2013版《6年高考4年模拟》：第二章 函数与基本初等函数 第二节 基本初等函数 67页

【数学精品】2013 版《6 年高考 4 年模拟》 第二节 基本初等函数 I 第一部分 六年高考荟萃 2012 年高考题 1. [2012·福建卷] 设函数 D(x)＝Error!则下列结论错误的是(　　) A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数 答案：C　[解析] 考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等，解决本题利用定义、图象等解 决．若当 x 为无理数时，x＋T 也为无理数，则 f(x＋T)＝f(x)；故 f(x)是周期函数，故 C 错误； 若 x 为有理数，则－x 也为有理数，则 f(－x)＝f(x)；若 x 为无理数，则－x 也为无理数，则 f(－x)＝f(x)；故 f(x)是偶函数，故 B 正确；结合函数的图象，A 选项 D(x)的值域为{0,1}，正 确；且 D(x)不是单调函数也正确，所以 C 错误． 2.[2012·重庆卷] 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数” 是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　) A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件 答案：D　[解析] 由于 f(x)是 R 的上的偶函数，当 f(x)在[0,1]上为增函数 时，根据对称性知 f(x)在[－1,0]上为减函数．根据函数 f(x)的周期性将 f(x)在[－1,0]上的图象 向右平移 2 个周期即可得到 f(x)在[3,4]上的图象，所以 f(x)在[3,4]上为减函数；同理当 f(x)在 [3,4]上为减函数时，根据函数的周期性将 f(x)在[3,4]上的图象向左平移 2 个周期即可得到 f(x) 在[－1,0]上的图象，此时 f(x)为减函数，又根据 f(x)为偶函数知 f(x)在[0,1]上为增函数(其平 移与对称过程可用图表示，如图 1－1 所示)，所以“f(x)为[0,1]上的减函数”是“f(x)为[3,4]上的 减函数”的充要条件，选 D. 3.[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝1 x D．y＝x|x| 答案：D　[解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、 奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升； 若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是 奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的 图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选 D.其实对于选项 D，我们也可利用 x>0、x＝0、x<0 分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求． 4.[2012·辽宁卷] 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝ x3.又函数 g(x)＝|xcos(πx)|，则函数 h(x)＝g(x)－f(x)在[－1 2，3 2]上的零点个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：B　[解析] 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断．解题的突破口 为根据函数的性质得到函数 f(x)的解析式，结合函数图象求解． f(－x)＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，所以 f(x)＝f(2－x)＝f(x－2)，所以函数 f(x)为周期为 2 的周期函数，且 f(0)＝0，f(1)＝1，而 g(x)＝|xcos(πx )|为偶函数，且 g(0)＝g(1 2 )＝g(－1 2 ) ＝g(3 2 )＝0，在同一坐标系下作出两函数在[－1 2，3 2]上的图像，发现在[－1 2，3 2]内图像共 有 6 个公共点，则函数 h(x)＝g(x)－f(x)在[－1 2，3 2]上的零点个数为 6. 5.[2012·山东卷] 设函数 f(x)＝1 x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若 y＝f(x)的图象与 y＝g(x) 的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　) A．当 a<0 时，x1＋x2<0，y1＋y2>0B．当 a<0 时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当 a>0 时，x1＋x2<0，y1＋y2<0D．当 a>0 时，x1＋x2>0，y1＋y2>0 答案：B　[解析] 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难． 当 y＝f (x )的图象与 y＝g (x )图象有且仅有两个不同的公共点时，a<0 时，其图象为 作出点 A 关于原点的对称点 C，则 C 点坐标为(－x1，－y1)，由图象知－x1y2，故 x1＋x2>0，y1＋y2<0，同理当 a>0 时，有 x1＋x2<0，y1＋y2>0，故选 B. 6.[2012·浙江卷] 设 a∈R，若 x>0 时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则 a＝________. 答案：.3 2　[解析] 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数 形结合和转化化归的数学思想．令 y1＝(a－1 )x－1，y2＝x2－ax－1，则函数 y1＝(a－1 )x－ 1，y2＝x2－ax－1 都过定点 P(0，－1).考查函数 y1＝(a－1 )x－1，令 y＝0，得 M( 1 a－1，0)， 同时只有 a－1>0 即 a>1 时才有可能满足 x∈(0，＋∞)时，y1·y2≥0； 考查函数 y2＝x2－ax－1，显然只有过点 M ( 1 a－1，0)时才能满足 x∈(0，＋∞)时，y1·y2≥0， 代入得：( 1 a－1 )2－ a a－1－1＝0，可得 (a－1 )2＋a(a－1 )－1＝0,2a2－3a＝0 解得 a＝3 2或 a＝ 0，舍去 a＝0，得答案：a＝3 2. 7.[2012·湖北卷] 已知二次函数 y＝f(x)的图象如图 1－1 所示，则它与 x 轴所围图形的面积为 (　　) 图 1－1 A.2π 5 B.4 3C.3 2 D.π 2 答案：B　[解析] (解法一)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a ≠ 0 ).因为函数 f(x)的图象过(－1,0)，(1,0)， (0,1)，代入得Error! 解得Error! 故 f(x)＝1－x2. 故 S＝∫1－1(1－x2)dx＝(x－x3 3 )Error! 1－1＝4 3.故选 B. (解法二)设 f(x)＝a(x－1 )(x＋1 )，将 x＝0，y＝1 代入 f(x)＝a(x－1 )(x＋1 )，得 a＝－1，所 以 f(x)＝－(x－1 )(x＋1 )＝1－x2，所以 S＝∫1－1(1－x2)dx＝(x－x3 3 )Error! 1－1＝4 3.故选 B. (解法三)观察函数图象可知，二次函数 f(x)的顶点坐标为(0,1)，故可设 f(x)＝ax2＋1，又函数 图象过点(1,0)，代入得 a＝－1，所以 f(x)＝－x2＋1.所以 S＝∫1 －1(1－x2)dx＝(x－x3 3 )Error! 1－1＝4 3.故选 B. 8.[2012·四川卷] 函数 y＝ax－1 a(a＞0，且 a≠1)的图象可能是(　　) 图 1－2 答案：D　[解析] 若 a＞1，则 f(x)为增函数，排除 C、D，而 0＜ 1 a＜1，图象与 y 轴的交点 应该在(0,1)内，A、B 也不符合，故 a＞1 不合题意． 若 0＜a＜1，则 f(x)为减函数，排除 A、B，此时1 a＞1，故图象与 y 轴的交点应该在负半轴， 排除 C，选 D. B7 对数与对数函数 9． [2012·全国卷] 已知 x＝lnπ，y＝log52，z＝e－1 2，则(　　) A．xlne＝1,0e－1 2＝ 1 e> 1 4 ＝1 2，∴y0 时，g′(x)<0，g(x)＝ ln(x＋1)－x 单调递减 ，所以 g(x)0，g(x)＝ln(x＋1)－x 单调递增， 所以 g(x)0， ∵fn(x)在(1 2，1 )上是单调递增的，∴fn(x)在(1 2，1 )内存在唯一零点． (2)当 n＝2 时，f2(x)＝x2＋bx＋c. 对任意 x1，x2∈[－1,1]都有|f 2(x1)－f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差 M≤4.据此分类讨论如下： ①当|b 2 |>1，即|b|>2 时， M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾． ②当－1≤－b 2<0，即 00 时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则 a＝________. 答案：3 2　[解析] 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数 形结合和转化化归的数学思想．令 y1＝(a－1 )x－1，y2＝x2－ax－1，则函数 y1＝(a－1 )x－ 1，y2＝x2－ax－1 都过定点 P(0，－1).考查函数 y1＝(a－1 )x－1，令 y＝0，得 M( 1 a－1，0)， 同时只有 a－1>0 即 a>1 时才有可能满足 x∈(0，＋∞)时，y1·y2≥0； 考查函数 y2＝x2－ax－1，显然只有过点 M ( 1 a－1，0)时才能满足 x∈(0，＋∞)时，y1·y2≥0， 代入得：( 1 a－1 )2－ a a－1－1＝0，可得 (a－1 )2＋a(a－1 )－1＝0,2a2－3a＝0 解得 a＝3 2或 a＝0， 舍去 a＝0，得答案：a＝3 2. 2011 年高考题 1.（四川理 7）若 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则 的反函数的 图象大致是 【答案】A 【解析】当 时，函数 单调递减，值域为 ，此时，其反函数单调递减且图象在 与 之间，故选 A． 2.（四川文 4）函数 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是 【答案】A 【解析】 图象过点 ，且单调递减，故它关于直线 y=x 对称的图象过点 且单调递减，选 A． 3.（安徽文 5）若点(a,b)在 图像上， ,则下列点也在此图像上的是 （A）（ ，b） (B) (10a,1 b) (C) ( ,b+1) (D)(a2,2b) ( )f x 0x > 1( ) ( ) 12 xf x = + ( )f x 0x > ( )f x (1,2) 1x = 2x = 1( ) 12 xy = + 1( ) 12 xy = + (0,2) (2,0) lgy x= a ≠1 a 1 − a 10 【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关 系. 【解析】由题意 ， ，即 也在函数 图像上. 4.（天津文 6）设 ， ， ，则（　　　）． 　　Ａ． 　　　　　　　Ｂ． 　　Ｃ． 　　　　　　　Ｄ． 【答案】D 【解析】因为 ， ， ， 所以 ， 所以 ，故选Ｄ． 5.（重庆理 5）下列区间中，函数 = 在其上为增函数的是 （A）（- （B） （C） （D） 【答案】D 6. (重庆文 6)设 , , ,则 , , 的大小关系是 (A) 　　　　　　　　　　(B) (C) 　　　　　　　　　　(D) 【答案】B 7. (重庆文 15)若实数 , , 满足 , ，则 的最大值 是 . 【答案】 8.（四川理 13）计算 _______． 【答案】－20*copoyright:x.k.100.com* 【解析】 ． lgb a= lg lgb a a22 = 2 = ( )2 ,2a b lgy x= 5log 4a = ( )2 5log 3b = 4log 5c = a c b< < b c a< < a b c< < b a c< < 4 4log 5 log 4 1c c= > = = 50 log 4 1a< = < 50 log 3 1a< = < ( )2 5 5 5 5log 3 log 3 log 4 log 4b a= < ⋅ < = b a c< < ( )f x ln(2 )x −  ,1∞ ] 41, 3  −   )30, 2   [ )1,2 22 log 3− 1 21(lg lg25) 100 =4 −− ÷ 1 2 1 2 1 lg2 lg5 1(lg lg25) 100 2 2 lg10 204 10100 − − +− ÷ = − × = − × ÷ = − 9.（陕西文 11）设 ，则 ______. 【答案】 【分析】由 算起，先判断 的范围，是大于 0，还是不大于 0,；再判断 作为 自变量的值时的范围，最后即可计算出结果． 【 解 析 】 ∵ ， ∴ ， 所 以 ， 即 ． 10.（陕西文 4） 函数 的图像是 （ ） 【答案】B 【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断． 【解析】 取 ， ，则 ， ，选项 B，D 符合；取 ，则 ，选项 B 符合题意． 2010 年高考题 一、选择题 1.（2010 全国卷 2 理）（2）.函数 的反函数是 （A） （B） （C） （D） 答案 D 【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 ，即 ，又 ； lg , 0( ) 10 , 0x x xf x x >=    ( ( 2))f f − = 2− 2x = − x ( 2)f − 2 0x = − < 2 1( 2) 10 0100f −− = = > 2 2(10 ) lg10 2f − −= = − ( ( 2)) 2f f − = − 1 3y x= 1 8x = 1 8 − 1 2y = 1 2 − 1x = 1y = 1 ln( 1) ( 1)2 xy x + −= > 2 1 1( 0)xy e x+= − > 2 1 1( 0)xy e x+= + > 2 1 1( R)xy e x+= − ∈ 2 1 1( R)xy e x+= + ∈ ∴在反函数中 ，故选 D. 2.（2010 陕西文）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数 f(x)满足 f（x ＋y）＝f（x）f（y）”的是 （A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数 答案 C 【解析】本题考查幂的运算性质 3.（2010 辽宁文）（10）设 ，且 ，则 （A） （B）10 （C）20 （D）100 答案 A 【解析】选 A. 