AD sin C b = AD sin C ‎× sin ÐADC = 5 .‎ ‎【点评】第一问利用正弦定理边化角即可；第二问计算量较大，考查二倍角公式、两角和差公式、同角三角函数关系式、正弦定理。属于基础题型。‎ ‎17.（本小题满分 14 分）‎ 如图，湖中有一个半径为1 千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心C 相距3 千米，为方便游人到小岛观 光，从点 A 向小岛建三段栈道 AB, BD, BE ，湖面上的点 B 在线段 AC 上，且 BD, BE 均与圆C 相切，切点分别为 D, E ，其中栈道 AB, BD, BE 和小岛在同一个平面上，沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建 栈道 DE ，记ÐCBD 为q .‎ （1） 用q 表示栈道的总长度 f (q ) ，并确定sinq 的取值范围；‎ （2） 求当q 为何值时，栈道总长度最短.‎ ‎【解析】（1）连接在 RtDCBD 中， CD = 1,CB = 弧长 DE = (p + 2q ) ·1 = p + 2q ‎1‎ sinq ‎, BD = ‎1‎ tanq ,‎ f (q ) = 3 - ‎1‎ sinq ‎+ 2 tanq ‎‎ + p + 2q 当 B 与 A 重合时， sinq = 1 ，sinq Î é1 ,1ö ‎(2)‎ ‎3‎ sinq Î é1 ,1ö,cosq Îæ 0, 2 2 ù ‎êë3 ÷ êë3 ÷ ç 3 ú ø è û cosq = 1 , f (q )‎ ‎2‎ ‎‎ min = ‎p f ( ) 3‎ ‎= 3 + 5p ‎3‎ 令 f '(q ) = 0, cosq = 0, 1‎ ‎2‎ sinq Î é1 ,1ö,cosq Îæ 0, 2 2 ù êë3 ÷ ç 3 ú ø è û cosq = 1 , f (q ) 取得极小值，此时为最小值，‎ ‎2‎ f (q )‎ ‎‎ min = ‎p f ( ) 3‎ ‎= 3 + 5p ‎3‎ ‎【点评】难度中等，考察了函数的表示和导数极值的运用 ‎18.（本小题满分 16 分）‎ 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C ： x a2‎ （1） 求椭圆C 的方程；‎ ‎y2 1‎ + = 1(a > b > 0) 的离心率为 b2 2‎ ‎，且过点(0, 3) .‎ （1） 已知DBMN 是椭圆C 的内接三角形，‎ ‎① 若点 B 为椭圆的上顶点，原点O 为DBMN 的垂心，求线段 MN 的长；‎ ‎② 若原点O 为DBMN 的重心，求原点O 到直线 MN 距离的最小值.‎ ‎【解析】(1)由于题意得 c = 1 , b = ‎3, b2 = a2 - c2 ，解得a = 2,b2 = 3‎ 椭圆方程:‎ ‎a 2‎ ‎1‎ x2 + y2 = ‎ ‎ ‎4 3‎ ‎‎ x 2 y 2‎ ‎(2) ① B(0, 3) ， O 是DABC 的垂心，设 M (x , y )( y < 0) ， ，则 N (x , - y ) ，满足 0 + 0 = 1‎ ‎0 0 0‎ ‎0 0 4 3‎ y0 - 3‎ OM ^ BN ，则有 y0 × = -1 ，解得 x ‎= ± 2 33 , y ‎= - 4 33‎ x -x ‎0 7 0 7‎ ‎0 0‎ 则 MN = 4 33‎ ‎7‎ ‎②设 M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ), B(x0 , y0 ) ， O 是DABC 的重心，则 ‎x1 + x2 = -x0‎ ‎y1 + y2 = - y0‎ ‎(x + x )2 ( y + y )2 1 2‎ 则有 1 2 + 1 2 = 1 ， 则 ‎4 3‎ ‎2 x1 x2 + 3‎ ‎y1 y2 + 1 = 0‎ ‎1°若 MN 斜率不存在，则 M (-1, 3), N (-1, - 3) ， d = 1‎ ‎2 2‎ ‎2°若 MN 斜率存在，则ìï í ‎y = kx + m ‎，联立得(4k 2 + 3)x2 + 8mkx + 4m2 -12 = 0 ， D = 48(4k 2 - m2 + 3) > 0‎ ïî3x2 + 4 y2 = 12‎ -8km 4m2 - 2‎ 则 x1 + x2 = 4k 2 + 3 , x1 + x2 = 4k 2 + 3‎ 整理得4k 2 + 3 = 4m2‎ m ‎1 + k 2‎ ‎1 - ‎1‎ ‎4k 2 + 4‎ 则点 O 到 MN 的距离d = = ‎‎ ‎，当k = 0 时，取 d = 3‎ ‎2‎ ‎3‎ 综上，当k = 0 时，取dmin = 2‎ ‎【点评】本题计算量较大，考察三角形四心问题，隐含条件较多，可通过联立法和设坐标两种方法结合来写，属于难题 ‎19.