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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题
高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.
真 题 感 悟
1.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(－1，3) B.(－1，)
C.(0，3) D.(0，)
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由题设知＝，①
又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.
答案 B
3.(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
答案 6
4.(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(1)解 设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，
由＝得x0＝x，y0＝y，
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明 由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，
由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2.故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥，
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
考 点 整 合
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).
温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；
(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).
3.圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.
②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.
4.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交的弦长
设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝.
(2)过抛物线焦点的弦长
抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
热点一 圆锥曲线的定义及标准方程
【例1】 (1)(2017·汕头调研)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.＋1
(2)(2017·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 (1)由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1，0)，又N(1，0)，所以N与F重合.
过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，
交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.
(2)由e＝知a＝b，且c＝a.
∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
又kPF＝＝＝1，∴c＝4，则a2＝b2＝＝8.
故双曲线方程为－＝1.
答案 (1)A (2)B
探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.
2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________.
解析 (1)依题意得＝，①
又a2＋b2＝c2＝5，②
联立①②得a＝2，b＝1.
∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.
又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，
所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝.
答案 (1)A (2)
热点二 圆锥曲线的几何性质
【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.
解析 (1)不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点F(c，0)，则直线l的方程为＋＝1，
即bx＋cy－bc＝0.
由题意＝b，且a2＝b2＋c2，
得b2c2＝b2a2，所以e＝＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程：消去x得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝p，
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴p＝p，即＝⇒＝.
∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
答案 (1)B (2)y＝±x
探究提高 1.分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.
2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3.求双曲线渐近线方程关键在于求或的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
【训练2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析 (1)以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即＝.
∴e＝＝＝＝＝.
(2)取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC
为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2，
又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案 (1)A (2)2
热点三 直线与圆锥曲线
命题角度1 直线与圆锥曲线的位置关系
【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
解 (1)如图，由已知得M(0，t)，P，
又N为M关于点P的对称点，故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝，因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.
探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N，H的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断.
2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.
【训练3】 (2016·江苏卷改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标.
解 (1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为.
由点在直线l：x－y－2＝0上，
得－0－2＝0，即p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)当p＝1时，曲线C：y2＝2x.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0).
因为点P和Q关于直线l对称，
所以直线l垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为－1，设其方程为y＝－x＋b.
由消去x，得y2＋2y－2b＝0.
因为P和Q是抛物线C的两相异点，得y1≠y2.
从而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(*)
因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1.
又M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.
所以点M(1，－1)，此时b＝0满足(*)式.
故线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).
命题角度2 直线与圆锥曲线相交弦长问题
【例3－2】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b≥1)过点P(2，1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值.
解 (1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2.
又＋＝1，∴a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y得x2＋2mx＋2m2－4＝0，
判别式Δ＝16－4m2＞0，即m2＜4.
又x1＋x2＝－2m，x1·x2＝2m2－4，
则|AB|＝×
＝，
点P到直线l的距离d＝＝.
因此S△PAB＝d|AB|＝××
＝≤＝2，当且仅当m2＝2时上式等号成立，
故△PAB面积的最大值为2.
探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.
2.弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长|AB|＝·，其中k为弦AB所在直线的斜率.
命题角度3 有关弦的中点问题
【例3－3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
解 由题意可知F，
设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，
且A，B，P，Q，
R.
(1)证明 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
因为点F在线段AB上，所以ab＋1＝0，
记直线AR的斜率为k1，直线FQ的斜率为k2，
所以k1＝，k2＝＝－b，又因为ab＋1＝0，
所以k1＝＝＝＝＝－b，
所以k1＝k2，即AR∥FQ.
(2)解 设直线AB与x轴的交点为D(x1，0)，
所以S△ABF＝|a－b||FD|＝|a－b|，
又S△PQF＝，
所以由题意可得S△PQF＝2S△ABF，即＝2××|a－b|·，
解得x1＝0(舍)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y).
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1).
又＝，所以y2＝x－1(x≠1).
当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.
探究提高 1.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.