又 4.（2010 全国卷 2 文）（4）函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 （A）y= -1(x>0) (B) y= +1(x>0) (C) y= -1(x R) (D）y= +1 (x R) 答案 D 【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数 Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴ 5.（2010 安徽文）（7）设 ，则 a，b，c 的大小关系是 （A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a 答案 A 【解析】 在 时是增函数，所以 ， 在 时是减函数，所以 。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2 5a b m= = 1 1 2a b + = m = 10 21 1 log 2 log 5 log 10 2, 10,m m m ma b + = + = = ∴ = 0, 10.m m> ∴ = 1xe + 1xe − 1xe + ∈ 1xe − ∈ 1 1ln( 1) 1, 1 , 1y xx y x e y e− −− = − − = = + 2 3 2 5 5 53 2 2 5 5 5a b c= = =（ ）, （ ）， （ ） 2 5y x= 0x > a c> 2( )5 xy = 0x > c b> )()()( yxfaaayfxf yxyx +=== + 6.（2010 安徽文）（6）设 ,二次函数 的图像可能是 答案 D 【解析】当 时， 、 同号，（C）（D）两图中 ，故 ，选项（D） 符合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 或 两种情况分类考虑.另外 还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 7.（2010 浙江文）2.已知函数 若 = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 答案 B 【解析】 +1=2，故 =1，选 B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题 8.（2010 山东文）(3)函数 的值域为 A. B. C. D. 答案 A 9.（2010 北京文）(6)给定函数① ，② ，③ ，④ ， 期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④ 答案 B 10. （ 2010 北 京 文 ） ⑷ 若 a,b 是 非 零 向 量 ， 且 ， ， 则 函 数 0abc > 2( )f x ax bx c= + + 0a > b c 0c < 0, 02 bb a < − > 0a > 0a < 1( ) log ( 1),f x x= + ( ) 1,f α = α α α ( ) ( )2log 3 1xf x = + ( )0,+∞ )0,+∞ ( )1,+∞ )1,+∞ 1 2y x= 1 2 log ( 1)y x= + | 1|y x= − 12xy += a b⊥ a b≠ 是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 答案 A 11.（2010 四川理）（3）2log510＋log50.25＝ （A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 解析：2log510＋log50.25 ＝log5100＋log50.25 ＝log525 ＝2 答案 C 12.（2010 天津文）(6)设 (A)af(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞). 【解析 2】由 0 ( ) 2f x ax bx c= + + 0a > b c 0c < 0, 02 bb a < − > 0a > 0a < 1.（2010 上海文）9.函数 的反函数的图像与 轴的交点坐标是 。 答案 (0,−2) 解析：考查反函数相关概念、性质 法一：函数 的反函数为 ，另 x=0，有 y=-2 法二：函数 图像与 x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数 的反函数的图像与 轴的交点为（0，-2） 三、解答题 1.（2010 四川理）（22）（本小题满分 14 分） 设 （ 且 ），g(x)是 f(x)的反函数. （Ⅰ）设关于 的方程求 在区间[2，6]上有实数解，求 t 的取 值范围； （Ⅱ）当 a＝e（e 为自然对数的底数）时，证明： ； （Ⅲ）当 0＜a≤ 1 2时，试比较 与 4 的大小，并说明理由. 本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合 等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解：(1)由题意，得 ax＝ ＞0 故 g(x)＝ ，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞) 由 得 t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6] 则 t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下： x 2 (2,5) 5 (5,6) 6 3( ) log ( 3)f x x= + y 3( ) log ( 3)f x x= + 33 −= xy 3( ) log ( 3)f x x= + 3( ) log ( 3)f x x= + y 1 1 x x af ( x ) a += − 0a > 1a ≠ x 2 1 7a tlog g( x )( x )( x ) =− − 2 2 2 2 1 n k n ng( k ) n( n )= − −> +∑ 1 n k f ( k ) n =  − ∑ 1 1 y y − + 1log 1a x x − + 2 1log log( 1)(7 ) 1a a t x x x x −=− − + t' + 0 - t 5 ↗ 极大值 32 ↘ 25 所以 t 最小值＝5，t 最大值＝32 所以 t 的取值范围为[5,32]……………………………………………………5 分 (2) ＝ln( ) ＝－ln 令 u(z)＝－lnz2－ ＝－2lnz＋z－ ，z＞0 则 u'(z)＝－ ＝(1－ )2≥0 所以 u(z)在(0,＋∞)上是增函数 又因为 ＞1＞0，所以 u( )＞u(1)＝0 即 ln ＞0 即 ………………………………………………………………9 分 (3)设 a＝ ，则 p≥1，1＜f(1)＝ ≤3 当 n＝1 时，|f(1)－1|＝ ≤2＜4 当 n≥2 时 设 k≥2,k∈N *时，则 f(k)＝ 2 1 2 3 1( ) ln ln ln ln3 4 5 1 n k ng k n= −= + + + + +∑  1 2 3 1 3 4 5 1 n n −× × × × + ( 1) 2 n n + 21 z z − 1 z 2 2 11z z + + 1 z ( 1) 2 n n + ( 1) 2 n n + ( 1)12 2 ( 1) ( 1) 2 n n n n n n +− −+ + 2 2 2( ) 2 ( 1) n k n ng k n n= − −> +∑ 1 1 p+ 1 211 a a p + = +− 2 p (1 ) 1 21(1 ) 1 (1 ) 1 k k k p p p + + = ++ − + − ＝1＋ 所以 1＜f(k)≤1＋ 从而 n－1＜ ≤n-1+ ＝n+1- ＜n＋1 所以 n＜ ＜f(1)＋n＋1≤n＋4 综上所述，总有| －n|＜4 2.（2010 四川文）（22）（本小题满分 14 分） 设 （ 且 ），g(x)是 f(x)的反函数. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）当 时，恒有 成立，求 t 的取值范围； （Ⅲ）当 0＜a≤ 1 2时，试比较 f(1)+f(2)+…+f(n)与 的大小，并说明理由. 1 2 2 2 k k k k kC p C p C p+ + + 1 2 2 4 4 41 1( 1) 1k kC C k k k k = + = + −+ + + 2 ( ) n k f k = ∑ 4 4 2 1n − + 4 1n + 1 ( ) n k f k = ∑ 1 ( ) n k f k = ∑ 1 1 x x af ( x ) a += − 0a > 1a ≠ ( )g x [2,6]x∈ 2( ) log ( 1)(7 )a tg x x x > − − 4n + 3.（2010 湖北理）17．（本小题满分 12 分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年 的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C（x）= 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元。设 f（x）为隔热层建造费 用与 20 年的能源消耗费用之和。 （Ⅰ）求 k 的值及 f(x)的表达式。 (0 10),3 5 k xx ≤ ≤+ （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。 2009 年高考题 1.(2009 年 广 东 卷 文 ) 若 函 数 是 函 数 的 反 函 数 ， 且 ，则 ( ) A． B． C． D．2 答案 A 解析 函数 的反函数是 ,又 ,即 , 所以, ,故 ,选 A. 2.（2009 北京文）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有 点 （ ） A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 答案 C .w 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. ( )y f x= 1xy a a a= > ≠（ 0，且 ） (2) 1f = ( )f x = x2log x2 1 x 2 1log 2−x 1xy a a a= > ≠（ 0，且 ） ( ) logaf x x= (2) 1f = log 2 1a = 2a = 2( ) logf x x= 3lg 10 xy += lgy x= 3.（2009 天津卷文）设 ，则 ( ) A a=b )(2 1 Rxy x ∈= + )0(log1 2 >+= xxy )1)(1(log 2 >−= xxy )0(log1 2 >+−= xxy )1)(1(log 2 −>+= xxy yxyxy x 22 1 log1log12 +−=⇒=+⇒= + 0>y )0(log1 2 >+−= xxy 3 2 3log , log 3, log 2a b cπ= = = a b c> > a c b> > b a c> > b c a> > 3 2 2log 2 log 2 log 3 b c< < ∴ > 2 2 3 3log 3 log 2 log 3 log a b a b cπ< = < ∴ > ∴ > > 2log 2 2− 2 1 2 − 1 2 1 2 2 2 2 1 1log 2 log 2 log 22 2 = = = ( )y f x= ( , )−∞ +∞ ( ), ( ) ,( ) , ( ) .K f x f x Kf x K f x K ≤=  > ( ) 2 xf x −= K 1 2 ( )Kf x ( ,0)−∞ (0, )+∞ ( , 1)−∞ − (1, )+∞ 答案 C 解析 函数 ，作图易知 ， 故在 上是单调递增的，选 C. 8.（2009 福建卷理）下列函数 中，满足“对任意 ， （0， ），当 < 时， 都有 > 的是 A． = B. = C . = D. 答案 A 解析 依题意可得函数应在 上单调递减，故由选项可得 A 正确。 9. （2009 辽宁卷文）已知函数 满足：x≥4,则 ＝ ；当 x＜4 时 ＝ ，则 ＝ A. B. C. D. 答案 A 解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以 f(2＋log23)＝f(3＋log23)且 3＋log23＞4 ∴ ＝f(3＋log23) ＝ 10.（2009 四川卷文）函数 的反函数是 A. B. C. D. 答案 C 解析 由 ，又因原函数的值域是 ， ∴其反函数是 11.（2009 陕西卷文）设曲线 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐 1( ) 2 ( )2 x xf x −= = 1( ) 2f x K≤ = ⇒ ( , 1] [1, )x∈ −∞ − +∞ ( , 1)−∞ − ( )f x 1x 2x ∈ +∞ 1x 2x 1( )f x 2( )f x ( )f x 1 x ( )f x 2( 1)x − ( )f x xe ( ) ln( 1)f x x= + (0, )x∈ +∞ ( )f x ( )f x 1( )2 x ( )f x ( 1)f x + 2(2 log 3)f + 1 24 1 12 1 8 3 8 2(2 log 3)f + 1 2 2 2 1log 33 log 3 log 31 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 8 2 8 2 8 3 24 + = × = × = × = )(2 1 Rxy x ∈= + )0(log1 2 >+= xxy )1)(1(log 2 >−= xxy )0(log1 2 >+−= xxy )1)(1(log 2 −>+= xxy yxyxy x 22 1 log1log12 +−=⇒=+⇒= + 0>y )0(log1 2 >+−= xxy 1 *( )ny x n N+= ∈ 标为 ,则 的值为 A. B. C. D.1 答案 B 解析 对 ,令 得在点（1，1）处的切线的斜率 ,在点 （1，1）处的切线方程为 ,不妨设 , 则 , 故选 B. 12. （ 2009 全 国 卷 Ⅰ 文 ） 已 知 函 数 的 反 函 数 为 ， 则 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 答案 C 解析 由题令 得 ，即 ，又 ，所以 ， 故选择 C。 13.(2009 湖南卷理)若 a＜0， ＞1，则 ( ) A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0 答案 D 解析 由 得 由 得 ，所以选 D 项。 14.（2009 四川卷理）已知函数 连续，则常数 的值是 ( ) Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５ 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。 答案 B 解析 由题得 ，故选择 B。 