山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（二）数学试题 15页

‎ 2020年高考适应性训练 数 学 试 题（二）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知全集,集合,，则 A. B. C. D. ‎ ‎2.“”是“”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 若向量，，且，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎4. 张卡片上分别写有数字，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张 卡片的数字之和为奇数的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知，，，则 A. B． C． D．‎ ‎6. 在三棱锥中，,,,, 点到底面 的距离为，当三棱锥体积达到最大值时，该三棱锥外接球的表面积是 A． B． C． D． ‎ ‎7. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实 数，则的取值范围是 A. B. C. D．‎ ‎8. 已知双曲线:的右焦点为，过点的直线交双曲线的右支于、两 点，且，点关于坐标原点的对称点为,且，则双曲线 的离心率为 A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 对于不同直线，和不同平面，，有如下四个命题，其中正确的是 A. 若，，, 则 B. 若，，，则 ‎ C. 若，，，则 D. 若，，则 ‎10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则 A. ‎ B. 若，则直线的斜率为 C. 若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为 ‎ D. 若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为 ‎11. 南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为 ‎“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.下图是一种变异的杨辉三角，它是 将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合 中所有的数从小到大排列的数列，即 ‎…‎ ‎ ‎ 下列结论正确的是 A. 第四行的数是 B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎12. 已知函数，函数，下列选项正确的是 A. 点是函数的零点 B. ,使 ‎ C. 函数的值域为 D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围 是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知复数是实数，复数是纯虚数，则实数的值为 ▲ . ‎ ‎14. 的展开式中的系数为，则 ▲ .‎ ‎15. 已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，‎ 当时，，则 ▲ .‎ ‎16. 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位 得到函数的图象，则的解析式为 ▲ ；若方程在 的解为，则 ▲ .‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（10分）‎ 已知分别为内角的对边，若是锐角三角形，需要同时满足下列四个条件中的三个：‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎（1）条件①④能否同时满足，请说明理由；‎ ‎（2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应的的面积.‎ ‎18. (12分)‎ 如图，在几何体中，四边形为平行四边形，,平面平面，,,.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ G F E D C B A ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.（12分） ‎ 已知数列的前项和为，，；正项等差数列的首项为，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求和的通项公式.‎ ‎（2）若，的前项和满足,求实数的取值范围.‎ ‎20.（12分）‎ 随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多.世界卫生组织（WHO）常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦成度以及是否健康，其计算公式是 ‎.‎ 成人的BMI数值标准为：BMI偏瘦；BMI为正常；BMI 为偏胖；BMI为肥胖.‎ 某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1-8）的身高（cm）和体重（kg）数据，并计算得到他们的BMI（精确到0.1）如下表： ‎ 编 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 身高（cm）‎ ‎163‎ ‎164‎ ‎165‎ ‎168‎ ‎170‎ ‎172‎ ‎176‎ ‎182‎ 体重（kg）‎ ‎54‎ ‎60‎ ‎77‎ ‎72‎ ‎68‎ ‎●‎ ‎72‎ ‎55‎ BMI（近似值）‎ ‎20.3‎ ‎22.3‎ ‎28.3‎ ‎25.5‎ ‎23.5‎ ‎23.7‎ ‎23.2‎ ‎16.6‎ ‎（1）现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎（2）研究机构分析发现公司员工的身高（cm）和体重（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg,计算得到的其它数据如下：，.‎ ‎① 求的值及表格中8名员工体重的平均值.‎ ‎② 在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重.‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为: ，.‎ ‎21.（12分）‎ 已知椭圆：，、分别为椭圆长轴的左、右端点，为直线上异于点的任意一点，连接交椭圆于点. ‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）是否存在轴上的定点使得以为直径的圆恒过与的交点？