（本小题满分 16 分）‎ 已知函数 f (x) = x3 - x2 - (a -16)x, g(x) = a ln x, a Î R . 函数h(x) = f (x) - g(x) 的导函数h¢(x) 在[ 5 , 4] 上存 x 2‎ 在零点.‎ （1） 求实数 a 的取值范围；‎ （2） 若存在实数 a ，当 x Î[0,b] 时，函数 f (x) 在 x = 0 时取得最大值，求正实数b 的最大值；‎ （3） 若直线l 与曲线 y = f (x) 和 y = g(x) 都相切，且l 在 x 轴上的截距为-12 ，求实数 a 的值.‎ ‎【解析】（1）由题意， h(x) = x2 - x - (a -16) - a ln x ， h¢(x) = 2x -1 - a 在 x Î[ 5 , 4] 上存在零点，即 x 2‎ ‎2 x Î 5 2 2‎ ‎2x - x - a = 0 在 ‎[ , 4] 上有解， a = 2x ‎2‎ ‎- x ， 2x ‎- x Î[10, 28] ，所以a Î[10, 28] .‎ ‎（2） f ¢(x) = 3x2 - 2x - (a -16) ， f '(0) £ 0 Þ a ³ 16‎ 令 f '(x) = 0, x ‎= 1 - ‎3a - 47 , x ‎= 1 + ‎3a - 47‎ ‎1 3 2 3‎ 当0 < b £ x2 时，显然 f (x) 在 x = 0 时取得最大值 当b > x2 时， f (x) 在[0, x2 ] 上单调递减，在[x2 , b] 上单调递增，所以只需 f (b) £ f (0) = 0‎ 即b3 - b2 - (a - 16)b £ 0 Þ b2 - b £ a - 16‎ amax = 28‎ 所以b 的最大值为 4.‎ ‎1 1‎ ‎（3）设 f (x) 上切点为(x , f (x )) ， f ¢(x) = 3x2 - 2x - (a -16) ，可得切线方程为 y - x 3 + x 2 + (a -16)x = [3x 2 - 2x - (a - 16)](x - x ) ，已知点(0, -12) 在其上，可得 ‎1 1 1 1 1 1‎ ‎(x - 2)(2x 2 + 3x + 6) = 0 ，所以 x = 2‎ ‎1 1 1 1‎ 设 g(x) 上切点为(x , g(x )) ， g¢(x) = a ，可得切线方程为 y - a ln x = a (x - x ) ，已知点(0, -12) 在其上，‎ ‎ ‎ ‎2 2 2‎ ‎2‎ 可得-12 - a ln x2 = -a 因为公切线，所以3x 2 - 2x - (a -16) = a ，将 x = 2 代入，可得24 - a = a ‎ ‎ ‎1 1 1‎ ‎2 2‎ ì-12 - a ln x2 = -a ìx = 1‎ í24 - a = 由ï a î ï x2‎ ‎，可得í 2‎ îa = 12‎ ‎，所以a 值为 12.‎ ‎【点评】本题考查函数零点，单调性及公切线 第一问比较简单，可转化二次函数根的分布或函数值域问题或者利用零点存在性定理解决第二问通过三次函数单调性，已知取最大值的点，求参数 第三问公切线，分别设切点，对应相等，最后转化解方程 ‎20.（本小题满分 16 分）‎ 已知无穷数列{an } 的各项均为正整数，其前 n 项和为 Sn ，记Tn 为数列{an } 的前an 项和，即 + aa n Tn = a1 + a2 + .‎ （1） 若数列{an } 为等比数列，且a1 = 1, S4 = 5S2 ，求T3 的值；‎ （1） 若数列{a } 为等差数列，且存在唯一的正整数n(n ³ 2) ，使得 Tn < 2 ，求数列{a } 的通项公式；‎ n （2） 若数列{T } 的通项为T ‎an = n(n + 1) ，求证：数列{a } 为等差数列.‎ ì ‎【解析】（1）‎ ‎n a1 = 1‎ ‎n 2‎ Þ q = 2 Þ T = S ‎n = 15‎ S î 4‎ í = 5S 3 4‎ （2） 因为无穷等差数列，所以d ³ 0 ，且a1 Î N *, d Î N .