2.圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k＝－，k＝，
k＝(抛物线y2＝2px).其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标.
【训练4】 (2017·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点.
(1)解 把P(1，1)代入y2＝2px，得p＝，
所以抛物线C的方程为y2＝x，
焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明 当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.
由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).
由消去y得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.
考虑Δ＝(4k－4)2－4×4k2＝16(1－2k)，
由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k<.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1).
直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.
因为y1＋－2x1＝
＝
＝
＝＝0.
所以y1＋＝2x1.
故A为线段BM的中点.
1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的常数，A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB＜0时表示双曲线.
2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.
3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算e＝；方法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.
4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.
5.求中点弦的直线方程的常用方法
(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程，
两式作差，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；
(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A. B.1 C. D.2
解析 因为抛物线方程是y2＝4x，所以F(1，0).
又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2.
答案 D
2.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A. B. C. D.
解析 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，
将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.
又A的坐标是(1，3)，
故△APF的面积为×3×(2－1)＝.
答案 D
3.(2017·新乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 设A(x，y)，∵右焦点为F(c，0)，点B(0，b)，线段BF与双曲线C的右支交于点A，且＝2，
∴x＝，y＝，
代入双曲线方程，得－＝1，且c2＝a2＋b2，
∴b＝.
∵||＝4，∴c2＋b2＝16，∴a＝2，b＝，
∴双曲线C的方程为－＝1.
答案 D
4.(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
解析 设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为＝，
又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.
答案 A
5.(2017·石家庄三模)已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，则双曲线C2的渐近线方程为( )
A.x±y＝0 B.x±y＝0
C.x±y＝0 D.x±2y＝0
解析 设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，双曲线C2：－＝1，依题意c1＝c2＝c，且＝，
∴＝，则a＝3m，①
由圆锥曲线定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|－|PF2|＝2m，
∴|PF1|＝4m，|PF2|＝2m.
在△F1PF2中，由余弦定理，得：
4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos＝12m2，
∴c2＝3m2，则n2＝c2－m2＝2m2，
因此双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
答案 C
二、填空题
6.(2017·北京卷)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
解析 由题意知＝e2＝3，则m＝2.
答案 2
7.(2017·邯郸质检)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若＝4，则|QF|等于________.
解析 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.
答案 3
8.(2017·潍坊三模)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M(1，t)(t>0)到焦点的距离为5，双曲线－＝1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行.则实数a的值为________.
解析 由题设1＋＝5，∴p＝8.
不妨设点M在x轴上方，则M(1，4)，
由于双曲线的左顶点A(－a，0)，且直线AM平行一条渐近线，
∴＝，则a＝3.
答案 3
三、解答题
9.(2017·佛山调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(1，0).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程.
解 (1)依题意可得解得a＝，b＝1.
∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；
②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1).
联立得方程组
消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝.
∴y1·y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝.
∵OM⊥ON，∴·＝0.
∴x1·x2＋y1·y2＝＝0，∴k＝±.
故直线l的方程为y＝±(x－1).
10.(2017·全国Ⅲ卷)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程.
(1)证明 设l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x得y2－2my－4＝0，
Δ＝4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－4(m2＋1)＋2m·2m＋4＝0.
所以⊥，即O在圆M上.
(2)解 由(1)可得x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，
圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，
圆M的方程为＋＝.
11.(2017·郴州三模)已知抛物线E：y2＝8x，圆M：(x－2)2＋y2＝4，点N
为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值.
解 (1)设P(x，y)，则点N(2x，2y)在抛物线E：y2＝8x上，∴4y2＝16x，∴曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0).
令y＝0，得x＝x0－.
圆心(2，0)到切线的距离d＝＝2，
整理得(x－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y－4＝0.
设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝，k1k2＝.
∴△QAB面积S＝·|y0|
＝y＝2·，
设t＝x0－1∈[4，＋∞)，则S＝f(t)＝2在[4，＋∞)上单调递增，且f(4)＝，
∴f(t)≥，即△QAB面积的最小值为.
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