如果存在，请求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由.‎ ‎22.（12分）‎ 已知函数（为自然对数的底数），其中.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数的两个极值点为，‎ 证明：.‎ ‎ ‎ ‎2020年高考适应性训练 数学（二）参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B B A C C B D C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的 得3分，有选错的得0分.‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 BC ACD ABD BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.‎ ‎17.（10分）‎ 解：（1）不能同时满足①，④. 理由如下： ……………………………1分 若同时满足①，④，‎ 则在锐角中，，所以 又因为，所以 ……………………………………………………3分 所以,这与是锐角三角形矛盾 所以不能同时满足①，④. ……………………………………………………4分 ‎（2）因为需同时满足三个条件，由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④ ………………………………………………………………5分 若同时满足②③④，因为，所以，则,‎ 则这与是锐角三角形矛盾. ‎ 故不能同时满足②③④,只能同时满足①②③. ………………………………7分 因为,‎ 所以,‎ 解得或. ………………………………………………………8分 当时，,‎ 所以为钝角，与题意不符合，所以. ………………………………………9分 所以的面积. ………………………………………10分 ‎18.（12分）‎ 解：（1） , ‎ ‎ , , . ‎ ‎. ‎ ‎. ……………………………………………………………2分 ‎, ‎ ‎. 即四边形是平行四边形.‎ ‎. ‎ ‎, ‎ ‎, .‎ ‎ , , ‎ ‎. ……………………………………………………………………………4分 ‎ , , ‎ ‎. ‎ ‎, ‎ ‎. ………………………………………………………………………………6分 ‎（2）由（1）知,,‎ ‎. ‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系 ……7分 设,则,.‎ ‎ . ……………………………………………8分 G F E D C B A x y z 设平面的法向量 ‎ ‎,.‎ ‎ 解得. ‎ ‎ 不妨令 .‎ 设平面的法向量, ‎ ‎ ，解得.‎ 不妨令, . ………………………………………10分 ‎. ……………………………………11分 ‎ 二面角的余弦值为. ………………………………………12分 ‎19.（12分）‎ 解：（1）由得，,‎ ‎ …………………………………………………………………………………1分 是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎. ………………………………………………………………………………2分 设等差数列的公差为，由，，，成等比数列.‎ ‎ 即.‎ ‎ .‎ ‎. …………………………………………………………………………………4分 ‎（2）.…5分 ‎ ‎ ‎ . ……………………8分 ‎ 不等式可化为，‎ ‎ , ……………………………………………10分 故.‎ 因此实数的取值范围为. …………………………………………………12分 ‎20.（12分）‎ 解：（1）8名员工BMI数值为“正常”的员工有5人，记抽到BMI值为“正常”的人数为,则的可能取值为0,1,2,3，则 ‎, ,‎ ‎, . …………3分 故的分布列为 ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎2 ‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则. ………………………5分 ‎（2）① 调查员甲由线性回归方程预估一名身高为180cm的员工的体重为71kg, 由此计算，故. …6分 ‎② 由①知更正前的数据，.由 得，‎ 更正后的数据，， ………………………8分 ‎，，‎ 故.‎ 更正后该组数据的线性回归方程为.………………………………………11分 当时，，‎ 所以重新预估一名身高为180cm的员工的体重约75kg. ………………………………12分 ‎21.（12分）‎ 解：（1）设,.‎ ‎ …………………………………………………1分 ‎ .‎ 整理得 , 即. ………………………………………………………2分 代入椭圆方程解得： .‎ ‎. ……………………………4分 故直线的方程为或. …………………………5分 ‎（2）方法一：‎ 设直线的方程为，，‎ 由得. ……………………………………………………………6分 由得.‎ ‎ ‎ ‎. ……………………………………………………………………9分 假设存在定点满足要求，则.‎ ‎ ，.‎ ‎ ,整理得.‎ ‎ . ………………………………………………………………………11分 存在轴上的定点，使得以为直径的圆恒过与的交点. ……12分 方法二：‎ 假设存在定点满足要求，设，‎ 则由以为直径的圆通过与的交点得 ‎ ‎ ① ………………………7分 设 整理得 …………………8分 ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ , 整理得 . ② ……………………………10分 将②代入①，有，，解得. ………………………11分 ‎ 存在轴上的定点，使得以为直径的圆恒过与的交点.………12分 ‎22.（12分）‎ 解：（1）的定义域，，， …………1分 方程，判别式，‎ 当时，，恒成立，所以恒成立，函数在和上单调递增. ………………………………2分 当时，，令，得，，‎ 因为，所以.‎ 所以当或或时，，当时，，所以在和和是增函数，在是减函数.‎ 综上所述，‎ 当时，函数在和上单调递增；‎ 当时，函数在和和单调递增，在单调递减. .………………………………4分 ‎（2）由（1）可知，当时函数存在两个极值点，且是方程 的两根，所以，且.……………………5分 ‎，，‎ 所以，‎ ‎， ………………………………6分 所以，‎ 又，‎ 所以，要证成立，‎ 即证成立， ………………………………8分 因为且，所以 即证成立，‎ 设，，则，‎ 只要证成立，‎ 即证成立. ………………………………10分 设，则，构造函数，‎ 则，所以在上单调递增，‎ ‎，即成立，‎ 从而成立 . .………………………………12分