2018届二轮复习解析几何中的定点、定值问题学案（江苏专用） 6页

热点问题7 解析几何中的定点、定值问题 一、填空题 ‎1．已知，直线：，则直线经过的定点的坐标为 ．‎ 答案 ‎ 解析 由知，直线经过两直线的交点，即点．‎ ‎2．已知实数满足，直线：，过点作直线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则线段OM的最大值为 ．‎ 答案 ‎ 解析 由条件知直线经过定点Q，点M在以PQ为直径的圆上，由几何性质知OM的最大值为．‎ ‎3．(2013·盐城三模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－(6－‎2m)x－4my＋‎5m2‎－‎6m＝0，直线l经过点 (－1，1)．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为 ．‎ 答案 ‎ 解析 由条件知圆心C在直线上，若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l与圆心所在直线平行，再代入点(－1，1)得直线l的方程为．‎ ‎4．已知、为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，则 =______‎ 答案 20‎ 解析 设圆心O到、的距离分别为，则 ‎=‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为 ．‎ 答案 (x－1)2＋y2＝1‎ 解析 设定圆圆心M，半径为，动点，由题意知，‎ 即，由于点P在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以有 对任意都成立，所以，‎ 所求圆方程为(x－1)2＋y2＝1．‎ ‎6．(原创)已知圆，O为原点，A为平面内一定点，对于圆C上任意一点P，都有 则点A的坐标为 .‎ 答案(3，0)‎ 解析 设,由，得，‎ 化简得：，又因为，‎ 所以，因为对任意的x,y恒成立，所以m=3,n=0.得A(3，0)‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆上一点，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，=___________.‎ 答案 0‎ 解析 取特殊点B，则BC的方程为，由得C 所以.‎ 一般情况：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，点，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作直线OA的平行线交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，=0.‎ ‎8．已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．‎ 答案 ‎ 解析 由，同理．‎ ‎，,取，由对称性可知，直线MN经过轴上的定点.‎ 一般情况：在平面直角坐标系xOy中，过椭圆上一定点A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，当为非零常数时，直线MN经过定点.‎ 二、解答题 ‎9.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F ¢与F，圆：．‎ ‎（1）设M为圆F上一点，满足，求点M的坐标；‎ ‎（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，‎ ‎ ‎ 证明：点F到直线QT的距离FH为定值．‎ 解：（1）得 ‎① 又②‎ 由①，②得 ‎ ‎（2）设点，则圆 即③ 又圆④‎ 由③，④得直线QT的方程为 所以 因为在椭圆上，所以 所以 ‎10．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：＋y＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.‎ ‎（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；‎ ‎（2）求线段MN长的最小值；‎ ‎（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．‎ ‎（第10题）‎ ‎ 解：（1）由题设＋y＝1可知，点A(0，1)，B(0，－1).‎ 令P(x0，y0)，则由题设可知x0≠0. ‎ 所以，直线AP的斜率k1＝，PB的斜率为k2＝. ‎ 又点P在椭圆上，所以（x0≠0），从而有 k1·k2＝.＝＝－. ‎ ‎（2）由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，直线PB的方程为 y－(－1)＝k2(x－0).‎ 由，解得；‎ 由，解得.‎ ‎ 所以，直线AP与直线l的交点，直线PB与直线l的交点.‎ ‎ 于是，又k1·k2＝－，所以 ‎≥2＝4， ‎ 等号成立的条件是，解得.‎ 故线段MN长的最小值是4. ‎ ‎（3）设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点，则·＝0，故有 ‎.‎ ‎ 又，所以以MN为直径的圆的方程为. ‎ 令，解得或.‎ 所以，以为直径的圆恒过定点（或点）．‎ ‎11. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0，2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点.‎ 解：　(1)因为b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，所以a＝2，‎ 故椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，联立方程得，消去y，得 ‎(1＋2k2)x2＋4kmx＋‎2m2‎－8＝0，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 由题知k1＋k2＝＋＝8，‎ 所以＋＝8，即2k＋(m－2)＝8.‎ 所以k－＝4，整理得m＝k－2.‎ 故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k－2.‎ 所以直线AB过定点.‎ ‎②若直线AB的斜率不存在，设直线AB的方程为x＝x0，A(x0，y0)，B(x0，－y0)，‎ 则由题知＋＝8，‎ 得x0＝－.此时直线AB的方程为x＝－，显然直线AB过点.‎ 综上可知，直线AB过定点.‎ ‎12. 过点C(0,1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(－a,0‎ ‎)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.‎ ‎(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；‎ ‎(2)当点P异于点B时，求证：·为定值．‎ 解：(1)由已知得b＝1，＝，解得a＝2，‎ 所以椭圆方程为＋y2＝1.‎ 椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为y＝－x＋1，代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0.‎ 解得x1＝0，x2＝，[来源:学|科|网Z|X|X代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，所以D点坐标为.‎ 故CD＝＝.‎ ‎(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋1.代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0.‎ 解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，‎ 所以D点坐标为.‎ 又直线AC的方程为＋y＝1，‎ 直线BD的方程为y＝(x＋2)，联立解得 因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)．‎ 又P点坐标为.‎ 所以·＝·(－4k,2k＋1)＝4.‎ 故·为定值．[来源:学+科+网]‎