解 析 2 ： 本 题 考 查 分 段 函 数 的 连 续 性 ． 由 ， nx 1 2 nx x x⋅ ⋅ ⋅ 1 n 1 1n + 1 n n + 1 * '( ) ( 1)n ny x n N y n x+= ∈ = +求导得 1x = 1k n= + 1 ( 1) ( 1)( 1)n ny k x n x− = − = + − 0y = 1 n n nx += 1 2 1 2 3 1 1...2 3 4 1 1n n nx x x n n n −⋅ ⋅ ⋅ = × × × × × =+ + ( )f x ( )( ) 1 0g x x＝＋2l gx ＞ =+ )1()1( gf 1lg21 =+ x 1=x 1)1( =f 1)1( =g 2)1()1( =+ gf 2log 1( )2 b 2log 0a < 0 ,a< < 1( ) 12 b > 0b < 2 2 log ( 2 ) ( ) 24 ( 22 a x x f x xx xx + ≥= = − < − 当 时 在点 处 当 时） a 3222log 2 =⇒+=+ aa 2 2 2 2 4lim ( ) lim lim( 2) 42x x x xf x xx→ → → −= = + =− ，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 ，可得 ．故选 B． 15.（2009 福建卷文）若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超 过 0.25， 则 可以是 A. B. C. D. 答案 A 解析 的零点为 x= , 的零点为 x=1, 的零点 为 x=0, 的零点为 x= .现在我们来估算 的零点， 因 为 g(0)= -1,g( )=1, 所 以 g(x) 的 零 点 x (0, ), 又 函 数 的 零 点 与 的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 的零点适合， 故选 A。 二、填空题 16.（2009 江苏卷）已知集合 ，若 则实数 的取值范 围是 ，其中 = . 解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由 得 ， ；由 知 ，所以 4。 17.(2009 山东卷理)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . 答案 解析 设函数 且 和函数 ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a 1) 有两个零点, 就是函数 且 与函数 有两个交点,由图象可知当 时两函数只有一个交点,不符合,当 时,因为函数 的图象过点 (0,1),而直线 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的 取值范围是 2 2(2) log 1f a a= + = + 2 (2) lim ( ) 4 x f f x→ = = 3a = ( )f x ( ) 4 2 2xg x x= + − ( )f x ( ) 4 1f x x= − ( ) 2( 1)f x x= − ( ) 1xf x e= − ( ) 1 2f x In x = −   ( ) 4 1f x x= − 4 1 ( ) 2( 1)f x x= − ( ) 1xf x e= − ( ) 1 2f x In x = −   2 3 ( ) 4 2 2xg x x= + − 2 1 ∈ 2 1 ( )f x ( ) 4 2 2xg x x= + − ( ) 4 1f x x= − { }2log 2 , ( , )A x x B a= ≤ = −∞ A B⊆ a ( , )c +∞ c 2log 2x ≤ 0 4x< ≤ (0,4]A = A B⊆ 4a > c = x ≠ }1|{ >aa ( 0,xy a a= > 1}a ≠ y x a= + x ≠ ( 0,xy a a= > 1}a ≠ y x a= + 10 << a 1>a ( 1)xy a a= > y x a= + 1>a 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的 考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 18.（2009 重庆卷文）记 的反函数为 ，则方程 的解 ． 答案 2 解法 1 由 ，得 ，即 ，于是由 ， 解得 解法 2 因为 ，所以 2007—2008 年高考题 一、选择题 1.（2008 年山东文科卷）已知函数 的图象如图所示， 则 满足的关系是 （ ） A． B． C． D． 答案 A 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得 取特殊点 . 2. (07 山东)设 ，则使函数 的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值 为 （ ） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 答案 A 3.(07 天津)设 均为正数，且 ， ， . 则 （ ） A. B. C. D. 答案 A 二、填空题 4. （ 2008 年 山 东 文 科 卷 ） 已 知 ， 则 3( ) log ( 1)f x x= + 1( )y f x−= 1( ) 8f x− = x = 3( ) log ( 1)y f x x= = + 13yx −= 1( ) 3 1f x x− = − 3 1 8x − = 2x = 1( ) 8f x− = 3(8) log (8 1) 2x f= = + = ( ) log (2 1)( 0 1)x af x b a a= + − > ≠， a b， 10 1a b−< < < 10 1b a−< < < 10 1b a−< < < − 1 10 1a b− −< < < 1,a > 10 1;a−∴ < < 0 1 log 0,ax y b= ⇒ − < = < 11 log log log 1 0,a a a ba ⇒ − = < < = 10 1a b−∴ < < <  −∈ 3,2 1,1,1α αxy = α cba ,, aa 2 1log2 = b b 2 1log2 1 =     c c 2log2 1 =     cba << abc << bac << cab << 2(3 ) 4 log 3 233xf x= + 8(2) (4) (8) (2 )f f f f+ + + + 1− O y x 的值等于 ． 答案 2008 解析 本小题主要考查对数函数问题。 5.(07 山 东 ) 函 数 的 图 象 恒 过 定 点 A, 若 点 A 在 直 线 上，其中 ，则 的最小值为 . 答案 8 三、解答题 6.(07 上海)已知函数 （1）判断函数 的奇偶性； （2）若 在区间 是增函数，求实数 的取值范围。 解析（1）当 时， 为偶函数；当 时， 既不是奇函数也不是偶 函数. （2）设 ， ， 由 得 ， 要使 在区间 是增函数只需 ， 即 恒成立，则 。 另解（导数法）： ，要使 在区间 是增函数，只需当 时， 恒成立，即 ，则 恒成立， 故当 时， 在区间 是增函数。 第二部分 四年联考汇编 2 2(3 ) 4 log 3 233 4log 3 233,x xf x= + = + 2( ) 4log 233,f x x⇒ = + 8(2) (4) (8) (2 )f f f f∴ + + + + = 2 2 2 28 233 4(log 2 2log 2 3log 2 8log 2) 1864 144 2008.× + + + + + = + = ( ) )1,0(13log ≠>−+= aaxy a 01 =++ nymx 0>mn nm 21 + ( ) ),0(2 Raxx axxf ∈≠+= ( )xf ( )xf [ )+∞,2 a 0=a ( ) 2xxf = 0≠a ( )xf 212 ≥> xx ( ) ( ) 2 2 2 1 2 121 x axx axxfxf −−+=− ( )[ ]axxxxxx xx −+−= 2121 21 21 212 ≥> xx ( ) 162121 >+ xxxx 0,0 2121 ><− xxxx ( )xf [ )+∞,2 ( ) ( ) 021 <− xfxf ( ) 02121 >−+ axxxx 16≤a ( ) 22' x axxf −= ( )xf [ )+∞,2 2≥x ( ) 0' ≥xf 02 2 ≥− x ax [ )+∞∈≤ ,162 3xa 16≤a ( )xf [ )+∞,2 2012-2013 年联考 1【云南省玉溪一中 2013 届高三第四考次月理】函数 ， 则下列 结论错误的是 ( ) A． 是偶函数 B．方程 的解为 C． 是周期函数 D．方程 的解为 【答案】D 【解析】则当 为有有理数时， ， 也为有理数，则 ， ； 则当 为有无理数时， ， 也为无理数，则 ，所以函数 为偶函 数且为周期函数，所以 A,C 正确.当 为有有理数时, ,即 ，所以方程 的解为 ，C 正确.方程 可等价变形为 ，此时与方程 的解为 为有理数，故 D 错误，故选 D 2【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】已知对数函数 是增函数, 则函数 的图象大致是（ ） 【答案】B 【解析】因为函数为增函数，所以 ，又函数 为偶函数。当 时， ，当 时， ，选 B. 3【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷（三）理科】下列函数中既不是奇函数 也不是偶函数的是 （ ） A． B． C． D． 1( ) 0 xf x x =   ， 为有理数 ， 为无理数 1a > (| | 1)f x + 0x > (| | 1) ( 1) log ( 1)af x f x x+ = + = + 0x < (| | 1) ( 1) log ( 1)af x f x x+ = − + = − + ( )f x ( ( ))f f x x= 1x = ( )f x ( ( )) ( )f f x f x= 1x = x x− x T+ ( )= ( )f x f x− ( )= ( )f x T f x+ x x− x T+ ( )= ( )f x T f x+ ( )f x x ( ( )) (1)f f x f x= = 1 x= ( ( ))f f x x= 1x = ( ( )) ( )f f x f x= ( )=1f x ( )=1f x x ( ) logaf x x= (| | 1)f x + | |2 xy = 21 ( 1)y g x x= + + 2 2x xy −= + 11 1y g x = + 【答案】D 【解析】根据奇偶性定义知，A、C 为偶函数，B 为奇函数，D 定义域为 不关于原 点对称，故选 D. 4【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】若 是偶函数，且当 的解集是（ ） A．（－1，0） B．（－∞，0） （1，2） C．（1，2） D．（0，2） 【答案】D 【解析】根据函数的性质做出函数 的图象如图.把函数 向右平移 1 个单位，得到 函数 ，如图，则不等式 的解集为 ，选 D. 5【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】已知在函数 （ ）的图象上 有一点 ，该函数的图象与 x 轴、直线 x＝－1 及 x＝t 围成图形（如图阴影部分）的 面积为 S，则 S 与 t 的函数关系图可表示为（ ） 【答案】B 【解析】由题意知，当 时，面积原来越大，但增长的速度越来越慢.当 时，S 的增长会越来越快，故函数 S 图象在 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，选 B． 6 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 理 】 定 义 在 上 的 函 数 满 足 )(xf 0)1(,1)(,),0[ <−−=+∞∈ xfxxfx 则时 | |y x= [ 1,1]x∈ − ( ,| |)P t t R ( )f x { | 1}x x > −  ( )f x ( )f x ( 1)f x − ( 1) 0f x − < (0,2) 1 0t− < < 0t > y 且 时 ， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 可知函数为奇函数，且 ， 所以函数的周期为 4， ， ，即 ，所 以 ， 因 为 ， 所 以 ， 所 以 ，选 C. 7【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】函数 的零点 所在的区间是 A． B． C．（1，2） D．（2，3） 【答案】A 【 解 析 】 函 数 ， 在 定 义 域 上 单 调 递 增 ， ， ， ，由跟的存在定理可知函数的零点在区间 上选 A. 8 【 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 理 】 已 知 偶 函 数 = A．1 B．—1 C． D． 【答案】C 【 解 析 】 由 得 ， 所 以 函 数 的 周 期 是 4 ， 所 以 ( ) ( ), ( 2) ( 2),f x f x f x f x− = − − = + ( 1,0)x∈ − 1( ) 2 ,5 xf x = + 2(log 20)f = 1 4 5 1− 4 5 − ( ) ( ), ( 2) ( 2),f x f x f x f x− = − − = + ( 4) ( )f x f x+ = 24 log 20 5< < 20 log 20 4 1< − < 2 2 5log 20 4 log 4 − = 2 2 2 2 2 5 5 4(log 20) (log 20 4) (log ) ( log ) (log )4 4 5f f f f f= − = = − − = − 2 41 log 05 − < < 2 4log 5 2 4 1 4 1(log ) 2 15 5 5 5f = + = + = 2 2 2 4(log 20) (log 20 4) (log ) 15f f f= − = − = − ( ) 2xf x e x= + − 1(0, )2 1( ,1)2 ( ) 2xf x e x= + − (0) 1 2 0f = − < (1) 1 0f e= − > 1 3 9( ) 02 2 4f e e= − = − > 1(0, )2 ( ) , ( 2) ( ), [ 1,0]f x x R f x f x x∀ ∈ − = − ∈ −对 都有 且当 时 ( ) 2 , (2013)xf x f= 则 1 2 1 2 − ( 2) ( )f x f x− = − ( 4) ( )f x f x− = ,选 C. 9 【 天 津 市 耀 华 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 】 已 知 函 数 ， 则 的大小关系是 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】因为函数 为偶函数，所以 ， ， 当 时 ， ， 所 以 函 数 在 递 增 ， 所 以 有 ，即 ，选 B. 10【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】在下列区间中，函数 的 零点所在的区间为 A、（ ，0） B、（0， ） C、（ ， ） D、（ ， ） 【答案】C 【 解 析 】 ， ， 所 以 函 数 的 零 点 在 ，选 C. 11 【 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 （ 理 ） 】 已 知 函 数 是幂函数且是 上的增函数，则 的值为 A. 2 B. －1 C. －1 或 2 D. 0 【答案】B 【解析】因为函数为幂函数，所以 ，即 ，解得 或 .