高中数学必修4：1_2_1任意角的三角函数（教、学案） 8页

‎1. 2.1‎任意角的三角函数 ‎【教学目标】‎ ‎（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；‎ ‎（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；‎ ‎（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；‎ ‎（4）掌握并能初步运用公式一；‎ ‎（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.‎ ‎【教学重难点】‎ 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.‎ 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.‎ ‎【教学过程】‎ y ‎ P（a，b）‎ ‎ r ‎ ‎ O M 一、【创设情境】‎ 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？‎ 借助右图直角三角形，复习回顾.‎ 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。‎ 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?‎ 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那 a的终边 P(x,y)‎ O x y 么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;‎ ‎; .‎ 思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？‎ 显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：‎ ‎; ; .‎ 思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.‎ 二、【探究新知】‎ ‎1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? ‎ 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.‎ ‎2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?‎ 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:‎ ‎(1)叫做的正弦(sine),记做,即；‎ ‎（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；‎ ‎（3）叫做的正切(tangent),记做,即.‎ 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.‎ ‎3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?‎ 前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,‎ ‎.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.‎ ‎4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：‎ 三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 ‎5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?‎ ‎ 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:‎ ‎ (其中)‎ ‎6.三角函数线 设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 ‎，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与点.‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（Ⅳ）‎ ‎（Ⅲ）‎ 由四个图看出：‎ 当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有 ‎ ‎ 我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。‎ 我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.‎ ‎7.例题讲解 例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.‎ 解：,,.‎ ‎ 例2．求下列各角的三个三角函数值：‎ ‎ （1）； （2）； （3）． ‎ ‎ 解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ ‎ 变式训练2：求的正弦、余弦和正切值.‎ ‎ 例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值.‎ ‎ 解析：计算点到原点的距离时应该讨论a的正负.‎ ‎ 变式训练3： 求函数的值域.‎ 解析：分四个象限讨论.‎ 答案：{2，-2，0}‎ ‎ ‎ ‎ 例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：‎ ‎ 1.与 2.tan与tan ‎ 三、【学习小结】‎ ‎(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?‎ ‎(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?‎ ‎(3)请写出各三角函数的定义域；‎ ‎(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?‎ ‎(5)三角函数线的做法.‎ 四、【作业布置】‎ 作业：习题1.2 A组第1,2题． ‎ 五、【板书设计】‎ ‎ ‎1.2.1‎任意角的三角函数 ‎（一）复习引入 （二） 概念形成 1.三角函数定义 2.三角函数线 ‎（三）例题讲解 ‎ 小结：‎ ‎1.21任意角的三角函数 课前预习学案 一、预习目标：‎ ‎ 1.了解三角函数的两种定义方法；‎ ‎ 2.知道三角函数线的基本做法.‎ 二、预习内容：‎ ‎ 根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.‎ 三、提出疑惑 ‎ 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 ‎（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；‎ ‎（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；‎ ‎（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；‎ ‎（4）掌握并能初步运用公式一；‎ ‎（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.‎ 二、重点、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.‎ 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.‎ 三、学习过程 ‎（一）复习：‎ ‎1、初中锐角的三角函数______________________________________________________‎ ‎2、在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________‎ ‎（二）新课：‎ ‎1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么 ‎（1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________‎ ‎（2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________‎ ‎（3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________；‎ ‎2．三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域 ‎3．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：‎ ‎①正弦值对于第一、二象限为_____（），对于第三、四象限为____（）；‎ ‎②余弦值对于第一、四象限为_____（），对于第二、三象限为____（）；‎ ‎③正切值对于第一、三象限为_______（同号），对于第二、四象限为______（异号）．‎ ‎4．诱导公式 ‎ 由三角函数的定义，就可知道：__________________________‎ 即有：_________________________‎ ‎ _________________________‎ ‎ _________________________‎ ‎5．当角的终边上一点的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。‎ ‎ 设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（Ⅳ）‎ ‎（Ⅲ） ‎ 由四个图看出：‎ 当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有 ‎，_______ ，________‎ ‎．_________‎ 我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。‎ ‎（三）例题 ‎ 例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。‎ 变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.‎ ‎ 例2．求下列各角的三个三角函数值：‎ ‎（1）； （2）； （3）． ‎ 变式训练2：求的正弦、余弦和正切值.‎ ‎ 例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值。‎ ‎ 变式训练3： 求函数的值域 ‎ 例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：‎ ‎ 1. 与 2. tan与tan ‎ ‎（四）、小结 课后练习与提高 一、选择题 ‎1. 是第二象限角，P（，）为其终边上一点，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 是第二象限角，且，则是（ ）‎ ‎ A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 ‎3、如果那么下列各式中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题 ‎4. 已知的终边过（9，）且，，则的取值范围是 。‎ ‎5. 函数的定义域为 。‎ ‎6. 的值为 （正数，负数，0，不存在）‎ 三、解答题 ‎7.已知角α的终边上一点P的坐标为（）（），且，求 ‎ ‎