江西省赣州市寻乌中学2019-2020学年高二上学期段考数学（文）试卷 18页

文科数学 一、选择题 ‎1.对于命题：，，则下列说法正确的是（ ）‎ A. ：，是假命题 B. ：，是真命题 C. ：，是真命题 D. ：，是假命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果判断命题的真假即可．‎ ‎【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：，，因为对于一切，恒成立，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假的判断，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．‎ ‎2.如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则，的值为（ ）‎ A. 2，4 B. 4，4‎ C. 5，6 D. 6，4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先读出茎叶图中的数据，再根据条件：甲同学的平均成绩为85‎ ‎，乙同学的六科成绩的众数为84，分别求出、值，得到本题结论．‎ ‎【详解】解：根据题目中提供的茎叶图，可知：‎ 甲同学在期末考试中六科成绩分别为：75，82，84，，90，93．‎ 乙同学在期末考试中六科成绩分别为：74，75，，84，95，98．‎ 甲同学的平均成绩为85，‎ ‎，‎ ‎，‎ 乙同学的六科成绩的众数为84，‎ ‎，‎ 故、的值分别为：6，4．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图、众数、平均数的知识，本题难度不大，属于基础题．‎ ‎3.某校高三年级共有800名学生，学号从1～800号，现用系统抽样抽出样本容量为的样本；从小号到大号抽出的第1个数为8号，第6个数为168，则抽取的第3个数是多少号 A. 64 B. 72 C. 80 D. 88‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由系统抽样的特点得．所以抽取的第3个数为，故选B ‎4.若方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的标准方程得到不等式组，解不等式可求的范围 ‎【详解】解：由已知得解得且.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，属于基础题.‎ ‎5.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入（万元） ‎ ‎8.2 ‎ ‎8.6 ‎ ‎10.0 ‎ ‎11.3 ‎ ‎11.9 ‎ 支出（万元） ‎ ‎6.2 ‎ ‎7.5 ‎ ‎8.0 ‎ ‎8.5 ‎ ‎9.8 ‎ ‎ ‎ 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）‎ A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题，，所以．‎ 试题解析：由已知，‎ 又因为，‎ 所以，即该家庭支出为万元．‎ 考点：线性回归与变量间的关系．‎ ‎6.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－2an(n∈N*)．若从数列{an}的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知，故前10项中，不小于8的只有8,32,128,512，共4项，故所求概率是，故选B.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是(　　)‎ A. s≤?‎ B. s≤?‎ C. s≤?‎ D. s≤?‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：模拟执行程序框图，的值依次为，因此（此时），因此可填，故选C.‎ 考点：程序框图及循环结构 ‎8.从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在 克的概率为0.5，那么重量大于40克的概率为（ ）‎ A. 0.3 B. 0.5‎ C. 0.8 D. 0.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用互斥事件概率计算公式求解．‎ ‎【详解】解：由互斥事件概率加法公式知， 重量大于40克的概率为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件的概率计算公式的合理运用．‎ ‎9.命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题为真命题，求出的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】解：对任意，”为真命题，‎ 则对任意，”，‎ 当，，‎ ‎，‎ 则命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件可以是，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据命题为真命题求出的取值范围是解决本题的关键．‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：解：由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，‎ 三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16，‎ 两个底面面积之和为 ；‎ 半圆柱的侧面积为，两个底面面积之和为，‎ 所以几何体的表面积为 ，‎ 本题选择D选项.‎ ‎11.已知直线与圆相交于两点，若，则实数的值等于　　‎ A. 或 B. 1或7 C. 或7 D. 或1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由圆可知，圆心坐标为，圆半径为，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，解得或.‎ 故选C．‎ ‎12.如图，、是椭圆长轴上的两个顶点，是上一点，，，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件求出的坐标，然后求解离心率即可．‎ ‎【详解】解：以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，‎ 可设椭圆的方程为，‎ 则直线，的方程分别为，.‎ 联立解得的坐标为，‎ 所以，‎ 化简得，‎ 所以，所以.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ 二、填空题 ‎13.在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由根的判别式求出a的取值范围，再由几何概型计算公式求出概率即可.‎ ‎【详解】由方程有两不等实根可得：，解得：，‎ 由几何概型公式：.‎ ‎【点睛】本题考查取值范围型几何概型，求出范围长度，代入几何概型公式即可求解.‎ ‎14.已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作准线，交准线于点，则的最小值为，由此能求出 的最小值．‎ ‎【详解】抛物线的焦点是，焦点，准线方程，‎ 如图，过作准线，交准线于点，‎ 的最小值为，‎ ‎．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎15.有下列四个命题：①“若，则，互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若，则有实数解”的逆否命题；④“若，则”的逆否命题．其中真命题为________（填写所有真命题的序号）．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．