因为幂函数在 ，所以 ，即 ，所以 .选 B. 12【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学（理）】 已知定义在区间[0,2]上 的函数 的图象如图所示，则 的图象为 ( ) ( )2 5 31 mf x m m x− −= − − ( )0,+∞ m = ( )y f x = (2- )y f x 1 1(2013) (4 503 1) (1) ( 1) 2 2f f f f −= × + = = − = = 2( )=f x x cos x− (0.6), (0), (-0.5)f f f (0)< (0.6)< (-0.5)f f f (0)< (-0.5)< (0.6)f f f (0.6)< (-0.5)< (0)f f f (-0.5)< (0)< (0.6)f f f 2( )=f x x cos x− ( 0.5) (0.5)f f− = ( )=2f ' x x sin x+ 0 2x π< < ( )=2 0f ' x x sin x+ > 0 2x π< < (0)< (0.5)< (0.6)f f f (0)< ( 0.5)< (0.6)f f f− ( )= +4 3xf x e x − 1- 4 1 4 1 4 1 2 1 2 3 4 1 1 1 4 4 41( )= 2= 16 04f e e− − < 1 21( )= 1= 1 02f e e− − > 1 1( , )4 2 2 1 1m m− − = 2 2 0m m− − = 2m = 1m = − (0, )+∞ 5 3 0m− − > 3 5m < − 1m = − 【答案】A 【解析】当 时， ,排除 B,C,D,选 A. 13【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学（理）】给定函数① ，② ，③ ，④ ，其中在 上单调递减的个数为 A. 0 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】C 【解析】①为幂函数， ，所以在 上递减.② ，在 上递减，所以函数 在 ，递减.③ ，在 递 增.④ 的周期， ，在 上单调递增，所以满足条件的有 2 个，选 C. 14【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学（理）】设 ， ， ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， ， 。因为 ， 所以 ，即 。选 C. 15【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学（理）】函数 的定义域为 R， 1 2=y x − 2 3 +3=2x xy − 1 2 =log |1- |y x =sin 2 xy π (0,1) 2 3 +3=2x xy − 3= 2a log = 2b ln 1 2=5c − < > > > 2 2 1 1 10 log 3 log5 e < < < c a b< < 若 与 都是奇函数，则 A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 是奇函数 【答案】D 【 解 析 】 函 数 ， 都 为 奇 函 数 ， 所 以 ， ，所以 函数 关于点 ， 对称，所以函数的周期 ， 所以 ，即 ，所以函数 为奇函 数，选 D. 16 【 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 （ 理 ）】设 函 数 ，若关于 的方程 有三个不同的实数根 ，则 等于 A. 13 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】做出函数 的图象如图，要使方程 有三个不同的实数根，结 合图象可知， ，所以三个不同的实数解为 ，所以 ，选 B. 17 【 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 】 函 数 的图象是 ( 1)f x + ( 1)f x − ( )f x ( )f x ( ) ( 2)f x f x= + ( 3)f x + 1 ( 1)| -1|)= 1 ( =1) xxf x x  ≠  （ x 2[ ( )] + ( )+c=0f x bf x 1 2 3, ,x x x 2 2 2 1 2 3+ +x x x 2 2 3c +2 c 2 2 2b +2 b 2[ ( )] + ( )+c=0f x bf x ( 1)f x + ( 1)f x − ( 1) ( 1)f x f x− + = − + ( 1) ( 1)f x f x− = − − − ( )f x (1,0) ( 1,0)− 4T = ( 1 4) ( 1 4)f x f x− + = − − − + ( 3) ( 3)f x f x+ = − − + ( 3)f x + ( )f x ( ) 1f x = 0,1,2 2 2 2 1 2 3 5x x x+ + = ln cosy x=      <<− 22 ππ x 【答案】A 【解析】函数为偶函数，图象关于 轴对称，所以排除 B,D.又 ，所以 ，排除 C，选 A. 18【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】设 , , ，则 A. a 50 log 4 1< < 50 log 3 1< < 50 log 3 1< < 2 5 5 5(log 3) log 3 log 4< < b a c< < ( 1) ( 1)f x f x+ = − 2 x      10 1 10[0, ]3 ( 1) ( 1)f x f x+ = − ( 2) ( )f x f x+ = ( 1) ( 1) (1 )f x f x f x+ = − = − 1x = ( )f x 1( )10 xy = 10[0, ]3 [0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π) 2log 1x < − 10 2x< < 2 12 log ( )2 y yy− = − = 10 ( ) 12 y< < 20 log 1y< − < 21 log 0y− < < 1 12 y< < 2 12 log ( )2 z zz− = = 10 ( ) 12 z< < 20 log 1z< < 1 2z< < x y z< < 1'( ) ( ) 0f x x f x−+ > 1( ) ( )g x f x x−= + 1'( ) ( ) 0f x x f x−+ > '( ) ( ) 0xf x f x x + > 0x > '( ) ( ) 0xf x f x+ > ( ( ))' 0xf x > ( )xf x 0x < '( ) ( ) 0xf x f x+ < ( ( ))' 0xf x < ( )xf x 1 ( ) 1( ) ( ) xf xg x f x x x − += + = ( ) 1( ) xf xg x x += ( ) 1y xf x= + 0x > ( ) 1 1y xf x= + > 0x < ( ) 1 1y xf x= + > ( ) 1y xf x= + 1( ) ( )g x f x x−= + 23【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考（理）】函数 在 上为减函数，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数 在 上为减函数，则有 且 ，解得 ，选 B. 24 【 天 津 市 耀 华 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 】 定 义 域 为 R 的 函 数 满 足 ，当 [0，2)时， 若 时， 恒成立，则实数 t 的取值范围是 A、[-2，0) (0，l) B、[-2，0) [l，+∞) C、[-2，l] D、( ，-2] (0，l] 【答案】D 【解析】当 ，则 ，所以 ，当 时， 的对称轴为 ，当 时， 最小值为 ，当 ，当 时，最小，最 小值为 ，所以当 时，函数 的最小值为 ，即 ，所以 ，即 ，所以不等式等价于 或 ，解 得 或 ，即 的取值范围是 ，选 D. 25【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考（理）】函数 的图象大致 是 [ 4, 3]x∈ − − [ 4, 3]x∈ − − 1 4 − [-4,-2]x∈ ( )f x 1 4 − 1 1 4 4 2 t t − ≥ − ( ) ( )axxf a −= 6log [ ]2,0 a ( )1,0 ( )3,1 ( ]3,1 [ )+∞,3 ( ) ( )axxf a −= 6log [ ]2,0 1a > 6 2 0a− > 1 3a< < ( )f x ( +2)=2 ( )f x f x x∈ 2 |x-1.5| - , [0,1)( )= -(0.5) , [1,2) x x xf x x  ∈  ∈ [-4,-2]x∈ 1( ) -4 2 tf x t ≥   -∞  [-4,-2]x∈ 4 [0,2]x + ∈ 1 1( ) ( 2) ( 4)2 4f x f x f x= + = + 2 4 1.5 1[( 4) ( 4)], [ 4, 3)4= 1 (0.5) , [ 3, 2)4 x x x x x+ −  + − + ∈ − − − ∈ − − 2 2.5 1 ( 7 12), [ 4, 3)4= 1 (0.5) , [ 3, 2)4 x x x x x+  + + ∈ − − − ∈ − − 2 21 1 7 1( )= ( 7 12) [( ) ]4 4 2 4f x x x x+ + = + − 7= 2x − 7 1( )=2 16f − − 2.51[ 3, 2), ( )= (0.5)4 xx f x +∈ − − − 2.5x = − 1 1 04 2 4 t t − + ≤ 2 2 0t t t + − ≤ 2 0 2 0 t t t >  + − ≤ 2 0 2 0 t t t <  + − ≥ 0 1t< ≤ 2t ≤ − t ( , 2] (0,1]−∞ −  xxy sin22 −= 【答案】C 【解析】函数为奇函数，所以排除 A.当 时， ，排除 D.函数 为奇 函数，且 ，令 得 ，由于函数 为周期函数，而当 时， ，当 时， ，则答案应选 C. 26【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考（理）】右图是函数 的部分图像，则函数 的零点所在的区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由函数图象可知 ，从而 ， ，所以 ， 函 数 在 定 义 域 内 单 调 递 增 ， ， ，所以函数 的零点所在 的区间是 ，选 C. 27 【 山 东 省 烟 台 市 莱 州 一 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 （ 理 ） 】 若 则 A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a 【答案】B 【解析】 ，因为 ，所以 ，选 B. 2sin2 xy x= − 1 2cos2y x′ = − 0y′ = 1cos 4x = cosy x= 2x π> 2sin 02 xy x= − > 2x π< − 2sin 02 xy x= − < 4x > 0y > ( ) baxxxf ++= 2 ( ) ( )xfxxg ′+= ln      2 1,4 1 ( )2,1      1,2 1 ( )3,2 0 1, (1) 0b f< < = 2 1a− < < − '( ) 2f x x a= + ( ) ln 2g x x x a= + + ( ) ln 2g x x x a= + + 1 1( ) ln 1 02 2g a= + + < (1) ln1 2 0g a= + + > ( ) ( )xfxxg ′+= ln 1( ,1)2 2 1 3 1 2 3 1,3,9.0log     === − cba 2a log 0.9 0,= < 1 1 2 21c ( ) 33 −= = 1 1 3 23 3 0 − −> > a c b< < 28【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考（理）】下列函数中，既是偶函数，又是 在区间 上单调递减的函数是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 非奇非偶函数，排除 B,当 时，函数 单调递增，排 除 C, 在定义域上不单调，排除 D,选 A. 29【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 （理）】函数 的图象大 致是 【答案】D 【解析】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 A,B。当 时， ，排除 C，选 D. 30【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 （理）】已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 ＞0 时， ，则不等式 ＜ 的解集是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 ，又因为函数为奇函数，所以 ，所以 不等式 等价于 ，当 时， 单调递增， 且 ，所以在 上函数也单调递增，由 得 ，即不等式 ( ) 1 11 1 2 2f −= − = ( )+∞,0 3 2−= xy 2 1−= xy xy 2= xy cos= 1 2 1y x x −= = 0x > 2 2x xy = = xy cos= lg xy x = 1x = 0y = ( )f x x ( ) 1 2 xf x −= − ( )f x 1 2 − ( ), 1−∞ − ( ], 1−∞ − ( )1,+∞ [ )1,+∞ 1( 1) (1) 2f f− = − = − 1( ) 2f x < − ( ) ( 1)f x f< − 0x > ( ) 11 2 1 ( )2 x xf x −= − = − 0 ( ) 1f x< < ( ,0)−∞ ( ) ( 1)f x f< − 1x < − 的解集为 ，选 A. 31【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考（理）】若方程 的两根 满足一根大于 2，一根小于 1，则 m 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】令函数 ，由题意可知 ，即 ，所以 ，即 . 