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- 2021-06-24 发布
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数学(理科)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟,考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效,考试结束后,将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共12小题。
一、 选择题:本大题共12 小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1. 已知,则( )
A.11 B. 12 C.13 D. 14
2. 如图,在复平面内,点表示复数,则图中表示的共轭复数的点是( )
A. B. C. D.
3. ,若为假命题,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知的展开式中的系数为,则()
A. B. C. D.
5. 已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于()
A. B. C. D.
6. 以下结论不正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
7. 将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是( )
A.96 B.84 C.92 D.86
8. 已知函数,下列结论中错误的是()
A.R, B.函数的图像是中心对称图形
C.若是的极小值点,则在区间上单减
D.若是的极值点,则
9. 某射击手每次射击击中目标的概率为0.8,则这名射击手在4次射击中至少击中目标1次的概率为( )
A.0.9728 B.0.9984 C.0.9948 D. 0.9782
10.方程 的正整数解共有( )组
A.165 B.120 C.38 D.35
11. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是( )
A.若, 则z是实数 B.若, 则z是虚数
C.若z是虚数, 则 D.若z是纯虚数, 则
12. 设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则()
A. a> -3 B. a< -3 C. a> D. a<
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
注意事项:
必须使用黑色签字笔或钢笔在答题卡上作答。
第Ⅱ卷分为填空题和解答题。
一、 填空题:本大题共4 小题,每小题5分,共20分,将答案书写在答题卡对应题号的横
线上。
13. 设(为虚数单位),则复数的模为 .
14.某动物从出生开始能活到20岁的概率为,活到25岁的概率为,现有一20岁的这种动物,则它能活到25岁的概率为 .
15.的展开式中系数最大的项的系数为 .
16. 设,定义为的导数,即,,若的内角满足,则= .
三、解答题:本大题共6小题,共70分,将答案书写在答题卡对应题号的方框内,解答时
应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分) 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数
百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,
其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选
2名. 观众乙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(1) 求观众甲选中3号歌手的概率;
(2) X表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和,求P(X=1).
18.(12分)已知函数.
(1)求在点P处的切线方程;(2)求的单调减区间.
19.(12分) 如图,是半圆的直径,是半圆上除、外的一个动点,垂直于半圆所在的平面, ∥,,,.
(1)证明:平面平面;
(2)求三棱锥体积最大值.
20.(12分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者
先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个
白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三
等奖如下:
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
20元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1)求摸奖者第一次摸球时恰好摸到1个红球的概率;
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列.
21.(12分)如图,四棱锥中,底面是正方形,且四个侧面均为等
边三角形.延长至点使=,连接.
(1)证明:;
(2)求二面角平面角的余弦值.
E
22.(12分) 设函数(e=2.71828是自然对数的底数,).
(1)求的最值;
(2)讨论方程的根的个数.
理科数学参考答案
选择题:1.B 2.B和C都得5分 DDA DACBA CB 填空题:5 672
解答题: 17、(1);(2) 18、(1);(2) 19、(1)略;(2)
20、
21、(1)略;(2)
22、 (Ⅰ), 由,解得, 当时,,单调递减 ,所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,
最大值为 ,无最小值
(Ⅱ)令
(1)当时,,则,
所以,
因为, 所以 ,因此在上单调递增.
(2)当时,当时,,则,
所以, ,因为,,又
所以 所以 ,因此在上单调递减.
综合(1)(2)可知 当时,,
当,即时,没有零点,
故关于的方程根的个数为0;
当,即时,只有一个零点,
故关于的方程根的个数为1;
当,即时,
①当时,由(Ⅰ)知 ,要使,只需使,即;
②当时,由(Ⅰ)知
; 要使,只需使,即; 所以当时,有两个零点,故关于的方程根的个数为2;
当时,关于的方程根的个数为0;
当时,关于的方程根的个数为1;
当时,关于的方程根的个数为2.