‎ ‎【详解】解：①“若，则，互为倒数”的逆命题是“若，互为倒数，则”，显然是真命题，故①正确；‎ ‎②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；‎ ‎③若有实数解，则，解得，所以“若，则 有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；‎ ‎④若，则，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．‎ 故真命题有①②③‎ 故答案为：①②③‎ ‎【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是四种命题，难度中档．‎ ‎16.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为9，则_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由定义得|PF1|+|PF2|=2a，由得|PF1|2+|PF2|2=4c2， 由面积得|PF1||PF2|＝9，由此能得到b的值.‎ ‎【详解】∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且,∴|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=4c2， |PF1||PF2|＝9，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2-c2）=4b2，∴b=3．‎ 故答案为3．‎ ‎【点睛】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识，重点是三个方程的应用，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17.已知，且，设函数在上单调递减，函数在上为增函数，为假，为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 当命题分别为真时，分别求出的范围，由条件得到为一真一假，再根据集合运算求实数的取值范围.‎ ‎【详解】当真时，；当为真时，，‎ 因为为假，为真，所以或 所以或 所以.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二次函数性质的灵活运用.‎ ‎18.2017年“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段： ， ， ， ， ， ，后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率．‎ ‎【答案】（1）众数的估计值等于77．5 中位数的估计值为77．5（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析; （1）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5‎ 对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数． （2）从图中可知，车速在 的车辆数和车速在 的车辆数．从车速在 的车辆中任抽取2辆，设车速在 的车辆设为 车速在 的车辆设为 列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，‎ 设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：‎ ‎，解得．‎ 即中位数的估计值为．‎ ‎（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），‎ 车速在车辆数为：（辆），‎ 设车速在的车辆设为，，车速在的车辆设为，，，，则所有基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，共15种，‎ 其中车速在的车辆恰有一辆的事件有：，，，，，，，共8种．‎ 所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为．‎ ‎【点睛】本题考查率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和等知识．此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．‎ ‎19.如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）易证AD⊥平面CDE，从而AD⊥CE；（2）先证平面ABF∥平面CDE，可得BF∥平面CDE.‎ ‎【详解】证明：（1）因为矩形ABCD 所以AD⊥CD 又因DE⊥AD，且CDDE=D，CD、DE平面CDE 所以AD⊥平面CDE 又因为CE平面CDE 所以AD⊥CE ‎（2）因AB∥CD，CD平面CDE，AB 平面CDE 所以AB∥平面CDE 又因为AF∥DE，DE平面CDE，AF 平面CDE 所以AF∥平面CDE 又因为ABAF=A，AB、AF平面ABF 所以平面ABF∥平面CDE 又因为BF平面ABF 所以BF∥平面CDE ‎【点睛】本题考查了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线面平行证明可用其判定定理，也可先证面面平行再得线面平行.‎ ‎20.已知圆C的半径为1，圆心既在直线上又在直线上.‎ ‎（1）求圆C的标准方程 ‎（2）过做圆C的切线，求切线方程．‎ ‎【答案】（1） ；（2）和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由圆心既在直线上又在直线上，所以条直线的交点即为圆心．（2）分别讨论斜率存在和不存在时两种情况，再利用相切时点到直线的距离等于半径即可．‎ ‎【详解】（1）联立，得，则圆C的圆C坐标为．‎ 因为圆C的半径为1，所以圆的方程为：．‎ ‎（2）如果不存在，则方程为，是圆的切线；如果斜率存在，设切线方程为：，即．运用距离公式，解得．方程为．‎ 综上所述切线方程为：和．‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系．属于中等题．‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，是棱上一点．‎ ‎（1）证明：平面平面．‎ ‎（2）若，为点在平面上的投影，，，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）取AB中点F，由平面的基本性质可得C,E,O,F确定一个平面，且点O在PF上，利用相似比可得，由，将四棱锥的体积转化为求解三棱锥D-AOP的体积，利用等体积转化法即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以．‎ 又，，所以平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）解：取的中点，所以，则．‎ 又，，所以平面，‎ 则，即点在线段上．‎ 又，所以，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎【点睛】空间几何体体积问题的3种类型及解题策略 ‎(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．‎ ‎(2)‎ 求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．‎ ‎(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎22.设椭圆：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得，，即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．‎ ‎【详解】（1）由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率，由，，，得，，，故椭圆的方程为.‎ ‎（2）不妨设，，联立方程组，得，‎ 由，得.‎ 且，‎ 所以 ‎.‎ 又到直线的距离为，‎ 所以 ‎.‎ 当且仅当时取等号，所以.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