32【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考（理）】设定义在 R 上的函数 同时 满足以下条件； ① ；② ；③当 时， . 则 _______. 【答案】 【 解 析 】 由 得 ， 所 以 函 数 为 奇 函 数 . 由 ， 可 知 函 数 的 周 期 为 2 ， 所 以 ， ， ， 由 ② 知 ， 所 以 ， 所 以 . 33 【 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 理 】 设 函 数 是奇函数，则 a= 。 【答案】 【解析】函数 为奇函数，所以有 ，解得 。 ( ), 1−∞ − 2 2 4 0x mx− + = 5( , )2 +∞ 2( ) 2 4f x x mx= − + (1) 0 (2) 0 f f <  < 1 2 4 0 4 4 4 0 m m − + <  − + < 5 2 2 m m  >  > 5 2m > ( )xf ( ) ( ) 0=−+ xfxf ( ) ( )2+= xfxf 0 1x≤ < ( ) 12 −= xxf ( ) ( ) =    ++    ++     2 522 312 1 fffff 2 1− ( ) ( ) 0=−+ xfxf ( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( ) ( )2+= xfxf ( )f x 5 1( ) ( )2 2f f= 3 1 1( ) ( ) ( )2 2 2f f f= − = − (2) (0) 0f f= = ( 1) (1) (1)f f f− = = − (1) 0f = ( ) ( ) =    ++    ++     2 522 312 1 fffff 1 1 1 1( ) 2 12 2 2 2f f f f     − + = = −           | | | |( ) cos x x a x x af x x + + += 0a = ( )f x (0) 0f = 0a = 34 【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】函数 f(x)=a x+ 的值域为 _________. 【答案】 【解析】令 则 且 ，所以 ，所以原函数等价为 ，函数的对称轴为 ，函数开口向上。因为 ， 所以函数在 上函数单调递增，所以 ，即 ，所以函数的值域为 。 35 【 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 】 已 知 函 数 f （ x ） = 若 f （ x ） 在 （ - ， + ） 上 单 调 递 增 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ________。 【答案】 【解析】要使函数 在 R 上单调递增，则有 ，即 ，所以 ，解得 ，即 的取值范围是 。 36【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学（理）】若 ， 则 的定义域为 . 【答案】 【解析】要使函数有意义，则有 ，即 ，所以解得 ， 即不等式的定义域为 . 37【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】已知函数 ，则 1 2 1( )= log (2 +1) f x x ( )f x 2+xa ( 2, )+∞ 2xt a= + 2t > 2 2xt a= + 2 2xa t= − 2 21 9( ) 2 ( )2 4y g t t t t= = − + = + − 1 2t = − 2t > ( 2, )+∞ 2( ) ( 2) ( 2) 2 2 2g t g> = − + = 2y > ( 2, )+∞    > ≤−− .1,log 1,1)2( xx ，xxa a ∞ ∞ (2,3] ( )f x 1 2 0 (1) 0 a a f >  − >  ≤ 1 2 2 1 0 a a a >  >  − − ≤ 1 2 3 a a a >  >  ≤ 2 3a< ≤ a (2,3] 1( ,0)2 − 1 2 2 1 0 log (2 1) 0 x x + > + > 1 2 2 1 1 x x  > −  + < 1 02 x− < < 1( ,0)2 −    ≥ <+= 0, 0,1)( xe xxxf x 。 【答案】 【解析】 ，所以 ， . 38【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】若 ，则实数 的取 值范围是 。 【答案】 【解析】原不等式等价为 ，即 ，所以 ， 即 ，解得 . 39【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学（理）】已知 ， 则 （ ）. 【答案】 ， 【 解 析 】 令 ， 则 ， ， 所 以 ， 所 以 ， . 40 【 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 （ 理 ） 】 函 数 的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】令 ，则 在定义域上为减函数.由 得， 或 ，当 时，函数 递增，根据复合函数的单调性可知，此时 函数 单调递减，所以函数的递减区间为 . 41 【 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 （ 理 ） 】 已 知 函 数 ( +1)= 1f x x - ( )=f x x∈ 2 1 2 ( )=log ( -2 -3)f x x x =− )3)0(( ff 1− 0(0) 1f e= = (0) 3 1 3 2f − = − = − ( (0) 3) ( 2) 2 1 1f f f− = − = − + = − 2 1 2 1 )23()1( −− −<+ aa a 2 3 3 2 << a 1 1 1 3 2a a < + − 1 3 2a a+ > − 1 0 3 2 0 1 3 2 a a a a + >  − >  + > − 1 3 2 2 3 a a a   > −  <   > 2 3 3 2 << a 2( ) 2f x x x= − [1, )x∈ +∞ 1t x= + 1t ≥ 2( 1)x t= − 2 2( ) ( 1) 1 2f t t t t= − − = − 2( ) 2f x x x= − [1, )x∈ +∞ (3, )+∞ 2 2 3t x x= − − 1 2 logy t= 2 2 3 0t x x= − − > 3x > 1x < − 3x > 2 2 3t x x= − − ( )y f x= (3, )+∞ 的值域为 ，则 的取值范围是 . 【答案】 或 【 解 析 】 令 ， 要 使 函 数 的 值 域 为 ， 则 说 明 ， 即 二 次 函 数 的 判 别 式 ， 即 ， 即 ，解得 或 ，所以 的取值范围是 或 . 42【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学（理）】已知 ， ，当 时， ，则当 时， . 【答案】 【解析】由 ，可知函数关于 对称，当 时， ，所以 . 43【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学（理）】定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在 ，满足 ， 则称函数 是 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点，如 是 上的平均值函数，0 就是它的均值点.现有函数 是 上的平均值函 数，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数 是 上的平均值函数，所以 ， 即关于 的方程 ，在 内有实数根，即 ，若 ，方程无解，所以 ，解得方程的根为 或 .所以必有 ， 即 ，所以实数 的取值范围是 ，即 . 44 【 天 津 市 耀 华 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 】 已 知 a>0 ， 且 a 1 ， 若 函 数 有最大值，则不筹式 的解集为 ； 2= + -1+2y x ax a [0,+ )∞ a x R∀ ∈ (1+ )= (1- )f x f x 1x ≥ ( )= ( 1)f x ln x+ <1x ( )=f x ln (3-x) )(xfy = b][ ，a )( 00 bxax << ab afbfxf − −= )()()( 0 )(xfy = b][ ，a 0x 4xy = ]1,1[− 1)( 2 ++−= mxxxf ]1,1[− m 1)( 2 ++−= mxxxf ]1,1[− 4 2 3a ≥ + 4 2 3a ≤ − 2( ) 1 2t g x x ax a= = + − + y t= [0, )+∞ [0, ) { ( )}y y g x+∞ ⊆ = 0∆ ≥ 2 4(2 1) 0a a− − ≥ 2 8 4 0a a− + ≥ 4 2 3a ≥ + 4 2 3a ≤ − a 4 2 3a ≥ + 4 2 3a ≤ − (1 ) (1 )f x f x+ = − 1x = 1x < 2 1x− > ( ) (2 ) ln[(2 ) 1] ln(3 )f x f x x x= − = − + = − (0,2) (1) ( 1) 1 ( 1) f f m − − =− − x 2 1x mx m− + + = ( 1,1)− 2 1 0mx mx m− + − = 0m = 0m ≠ 1 1x = 2 1x m= − 1 1 1m− < − < 0 2m< < m 0 2m< < (0,2) ≠ 2( -2 +3)( )= lg x xf x a 2( -5 +7)>0alog x x 【答案】 【解析】所以 有最小值 2， ，要使函数 有 最 大 值 ， 则 指 数 函 数 单 调 递 减 ， 则 有 ， 由 得 ，即 ，解得 ，即不等式的解集为。 2011-2012 年联考 【2012 浙江宁波市期末文】 函数 的定义域为 . 【答案】 【解析】由题可得 ，解得 。 【2012 安徽省合肥市质检文】若函数 为奇函数，当 时， ，则 的值为 ； 【答案】 【解析】 。 【2012 吉林市期末质检文】下列函数中，在区间（0,1）上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因 A、B 递减，C 在（0,1）递增，D 在（0,1）上先递减后递增，选 C。 【2012 吉林市期末质检文】设函数 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有 ，当 时， ，则 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】由题可知函数的周期为 4，故 。 2log ( 1)y x= − [2, )+∞ 2log ( 1) 0 1 0 x x − ≥  − > 2x ≥ ( )f x 0x ≥ 2( )f x x x= + ( 2)f − 6− ( 2) (2) 6f f− = − = − xy 2 1log= xy 1= xy sin= xxy −= 2 )(xf R R∈x )4()( += xfxf )02( ，−∈x xxf 2)( = )2011()2012( ff − 2 1− 2 1 2− )2011()2012( ff − 1 1(0) ( 1) 0 2 2f f −− − = − = − (2,3) 2 22 3 ( 1) 2 2x x x− + = − + ≥ 2lg( 2 3) lg 2x x− + ≥ ( )f x 0 1a< < 2( -5 +7)>0alog x x 20 5 +7 1x x< − < 2 2 0 5 +7 5 +7 1 x x x x  < − − < 2 3x< < 【2012 江西南昌市调研文】函数 的值域为 ( ) A．[1,+∞) B．(0,1] C．(-∞,1] D．(-∞,1) 【答案】C 【解析】因 ，所以 ，即 ，选 C。 【2012 广东佛山市质检文】下列函数中既是奇函数，又在区间 上是增函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题中选项可知， , 为偶函数，排除 A、C；而 在 R 上 递减，故选 B。 【2012 广东佛山市质检文】对任意实数 ，函数 ，如果函数 ，那么函数 的最大值等于 . 【答案】 【 解 析 】 由 题 可 知 ， 则 在 同 以 坐 标 系 中 画 出 ，数形结合可知 时， 。 【2012 河南郑州市质检文】函数 定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题 ，解不等式得 。 【 2012 河 南 郑 州 市 质 检 文 】 定 义 在 上 的 函 数 ； 当 若 ；则 的大小 关系为（ ） A． B. C. D. 2 2 1 2( ) log xf x += 2 2 21x ≤+ 2 2 1 2 2log log 2x + ≤ ( ) ( ,1]f x ∈ −∞ ( )1,1− y x= siny x= x xy e e−= + 3y x= − y x= x xy e e−= + 3y x= − ba, ( )1( , ) | |2F a b a b a b= + − − 2( ) 2 3,f x x x= − + + ( ) 1g x x= + ( )( ) ( ), ( )G x F f x g x= 3 ( )1( , ) | |2F a b a b a b= + − − , , b a b a a b ≥=  < 2( ) 2 3,f x x x= − + + ( ) 1g x x= + 2x = max( ) 3G x = ( ) x xxf 2log 12 −= ( )+∞,0 ( )+∞,1 ( )1,0 ( ) ( )+∞,11,0  0 1 x x >  ≠ ( ) ( )0,1 1,x∈ +∞ ( )1,1− ( ) ( )       − −=− xy yxfyfxf 1 ( ) ( )1,0 0.x f x∈ − >时 ( )1 1 1, , 05 11 2P f f Q f R f     = + = =           , ,P Q R R Q P> > R P Q> > P R Q> > Q P R> > 【答案】B 【解析】令 ，则可得 ，令 ，则 ，即 为奇函 数 ， 令 ， 则 ， 所 以 ， 即 递减， 又 ， 因 ， 所 以 ，即 ，故选 B。 【2012 北京海淀区期末文】已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） （A） 是偶函数，递增区间是 （B） 是偶函数，递减区间是 （C） 是奇函数，递减区间是 （D） 是奇函数，递增区间是 【答案】C 【解析】因 ，所以 是奇函数， 排除 A、B；又 时 ，在 上递减， 递增， 由奇函数性质可得，C 对。 【2012 广东韶关市调研文】下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知 A 不是单调函数，B 不是奇函数，D 是偶函数，只有 C 满足。 