‎ ‎1°当d = 0 时， an 和Tn 均为常数，故不存在唯一的整数满足条件，舍去；‎ ‎2°当d ³ 2 时， a ‎‎ ‎2n-1‎ å ai ³ 1 + 2(n -1) = 2n -1 Þ Tn ³ i=1 = 2n -1 ³ 3 ，舍去；‎ an an 故 d = 1 ， Tn ‎a +n-1‎ åai = i=1 = a + ‎‎ n(n - 1)‎ ‎‎ < 2 Þ ‎‎ n(n - 1)‎ ‎‎ < 2 - a an a1‎ ‎+ n - 1‎ ‎2(a1‎ ‎+ n - 1)‎ ‎2(a1‎ ‎+ n - 1) 1‎ 若 a ³ 2 ，则没有满足条件的 n ，所以a ‎= 1 ，此时 Tn = n + 1 < 2 Þ n = 2‎ ‎ ‎ ‎1‎ 故 an = n .‎ ‎1 n 2‎ ‎（3） T1 = 1,T2 = 3,T3 = 6 Þ a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3 ，又Tn > Tn-1 Þ an > an-1‎ 所以an ³ n ；‎ 若 an ‎> n,Tn ‎= a1‎ ‎+ a2‎ ‎+L + a n ‎> a1‎ ‎+ a2‎ ‎+L + an ‎> 1 + 2 +L + n = n(n + 1) 与原命题矛盾，‎ ‎2‎ 所以an = n ， an - an-1 = 1为常数，所以{an } 为等差数列.‎ ‎【点评】第一小问考察了数列求值问题，较简单，后两问求通项和数列证明都应用了构造不等关系缩小变量范围，从而推出值的方法，对学生思维能力要求较高，难度较大。‎ ‎ 2020 届高三年级第二次模拟考试数学附加题 ‎2020.03‎ 注意事项：‎ 1. 附加题供选修物理的考生使用．‎ 2. 本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟．‎ 3. 答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．‎ ‎21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A. 选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M = é1 2ù ， MN = é1 0ù .‎ ‎2 1‎ ‎0 1‎ ê ú ê ú ë û ë û (1) 求矩阵 N ；‎ (2) 求矩阵 N 的特征值.‎ é- 1 2 ù ê 3 3 ú 1‎ ‎【答案】（1） N = （2）特征值为 ，-1‎ ê ú ê 2 - 1 ú 3‎ êë 3 3úû éa b ù ‎‎ é a+2c b + 2d ù ‎【解析】（1）设矩阵 N = êc d ú 则 MN = ê2a + c ‎2b + d ú ，‎ ë û ë û ‎3‎ ìa =- 1‎ ìa + 2c = 1‎ ï ‎ï ï ïb = 2‎ ‎‎ é 1 2 ù - ê ú  所以可得ïb + 2d = 0 ，解得ï 3 ，所以 N = ê ‎3 3 ú í2a + c = 0 í 2‎ ‎ê 2 1 ú ï ïc = ‎ê - ú ïî2b + d = 1 ï 3‎ ï 1‎ ‎ë 3 3û ïd =- ‎ î 3‎ é- 1 - l 2 ù 2‎ ê ú ‎3 3‎ ‎（2）由 A - l E = ，可得矩阵 N 的特征多项式为 f (l )= æ 1 +l ö - 4 .‎ ê 2 1 ú ç 3 ÷ 9‎ ê - - l ú è ø ëê 3 3 úû 令 f (l ) = 0 ，解得l = 1，l = -1 所以矩阵 N 有两个特征值l = 1，l = -1‎ ‎ ‎ ‎1 3 2 1 3 2‎ ‎【点评】这个题考查了矩阵的乘法及矩阵的特征值，属于简单题。‎ A. 选修 4-4:坐标系与参数方程 ‎‎ ì x = 2t í 1 2‎ 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为ï y = t ‎，（ t 为参数），以原点O 为极点， x 轴的正半轴 îï 2‎ ‎2‎ 为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为 r cos(q - p ) = .若直线l 交曲线C 于 A ， B 两点，求线段 ‎4‎ AB 的长.‎ ‎【答案】 AB=16‎ ‎2‎ ‎【解析】由 r cos(q - p ) = 可得 r cosq + r sinq = 2 ，又因为 x = r cosq , y = r sinq ，‎ ‎4‎ ìx = 2t, ‎ í 1 2‎ 所以直线l 的直角坐标方程为 x + y = 2 ，由曲线C 的参数方程为ï y = t ,‎ ‎‎ ‎(t为参数）‎ ïî 2‎ íx2 = 8 y 消去t 得曲线C 方程为 x2 = 8 y ，联立直线l 与曲线C 得ìx + y = 2 .