【2012 年西安市高三年级第一次质检文】已知函数 则 =._______ 【答案】-8 【解析】本题主要考查分段函数求值问题. 属于基础知识、基本运算的考查. 0x y= = (0) 0f = 0x = ( ) ( )f y f y− = − ( )f x 1 0x y> > > 01 x y xy − >− ( ) ( ) 01 x yf x f y f xy  −− = < −  ( ) ( )0,1x f x∈ 时 1 1 1 1 1 1 25 11 ( )1 15 11 5 11 71 5 11 P f f f f f f  +        = + = − − = =                 + ×  2 1 7 2 < 2 1( ) ( )7 2f f> 0 P Q> > ( ) 2f x x x x= − ( )f x ( )0,+¥ ( )f x ( ,1)-¥ ( )f x ( )1,1- ( )f x ( ),0-¥ ( ) 2( ) ( | | 2 ) ( )f x x x x x x x f x− = − − − − = − − = − ( ) 2f x x x x= − 0x > 2 2( ) 2 2 ( 1) 1f x x x x x x x= − = − = − − (0,1) (1, )+∞ tany x= 3xy = 1 3y x= lgy x= 3( 1) ( 1 1) 8f − = − − = − 【2012 黄冈市高三上学期期末考试文】函数 ， 则函数 的零点个数有 个。 【答案】 2 【解析】本题主要考查. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ 分别作出 、 的图像，知交点数即零点数为 2 【2012 武昌区高三年级元月调研文】函数 的图象如图所示，给出以下说法： ①函数 的定义域是[一 l，5]； ②函数 的值域是（一∞，0]∪[2，4]； ③函数 在定义域内是增函数； ④函数 在定义域内的导数 其中正确的是 （ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】A 【解析】本题主要考查函数的图像与性质. 属于基础知识的考查. 的定义域中含有 ，①②正确；函数 在定义域内不是增函数，因而③ ④错误。 【2012 武昌区高三年级元月调研文】若 （ ） 2 1 0 ( ) 0 0 , ( ) ( 1)( ) 1 0 x f x x g x x f x x R x > = = = − ∈ − < ( )g x 2 2 1 ( ) 0 1 1 x x g x x x x  > = = − < ( )f x ( )g x ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x= ( ) 0.f x′ > ( )y f x= 3x = ( )y f x= 2 4log 3, (2 2 )x xx −= − =则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题主要考查对数的基本运算以及指数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查. 由 ， ，所以 【2012 厦门期末质检理 10】已知函数 f(x)＝ 则下列结论 正确的是 A.f(x)在(－1,0)上恰有一个零点　　　B. f(x)在(0,1)上恰有一个零点 C.f(x)在(－1,0)上恰有两个零点　 D. f(x)在(0,1)上恰有两个零点 【答案】A 【 解 析 】 因 为 函 数 f(x) ＝ 在 单调增， ，选 A; 【2012 厦门期末质检理 13】定义区间[x1，x2]( x1>+ xx 0,11 ≠≠+ xx ∈x ( 1,0) (0, )− ∪ +∞ ( )f x (0, )+∞ ( ) (1 )f x x x= − ( ,0)−∞ ( )f x ( ) (1 )f x x x= − − ( ) (1 )f x x x= + C． D． 【答案】B 【 解 析 】 因 为 奇 函 数 在 上 的 解 析 式 是 ， 取 【2012 宁德质检理 10】若函数 在给定区间 M 上，存在正数 t，使得对于任意 ， 有 ，且 ，则称 为 M 上的 t 级类增函数，则以下命题正确的 是 （ ） A．函数 上的 1 级类增函数 B．函数 上的 1 级类增函数 C．若函数 上的 级类增函数，则实数 a 的最小值为 2 D．若函数 上的 t 级类增函数，则实数 t 的取值范围为 【答案】D 【 解 析 】 若 上 的 t 级 类 增 函 数 ， 则 恒 成 立 ， 恒 成 立 ， 或 且 ， 解 得 所以 D 正确。 【2012 广东韶关第一次调研理 8】设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 满足 ，均有 ，且 ，则称 为 上的 高调函 数．如果定义域为 的函数 是奇函数，当 时， ，且 为 上的 高调函数，那么实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【 解 析 】 ， 因 为 恒 成 立 ， 由 图 像 得 ， 所 以 ( ) (1 )f x x x= − + ( ) ( 1)f x x x= − ( )f x (0, )+∞ ( ) (1 )f x x x= − ),1()()(,0,0 xxxfxfxx +=−−=>−< ( )f x x M∈ x t M+ ∈ ( ) ( )f x t f x+ ≥ ( )f x 4( ) (1, )f x xx = + +∞是 2( ) | log ( 1) | (1, )f x x= − +∞是 ( ) sin ,2f x ax π = + +∞ 为 3 π [ )2( ) 3 1,f x x x= − +∞为 [ )1,+∞ [ )2( ) 3 1,f x x x= − +∞为 ( ) ( )f x t f x+ ≥ 2 23 3 3 0x tx t+ + − ≥ 2 29 12 36 0t t∆ = − + ≤ 236 3 0 12 t t ∆= − > − <    2 3 0t t+ ≥ ,1≥t ( )f x D m ( )x M M D∀ ∈ ⊆ x m D+ ∈ ( ) ( )f x m f x+ ≥ ( )f x M m R ( )f x 0x ≥ 2 2( )f x x a a= − − ( )f x R 4 a ]1,1[− )1,1(− ]2,2[− )2,2(− { 2 2 2 2 ( 0) ( 0)( ) x a a x a x a xf x − − ≥ − + < = ( 4) ( )f x f x+ ≥ 2 1a ≤ ； 【2012 深圳中学期末理 5】值域为{2,5,10}，其对应关系为 的函数的个数 （ ） A . 1 B. 27 C. 39 D. 8 【答案】B 【解析】解：分别由 解得 由函数 的定义，定义域中元素的选取分四种情况： ○1 取三个元素：有 C21 种 ○2 取四个元素:先从 三组中选取一组 再从剩下的两组中选两个元素 ， 故共有 种； ○3 取五个元素： ＝6 种； ○4 取六个元素：1 种。 由分类计数原理，共有 8＋12＋6＋1＝27 种。 【 2012 深 圳 中 学 期 末 理 6 】 设 函 数 ， 则 满 足 方 程 根的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个 【答案】C 【解析】方法一：详细画出 f（x）和 g（x）在同一坐标系中函数图象，由图 5 中不难看出 有三个交点，故选 C 方法二：①当 时， ，则 ②当 时， ，则 ③当 时， ，则 1 1a− ≤ ≤ 2 1y x= + 2 2 21 2, 1 5, 1 10x x x+ = + = + = 1, 2, 3x x x= ± = ± = ± 81 2 1 2 1 2 =⋅⋅ CCC 1, 2, 3± ± ± 1 3C 1 2 1 2 CC ⋅ 121 2 1 2 1 3 =⋅⋅ CCC 5 6C Nnnnxxxf ∈+∈−= ),1,[,1)( xlog)x(f 2= 0n = )1,0[x,1)x(f ∈−= )1,0[2 1x1xlog2 ∈=⇒−= 1n = )2,1[x,0)x(f ∈= )2,1[1x0xlog2 ∈=⇒= 2n = )3,2[x,1)x(f ∈= )3,2[2x1xlog2 ∈=⇒= ④当 时， ，则 ⑤当 时， ，则 由此下区 x 的解成指数增长，而区间成正比增长，故以后没有根了！所以应选 C。 【 2012 海 南 嘉 积 中 学 期 末 理 12 】 规 定 表 示 两 个 数 中 的 最 小 的 数 ， ，若函数 的图像关于直线 对称，则 的值是（ ） A、-1　　　 B、1　　 C、-2　　 D、2 【答案】B 【解析】 的图像关于直线 对称， ， 2010 年联考 题组二 一、填空题 1. （安徽两地三校国庆联考）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图 像上所有点 （ ） A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 答案 C 2．（昆明一中四次月考理）下列四个函数① ；② ；③ ；④ 中，奇函数的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答案：C 3n = )4,3[x,2)x(f ∈= )4,3[4x2xlog2 ∉=⇒= 4n = )5,4[x,3)x(f ∈= )5,4[8x3xlog2 ∉=⇒= • min{ , }a b ,a b min{ , } a a ba b b b a ì £ïï=íï <ïî ( ) min{ , }f x x x t= + 1 2x =- t ( ) min{ , }f x x x t= + 1 2x =- { }( ) min , 1f x x x= + 1t = 3lg 10 xy += lgy x= 3 1y x= + sin3y x= 2y x x = + 2 x xe ey −−= 3．（昆明一中二次月考理）已知 ，则“ ”是 “ ”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：A 4．（玉溪一中期中理）已知函数 连续，则常数 的值是（　　） Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５ 答案：B 5．（玉溪一中期中理）函数 的图象恒过定点 ， 若点 在直线 上，其中 m,n 均大于 0,则 的最小值为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 答案：C 6.（祥云一中月考理） 函数 的反函数的图象经过点 ，则 的值是 （ ） A． B． C．2 D．4 答案：B 7．（祥云一中三次月考理）函数 在 内单调递减，则 的范围是 A． B. C． D． 答案：C 二、填空题 2 2 log ( 2 ) ( ) 24 ( 22 a x x f x xx xx + ≥= = − < − 当 时 在点 处 当 时） a log ( 3) 1ay x= + − ( 0 1)a a> ≠且， A A 1 0mx ny+ + = n 2 m 1 + 1)( −= xaxf )2,4( )2(1−f 2 1− 2 3 ( ) ( ) ( )   ≥ <+−= 1log 1382 2 xx xaxxxf a Rx ∈ a     2 1,0 )1,2 1[     8 5,2 1      1,8 5 1. （安徽两地三校国庆联考）函数 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 上，其中 ，则 的最小值为 . 答案 8 2．（肥城市第二次联考）某同学在借助计算器求“方程 lgx=2－x 的近似解（精确到 0.1）” 时，设 f(x)=lgx＋x－2，算得 f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了 4 个 x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 x≈1.8．那么他再取的 x 的 4 个值分别依次是 ． 答案 1．5，1．75，1．875，1．8125； 3. （ 祥 云 一 中 二 次 月 考 理 ） 函 数 在 上 的 值 域 为 答案： 4. （ 祥 云 一 中 二 次 月 考 理 ） 已 知 函 数 ， 它 的 反 函 数 为 ， 则 答案：4 三、解答题 1.(本小题满分 14 分) 已知 R,函数 R, 为自然对数的底数). （Ⅰ）当 时,求函数 的单调递增区间; （Ⅱ）若函数 在 上单调递增,求 的取值范围; （Ⅲ）函数 是否为 R 上的单调函数，若是，求出 的取值范围；若不是，请说明理由. 解: (Ⅰ) 当 时, , . …1 分 令 ,即 , . 解得 . ( ) )1,0(13log ≠>−+= aaxy a 01 =++ nymx 0>mn nm 21 + 1762 2 1 +−     = xx y [ ]1,3−∈x .__________________     1244 2 1,2 1 xxf 8log)( = )(1 xf − .________________)3 2(1 =−f a∈ ( ) ( )2 xf x x ax e= − + (x∈ e 2a = ( )f x ( )f x ( )1,1− a ( )f x a 2a = ( ) ( )2 2 xf x x x e= − + ( ) ( ) ( )2 2( ) 2 2 2 2x x xf x x e x x e x e′∴ = − + + − + = − + ( ) 0f x′ > ( )2 2 0xx e− + > 20, 2 0xe x> ∴− + > 2 2x− < < 函数 的单调递增区间是 . …… 4 分 (Ⅱ) 函数 在 上单调递增, 对 都成立, , 对 都成立. …… 5 分 对 都成立, …… 6 分 即 对 都成立. 令 ,则 . 在 上单调递 增. . . …… 9 分 (Ⅲ) 若函数 在 R 上单调递减,则 对 R 都成立, 即 对 R 都成立, 对 R 都成立. ,即 ,这是不可能的. 故函数 不可能在 R 上单调递减. …… 11 分 若函数 在 R 上单调递增,则 对 R 都成立, 即 对 R 都成立, 对 R 都成立. 而 , 故函数 不可能在 R 上单调递增. …… 13 分 综上可知函数 不可能是 R 上的单调函数. …… 14 分 ∴ ( )f x ( )2, 2−  ( )f x ( )1,1− ( ) 0f x′∴ ≥ ( )1,1x∈ − ( ) ( ) ( )2 2( ) 2 2x x xf x x a e x ax e x a x a e′  = − + + − + = − + − +  ∴ ( )2 2 0xx a x a e − + − +  ≥ ( )1,1x∈ − ( )20, 2 0xe x a x a> ∴− + − + ≥ ( )1,1x∈ − ( ) ( ) 22 1 12 111 1 1 xx xa xx x x + −+ = = + −+ + +≥ ( )1,1x∈ − ( ) 11 1y x x = + − + ( )2 11 0 1 y x ′ = + > + ( ) 11 1y x x ∴ = + − + ( )1,1− ( ) 1 31 1 1 1 2y∴ < + − =+ 3 2a∴ ≥ ( )f x ( ) 0f x′ ≤ x∈ ( )2 2 0xx a x a e − + − +  ≤ x∈ 0,xe > ∴ ( )2 2 0x a x a− − − ≥ x∈ ( )22 4 0a a∴∆ = − + ≤ 2 4 0a + ≤ ( )f x ( )f x ( ) 0f x′ ≥ x∈ ( )2 2 0xx a x a e − + − +  ≥ x∈ 0,xe > ∴ ( )2 2 0x a x a− − − ≤ x∈ ( )2 22 4 4 0a a a∆ = − + = + > ( )f x ( )f x 题组一（1 月份更新） 一、选择题 1.（2009 玉溪市民族中学第四次月考）已知函数 ，则 的反 函数是 ----------（ ） A． B． C． D． 答案 A 2.（2009 聊城一模）已知函数 上的奇函数， 当 x>0 时， 的大致图象为 （ ） 答案 B 3.（2009 番禺一模）已知函数 若 ，则 （ ） A． B． C． 或 D．1 或 答案 C 4.（2009 临沂一模）已知函数 f(x)= ，若 x0 是方程 f(x)=0 的解，且 0+= xxxf )(xf )2(2)( 21 <= −− xxf x )2(2)( 21 >= −− xxf x )2(2)( 21 <= −− xxf x )2(2)( 21 >= −− xxf x ),0()0,()(,4)( 2 +∞∪−∞−= 是定义在xgxxf )()(,log)( 2 xgxfyxxg ⋅== 则函数 2log , 0, ( ) 2 , 0.x x x f x x >=  ≤ 1( ) 2f a = a = 1− 2 1− 2 2− 3 1( ) log5 x x− A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C．单凋递增的偶函数 D．单涮递增的奇函数 答案 B 6. （ 2009 临 沂 一 模 ） 设 f(x) 是 连 续 的 偶 函 数 ， 且 当 x >0 时 是 单 调 函 数 ， 则 满 足 f(2x)=f( )的所有 x 之和为 A、 B、 C、－8 D、8 答案 C 7. （ 2009 云 南 师 大 附 中 ） 若 函 数 A. B. C. D. 答案 B 8. （ 2009 青 岛 一 模 ） 设 奇 函 数 在 上 为 增 函 数 ， 且 ， 则 不 等 式 的解集为 A． B． C． D． 答案 D 9.（2009 日照一模）（6）函数 的零点一定位于区间 A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 答案 A 10.（2009 日照一模）（函数 的图象如右图所示，则函数 的图象大致是 答案 C 11.（2009 泰安一模）已知函数 y=f(x)与 互为反函数，函数 y=g(x)的图像与 y=f(x)图 1 4 x x + + 9 2 − 7 2 − ( ) ( )2 2xy e y f x y x f x+= = = =与函数 的图象关于直线 对称，则 ( )ln 1x − ln 1x − ( )ln 1x + ln 1x + ( )f x (0 )+ ∞， (1) 0f = ( ) ( ) 0f x f x x − − < ( 1 0) (1 )− + ∞， ， ( 1) (01)−∞ − ， ， ( 1) (1 )−∞ − + ∞， ， ( 1 0) (01)− ， ， 3 2( ) ln 2f x x π= − ( )y f x= 1 2 log ( )y f x= xy e= 像关于 x 轴对称，若 g(a)=1,则实数 a 值为 （A）-e (B) (C) (D) e 答案 C 12.（2009 江门一模）函数 的定义域是 A. B. C. D. 答案 C 13.（2009 枣庄一模）已知 则关于右图中函数图象的表述正确的 是 （ ） A．是 的图象 B．是 的图象 C．是 的图象 D．以上说法都不对 答案 D 14.（2009 枣庄一模）设函数 （ ） A．3 B．4 C．7 D．9 答案 C 15.（2009 深圳一模）若函数 的图象如右图，其中 为常数．则函数 的大致图象是 1 e − 1 e )12lg( 23 1 −+ − = x x y      ∞+,3 2      ∞+,2 1      ∞+,3 2      3 2,2 1 , ]1,0[,1 )0,1[,1)( 2   ∈+ −∈+= xx xxxf )1( −xf )( xf − |)(||)(| xfxf 或 =−    >− ≤≤−− <+− = ))5)2 5(((, )2(12 )21(3 )1(12 )( fff xx x xx xf 则 )(log)( bxxf a += ba, baxg x +=)( 1− 1 1− 1 y o x A． B． C． D． 答案 D 二、填空题 1.（2009 青岛一模）定义：区间 的长度为 .已知函数 的定义 域为 ，值域为 ，则区间 的长度的最大值与最小值的差为_________. 答案 1 2.（2009 冠龙高级中学 3 月月考）已知函数 ，若 ， 则实数 的取值范围是 。 答案 3.（2009 闵行三中模拟）若函数 的值域是 ，则函数 的 值域是 答案 4.（2009 上海普陀区）已知函数 ， 是 的反函 数，若 的图像过点 ，则 . 答案 2 5.（2009 上海十校联考）已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是________________． 答案 6.（2009 上海卢湾区 4 月模考）（2009 上海卢湾区 4 月模考）设 的反函数为 ， 若函数 的图像过点 ，且 ， 则 ． [ ]( )1 2 1 2,x x x x< 2 1x x− | |2 xy = [ ],a b [ ]1,2 [ ],a b 2( )f x x x= − ( )( )3log 1 (2)f m f+ < m 8( ,8)9 − ( )y f x= 1[ ,3]2 1( ) ( ) ( )F x f x f x = + 10[2, ]3 )10(log1)( ≠>+= aaxxf a 且 )(1 xf − )(xf )(1 xfy −= (3,4) a = ( ) ( )2 3 1f x mx m x= + − + [0, )+∞ m [ ] [ )0,1 9,+∞ f x( ) 1( )f x− f x( ) (1,2) 1 2 1 1f x( )− + = x = 1− 1 1− 1 y o x 1− 11− 1 y o x 1− 1 1− 1 y o x1− 11− 1 y o x 答案 7.（2009 宣威六中第一次月考）已知函数 ，则函数 f(x)的最 小值是 答案 0 三、解答题 1、（2009 聊城一模）已知函数 在区间[－1，1] 上最大值为 1，最小值为－2。 （1）求 的解析式； （2）若函数 在区间[－2，2]上为减函数，求实数 m 的取值范围。 解：（1） （2） 由 ， 知 ， 即 2、（2009 昆明市期末）已知函数 ，若 x=0，函数 f(x)取得极值 1 2 ( ) ln( 1) 1( 0)xf x e x x= − + − ≥ )1,,(2 3)( 23 >+−= ababaxxxf 且为实数 )(xf mxxfxg −= )()( ,33)(' 2 axxxf −= ,12)( 23 +−+= mxxxxg .43)(' 2 mxxxg −−= [ ]上为减函数在 2,2)( −xg [ ] .2,20)(' 上恒成立在 −∈≤ xxg    ≤ ≤−∴ 0)2(' 0)2(' g g    ≤− ≤− 04 020 m m .20≥∴m .20≥∴ mm的取值范围是实数 1)(ln)( −+−= mxexf x [ ] [ ] .12)( .3 4,22 3)1( ),1()1(,2 32)1(,2 3)1( ,1)0( .1,0,0,1)( ,1 ,,0,0)(' 23 21 上为减函数在上为增函数在 得令   +−=∴ =−=−=−∴ <−∴−=−=− ==∴ −∴ > === xxxf aaf ffafaf bf xf a axxxf （Ⅰ）求函数 f(x)的最小值； （Ⅱ）已知 证明： . 解：（Ⅰ） 由 x=0 是极值点，故 ,得 故 m=1. 故 当 -1＜x＜0 时， 函数在（-1，0）内是减函数； 当 x＞0 时， 函数 f(x)在（0，+∞）内是增函数。 所 以 x=0 时 ， f(0)=0 ， 则 函 数 f(x) 取 得 最 小 值 为 0.·························6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)≥0，故 ex-1≥ln(x+1)。 ∵ ①··············8 分 又 = 故 ······························· ·················10 分 故 ② 由 ① ② 得 ································ ···········12 分 3、（2009 临沂一模）设函数 f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a. （I） 当 a=0 时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数 m 的取值范围; （II） 当 m=2 时，若函数 k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数a 的 ,0 ab ≤≤ 1 1ln1 + +−− b ae ba ＞ ,1)(' mxexf x +−= 0)0(' =f .00 10 =+− me )1(1)1(ln)( −−+−= ＞xxexf x ,01 1)(' ＜+−= xexf x ,01 1)(' ＞+−= xexf x )1(ln1010 +−−≠−−−∴≥ − baebababa ba ＞故且＞＞ 1 )1()1)(1( 1 1)1( + +−++−=+ +−+− b abba b aba ,01 )( 1 2 ≥+ −=+ − b bab b bab .1 1)1( + +≥+− b aba .1 1ln)1ln( + +≥+− b aba 1 1ln1 + +−− b ae ba ＞ 取值范围; （III） 是否存在实数 m，使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？ 若存在，求出 m 的值，若不存在，说明理由。 解：（1）由 a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即 记 ，则 f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 . 求得 当 时; ;当 时， 故 在 x=e 处取得极小值，也是最小值， 即 ，故 . （2）函数 k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a，在 ［1,3］上恰有两个相异实根。 令 g(x)=x-2lnx,则 当 时， ,当 时， g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在 上是单调递增函数。 故 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3 ∵g(1)>g(3),∴只需 g(2)0，解得 x> 或 x<- （舍去） 故 时，函数的单调递增区间为( ,+∞) ln xm x ≤ ln x x ϕ = min( )m xϕ≤ 2 ln 1'( ) ln xx x ϕ −= (1, )x e∈ '( ) 0xϕ < ( , )x e∈ +∞ '( ) 0xϕ > ( )xϕ min( ) ( )x e eϕ ϕ= = m e≤ 2'( ) 1g x x = − [1,2)x∈ '( ) 0g x < (2,3]x∈ '( ) 0g x > (2,3] min( ) (2) 2 2ln 2g x g= = − 1 2 2 min 2'( ) 2 m x mf x x x x −= − = 0m ≤ ( )' 0f x ≥ 0m > ( )' 0f x > 2 m 2 m 0m > 2 m 单调递减区间为(0, )而 h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0, )，单调递增区间是 ( ，+∞) 故只需 = ，解之得 m= 即当 m= 时，函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义域上具有 相同的单调性。 4、（2009 东莞一模）已知 ， ， . （1）当 时，求 的单调区间； （2）求 在点 处的切线与直线 及曲线 所围成的封闭图形的面积； （3）是否存在实数 ，使 的极大值为 3？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理 由. 解：（1）当 .…（1 分） ……（3 分） ∴ 的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为： ， . ……（4 分） （2）切线的斜率为 ， ∴ 切线方程为 .……（6 分） 所求封闭图形面积为 . ……（8 分） （3） ， ……（9 分） 令 . ……（10 分） 列表如下： x (－∞，0) 0 （0，2－a） 2－a (2－a，+ ∞) － 0 + 0 － 2 m 1 2 1 2 2 m 1 2 1 2 1 2 2( ) ( 2, )f x x ax a a x R= + + ≤ ∈ ( ) xg x e−= ( ) ( ) ( )x f x g xΦ = ⋅ 1a = ( )xΦ ( )g x (0,1) 1x = ( )g x a ( )xΦ a 2 21 , ( ) ( 1) , '( ) ( )x xa x x x e x e x x− −= Φ = + + Φ = − +时 '( ) 0 ,0 1; '( ) 0 , 1 0.x x x x xΦ > < < Φ < > <当 时 当 时 或 ( )xΦ ( ,0)−∞ (1, )+∞ 0'(0) | 1x xk g e− == = − = − 1y x= − + 1 1 2 1 00 0 1 1 1[ ( 1)] ( 1) ( ) |2 2 x x xS e x dx e x dx e x x e − − −= − − + = + − = − + − = −∫ ∫ 2 2'( ) (2 ) ( ) [ (2 ) ]x x xx x a e e x ax a e x a x− − −Φ = + − + + = − + − '( ) 0, 0 2x x x aΦ = = = −得 或 '( )xΦ ↘ 极小 ↗ 极大 ↘ 由表可知， . ……（12 分） 设 ， ∴ 上是增函数，……（13 分） ∴ ，即 ， ∴不存在实数 a，使 极大值为 3. ……（14） 5、（2009 茂名一模）已知 ，其中 是自然常数， （Ⅰ）讨论 时, 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下， ; （Ⅲ）是否存在实数 ，使 的最小值是 3，若存在，求出 的值；若不存在，说明理 由. （Ⅰ） ， ……1 分 ∴当 时， ，此时 单调递减 当 时， ，此时 单调递增 ……3 分 ∴ 的极小值为 ……4 分 （ Ⅱ ） 的 极 小 值 为 1 ， 即 在 上 的 最 小 值 为 1 ， ∴ ， ……5 分 令 ， ， ……6 分 当 时， ， 在 上单调递增 ……7 分 ∴ ∴ 在 （ 1 ） 的 条 件 下 ， ……9 分 （Ⅲ）假设存在实数 ，使 （ ）有最小值 3， ( )xΦ 2( ) (2 ) (4 ) ax a a e −Φ = Φ − = −极大 2 2( ) (4 ) , '( ) (3 ) 0a aa a e a a eµ µ− −= − = − > ( ) ( ,2)aµ −∞在 ( ) (2) 2 3aµ µ≤ = < 2(4 ) 3aa e −− ≠ ( )xΦ x xxgexxaxxf ln)(],,0(,ln)( =∈−= e .a R∈ 1=a ( )f x 1( ) ( ) 2f x g x> + a ( )f x a  xxxf ln)( −= x x xxf 111)( −=−=′ 10 << x / ( ) 0f x < ( )f x ex <<1 / ( ) 0f x > ( )f x ( )f x 1)1( =f  ( )f x ( )f x ],0( e 0)( >xf min( ) 1f x = 2 1ln 2 1)()( +=+= x xxgxh x xxh ln1)( −=′ ex <<0 0)( >′ xh ( )h x ],0( e minmax |)(|12 1 2 1 2 11)()( xfeehxh ==+<+== 1( ) ( ) 2f x g x> + a xaxxf ln)( −= ],0( ex ∈ / 1( )f x a x = − …9 分 ① 当 时， 在 上单调递减， ， （舍 去），所以， 此时 无最小值. ……10 分 ②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 ， ，满足条件. ……11 分 ③ 当 时， 在 上单调递减， ， （舍 去），所以，此时 无最小值.