‎ î 消去 y 得方程 x2 + 8x -16 = 0 设 A( x , y ), B ( x , y ) ，可得 x + x ‎= -8, x x ‎= -16‎ 所以 AB = ‎‎ ‎1 +12‎ x1 - x2 = ‎1 1 2 2‎ ‎2 x + x - 4x x ( ‎1 2‎ ) ‎2‎ ‎1 2‎ ‎=16‎ ‎1 2 1 2‎ ‎【点评】这个题考察了把极坐标化成直角坐标、参数方程及求抛物线的弦长属于简单题.‎ ‎22．（本小题满分 10 分）‎ 某商场矩形有奖促销活动，顾客购买每满 400 元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有 ‎1~6 点数的正方体骰子 1 次，若掷得点数大于 4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖.‎ 已知抽奖箱中装有 2 个红球与m(m ³ 2, m Î N * ) 个白球，抽奖者从箱中任意摸出 2 个球，若 2 个球均为红 球，则获得 1 等奖；若 2 个球为 1 个红球和 1 个白球，则获得 2 等奖；否则，获得三等奖.（抽奖箱中的所有小球，除了颜色外均相同）‎ （1） 若m = 4 ，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；‎ （2） 若一等奖可获奖金 400 元，二等奖可获奖金 300 元，三等奖可获奖金 100 元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为 X 元，若商场希望 X 的数学期望不超过 150 元，求m 的最小值.‎ ‎【答案】（1） 3 ；（2） 9.‎ ‎5‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题考察了随机变量的概率分布及数学期望，逻辑上不难理解，但是计算化简有些复杂，属于中等题。‎ ‎23．（本小题满分 10 分）‎ 已知集合 An ‎= {1, 2, 3, , n}, n Î N *, n ³ 2 ，将 A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组 ‎1 2 n k k ‎(M , M , , M ) ，其中m = 2n .记集合 M 中元素的个数为a , k Î N * , k £ m ，规定空集中元素的个数为 0.‎ （1） 当n = 2 时，求a1 + a2 + + an 的值；‎ ‎, Mn )‎ （2） ‎） 利用数学归纳法证明： 不论 n(n ³ 2) 为何值， 总存在有序集合组 (M1 , M2 ,‎ ‎， 满足任意 i i +1‎ i Î N * ,i £ m -1，都有 a - a = 1 .‎ ‎【解析】（1）当n = 2 时， m = 22 = 4 ，集合 A 共有 4 个子集，可得a + a + a + a ‎= 0 + 1+ 1+ 2 = 4 ；‎ n 1 2 3 4‎ ‎（2）当n = 2 时，m = 22 = 4 ，此时令a = 0, a = 1, a = 2, a = 1 ，满足对任意i Î N *,i £ 3 ，都有 a - a ‎= 1 成 ‎1 2 3 4 i i+1‎ 立；‎ ‎1 2 2k i 假设n = k 时，存在有序集合组(M , M , , M ) ，a = 0,1, 2, , k ，满足对任意的i Î N *,i £ m -1, m = 2k ，都有 ai - ai+1 = 1成立.‎ 此时，0 个元素的集合个数为C 0 ，1 个元素的集合个数为C1 ， ， k 个元素的集合个数为Ck ，‎ k k k i i k +1‎ k +1‎ 将对应集合 M (i = 1, 2, , 2k ) 的元素个数a 按奇偶间隔排列，先偶后奇，从小到大排列后，可得到一个符合题意的排列.‎ k +1‎ 当n = k +1 时，0 个元素的集合个数为C 0‎ ‎，1 个元素的集合个数为C1‎ ‎， ，k 个元素的集合个数为Ck ，‎ k +1‎ k +1 个元素的集合个数为Ck+1 ，‎ k +1‎ 此时相比于n = k 时的排列多出数字"i "(i = 1, 2, 3, , k + 1) 的个数为Ci ‎‎ - Ci = Ci-1 个，‎ 将多出的这些数字按n = k 时的排序方式插入原序列，依然成立； 故n = k +1 时，原命题成立。‎ ‎【点评】本题以集合元素个数为背景，考察二项式定理和数学归纳法的综合应用，要理清排序方式，以及 n 取k + 1 和取k 时的变化规律，属难题。‎