综上，存在实数 ，使得当 时 有最 小值 3. 6、（2009 昆明一中第三次模拟）已知 （1） 若函数 是 上的增函数，求 的取值范围； （2） 若 ，求 的单调增区间 解：（Ⅰ） ， 是 上的增函数，故 在 上恒成立， 即 在 上恒成立 的最小值为 ，故知 a 的取值范围是 （2） 由 ，得 ， ①当 时， ，即函数 在 上单调递增； 时，由判别式 可知 ②当 时，有 ， 即函数 在 上单调递增; x ax 1−= 0≤a )(xf ],0( e 31)()( min =−== aeefxf ea 4= )(xf ea << 10 )(xf )1,0( a ],1( ea 3ln1)1()( min =+== aafxf 2ea = ea ≥1 )(xf ],0( e 31)()( min =−== aeefxf ea 4= )(xf 2ea = ],0( ex ∈ ( )f x ( ) ( ) ( )2ln 1 2f x x ax= + − − ( )f x R a 1a < ( )f x ( ) 2 2 1 xf x ax ′ = −+ ( )f x R ( ) 2 2 01 xf x ax ′ = − ≥+ R 2 2 1 xa x ≤ + R ( ) 2 2 1 xg x x = + 1− ( ], 1−∞ − ( ) 2 2 2 2 2 1 1 x ax x af x ax x − +′ = − = −+ + ( ) 0f x′ > 2 2 0ax x a− + < 0a = ( ) 0 0f x x′ > ⇒ > ( )f x ( )0,+∞ 0a ≠ ( )( )24 4 4 1 1a a a∆ = − = − + − 0 1a< < ( ) 2 21 1 1 10, 0 a af x xa a − − + −′∆ > > ⇒ < < ( )f x 2 21 1 1 1( , )a a a a − − + + ③当 时，有 或 ， 即函数 在 上单调递增 7、 解: (1) ,两边加 得: , 是 以 2 为 公 比 , 为 首 项 的 等 比 数 列 . ……① 由 两边减 得: 是以 为公比, 为首项的等比数列. ……② ①-②得: 所以,所求通项为 …………5 分 (2) 当 为偶数时, 当 为奇数时, , ,又 为偶数 由(1)知, ……………………10 分 （3）证明： 又 1 0a− < < ( ) 21 10, 0 af x x a + −′∆ > > ⇒ < 21 1 ax a − −> ( )f x 2 21 1 1 1( , ),( , )a a a a + − − −−∞ +∞ 1 12n n na a a+ −= + na 1 12( ) ( 2)n n n na a a a n+ −+ = + ≥ 1{ }n na a+∴ + 1 2 4a a+ = 1 1 4 2 2 2n n n na a − +∴ + = =  1 12n n na a a+ −= + 2 na 1 12 ( 2 ) ( 2)n n n na a a a n+ −− = − − ≥ 1{ 2 }n na a+∴ − 1− 2 12 2a a− = − 1 1 2 2 ( 1) 2 ( 1)n n n na a − +∴ − = − − = −  3 2[2 ( 1) ]n n na = − − 2[2 ( 1) ]3 n n na = − − n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 2 2[ ]2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 3 2 2 3 2 2 3 1 1( )( 2)2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a n − − − − + − − − − − − ++ = + =+ − + − − + += < = + ≥+ −       2 1 2 111 1 1 3 1 1 1 3 12... (1 ... ) 3 3 312 2 2 2 2 21 2 n n n na a a − ∴ + + + < + + + + = = − < −  n 2[2 ( 1) ] 03 n n na = − − > 1 1 10, 0n n a a+ + ∴ > > 1n + ∴ 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1... ... 3 n n na a a a a a a + + + + < + + + + < 2( 1) ( ) ( ) 0f n f n f n+ − = ≥ ( 1) ( ), ( 1) ( ) ( 1) (1) 2 0f n f n f n f n f n f∴ + ≥ ∴ + ≥ ≥ − ≥ ⋅⋅⋅ ≥ = > 2 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( )[ ( ) 1] ( ) ( ) 1f n f n f n f n f n f n f n = = = −+ + + + ……12 分 …………14 分 8、（2009 深圳一模）已知函数 （ ， ）． （Ⅰ）求函数 的单调递增区间； （Ⅱ）若不等式 对一切正整数 恒成立，求实数 的取值范 围． 解：（Ⅰ） ………………… 2 分 ， 由 ，得 ． ， ， ． 又 ． 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 , 递 减 区 间 为 ． ………… 6 分 （Ⅱ）【法一】不等式 ，即为 ．…………… （※） 令 ，当 时， ． 则不等式（※）即为 ． …………………9 分 令 ， ， 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( 1)f n f n f n ∴ = −+ + 1 1 1 1 1 1 1 1[ ] [ ] [ ]( ) 1 (1) (2) (2) (3) ( ) ( 1) 1 1 1 1 .(1) ( 1) (1) 2 n k f k f f f f f n f n f f n f = ∴ = − + − +⋅⋅⋅+ −+ + = − < =+ ∑ 2)21ln()( xxaxf −+= 0>a ]1,0(∈x ( )f x )21ln(1 22 nnn +≥+ λ n λ xax axf 21)( −+=′ ax axax + +−−= 1 22 2 022 2 =+−− axax a ax 2 121 2 +±−= 0>a 02 121 2 <+−−∴ a a 02 121 2 >++− a a 1 1122 121 2 2 < ++ =++− a a a a  ∴ ( )f x )2 112,0( 2 a a −+ )1,2 112( 2 a a −+ )21ln(1 2 nn +≥+ λ 2 1)21ln( nn −+≥λ xn =1 ∗∈ Nn ]1,0(∈x 2)21ln( xx −+≥λ 2)21ln()( xxxg −+= (0,1]x∈ 在 的表达式中，当 时， ， 又 时， ， 在 单调递增，在 单调递减． 在 时，取得最大，最大值为 ． …………………12 分 因此，对一切正整数 ，当 时， 取得最大值 ． 实数 的取值范围是 ． ………………………… 14 分 【法二】不等式 ，即为 ．………………（※） 设 ， ， 令 ，得 或 ． ………………………… 10 分 当 时， ，当 时， ． 当 时， 取得最大值 ． 因此，实数 的取值范围是 ． ………………………… 14 分 9、（2009 湛江一模）已知函数 .（ ） （Ⅰ）当 时，求 在区间[1，e]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数 的图象恒在直线 下方，求 的取值范 围． 解：（Ⅰ）当 时， ， ；………………2 分 对于 [1，e]，有 ，∴ 在区间[1，e]上为增函数，…………3 分 ∴ ， .……………………………5 分  )(xf 2=a )(xf )(xg=  2=a 2 1 2 121 2 =++− a a ∴ )(xg )2 1,0( )1,2 1( )(xg 2 1=x 4 12ln)2 1( −=g n 2=n 2 1)21ln( nn −+ 4 12ln − ∴ λ 4 12ln −≥λ )21ln(1 2 nn +≥+ λ 2 1)21ln( nn −+≥λ 2 1)21ln()( xxxg −+= )1( ≥x )2( 4222 1 2 )( 3 2 32 2 + ++−=++ − =′ xx xx x xxg x 0)( =′ xg 1−=x 2=x  )2,1(∈x 0)( >′ xg ),2( ∞+∈x 0)( <′ xg ∴ 2=x )(xg 4 12ln − λ 4 12ln −≥λ xxaxf ln)2 1()( 2 +−= Ra ∈ 1=a )(xf )(xf axy 2= a 1=a xxxf ln2 1)( 2 += x x xxxf 11)( 2 +=+=′ ∈x 0)( >′ xf )(xf 21)()( 2 max eefxf +== 2 1)1()(min == fxf （Ⅱ）令 ，则 的定义域为（0，+∞）. ……………………………………………6 分 在区间（1，+∞）上，函数 的图象恒在直线 下方等价于 在区 间（1，+∞）上恒成立. ∵ ① 若 ，令 ，得极值点 ， ，………………8 分 当 ，即 时，在（ ，+∞)上有 ， 此时 在区间( ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有 ∈( ，+∞)，不合题意；………………………………………9 分 当 ，即 时，同理可知， 在区间(1，+∞)上，有 ∈( ，+∞)，也不合题意；………………………………………10 分 ② 若 ，则有 ，此时在区间(1，+∞)上恒有 ， 从而 在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………12 分 要使 在此区间上恒成立，只须满足 ， 由此求得 的范围是[ ， ]. 综合①②可知，当 ∈[ ， ]时，函数 的图象恒在直线 下方. ………………………………………………14 分 2009 年联考题 一、选择题 1.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)函数 的反函数 的图象 是 （ ） xaxxaaxxfxg ln2)2 1(2)()( 2 +−−=−= )(xg )(xf axy 2= 0)( a 0)( =′ xg 11 =x 12 1 2 −= ax 112 => xx 12 1 << a 2x 0)( >′ xg )(xg 2x )(xg )( 2xg 112 =< xx 1≥a )(xg )(xg )1(g 2 1≤a 012 ≤−a 0)( <′ xg )(xg 0)( x xx x 2 1 2 k D ( )2121, xxxx ≠ ( ) ( ) 2121 xxkxfxf −≤− ( )xf D ( ) ( )1≥= xxxf k 2 1 )](,[ 2121 xxxx < 12 xx − |log|)( 2 1 xxf = ],[ ba ]2,0[ ],[ ba 2 2 1( ) log ( 1) xf x x − −= − [3, )+∞ a bxf x x + +−= +12 2)( Rt ∈ 0)2()2( 22 <−+− ktfttf )(xf 1,02 1,0)0( ==+ +−= ba bf 解得即 .2 12)( 1 axf x x + +−= + aaff + +− −=+ +−−−= 1 12 1 4 12)1()1( 知 2=a ,12 1 2 1 22 12)( 1 ++−=+ +−= + xx x xf )(xf )(xf 0)2()2( 22 <−+− ktfttf ).2()2()2( 222 ktfktfttf +−=−−<− )(xf .22 22 kttt +−>− ,023 2 >−−∈ kttRt 有 3 1,0124 −<<+=∆ kk 解得 ,22 12)( 1 + +−= +x x xf 又由题设条件得 即 整理得 ，因底数 2>1，故 上式对一切 均成立，从而判别式 14.（2009 广东三校一模）设函数 . (1)求 的单调区间; (2)若当 时,(其中 )不等式 恒成立,求实数 的 取值范围; (3)试讨论关于 的方程: 在区间 上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为 . 1 分 由 得 ; 2 分 由 得 , 3 分 则增区间为 ,减区间为 . 4 分 (2)令 得 ,由(1)知 在 上递减,在 上 0 22 12 22 12 12 2 12 2 2 2 2 2 < + +−+ + +− +− − +− − kt kt tt tt 0)12)(22()12)(22( 2222 212212 <+−+++−+ −+−−+− ktttttkt 12 23 2 >−− ktt 023 2 >−− ktt Rt ∈ .3 1,0124 −<<+=∆ kk 解得 ( ) ( ) ( )xxxf +−+= 1ln21 2 ( )xf     −−∈ 1,11 eex 718.2=e ( ) mxf < m x ( ) axxxf ++= 2 [ ]2,0 ( ),,1 +∞− ( ) ( ) ( ) 1 22 1 112 + +=    +−+=′ x xx xxxf ( ) 0>′ xf 0>x ( ) 0<′ xf 01 <<− x ( )+∞,0 ( )0,1− ( ) ( ) ,01 22 =+ +=′ x xxxf 0=x ( )xf     − 0,11 e [ ]1,0 −e