2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十二直线的倾斜角与斜率、直线的方程理北师大版 6页

核心素养测评五十二 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足 (　　)‎ A.a+b=1　　　　　 B.a-b=1 ‎ C.a+b=0 D.a-b=0‎ ‎【解析】选D.因为sin α+cos α=0,所以tan α=-1.‎ 又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.‎ ‎2.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是 (　　)‎ A.‎ B. (-∞,-2]∪‎ C.‎ D.∪[2,+∞)‎ ‎【解析】选D.l:mx+y+1=0可写成y=-mx-1,即l过定点R(0,-1),直线PR的斜率k1==-2,直线QR的斜率k2==.‎ 因为直线l与线段PQ有交点,‎ 所以斜率k≥或k≤-2.‎ - 6 -‎ 又因为k=-m,所以m≤-或m≥2.‎ ‎3.若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线x-y=3的倾斜角的2倍,则 (　　)‎ A.m=-,n=1 B.m=-,n=-3‎ C.m=,n=-3 D.m=,n=1‎ ‎【解析】选D.对于直线mx+ny+3=0,令x=0得y=-,即-=-3,n=1.‎ 因为x-y=3的倾斜角为60°,直线mx+ny+3=0的倾斜角是直线x-y=3的2倍,所以直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°,即-=-,m=.‎ ‎4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是 (　　)‎ A.-11或k<‎ C.k>1或k<　 D.k>或k<-1‎ ‎【解析】选D.设直线的斜率为k,‎ 则直线方程为y-2=k(x-1),‎ 令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,‎ 则-3<1-<3,‎ 解得k>或k<-1.‎ ‎5.如果AC<0,且BC<0,那么直线 Ax+By+C=0不通过 (　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 - 6 -‎ ‎【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-<0,在y轴上的截距为->0,所以,直线不通过第三象限.‎ ‎6.经过点A(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 (　　)‎ A.x+y+1=0‎ B.4x+3y=0‎ C.x-y-7=0或4x+3y=0‎ D.x+y+1=0或4x+3y=0‎ ‎【解析】选D.设直线在x轴上的截距为a,则直线在y轴上的截距为a.‎ ‎(1)当a=0时,直线过(0,0),此时方程为4x+3y=0.‎ ‎(2)当a≠0时,直线方程为+=1.‎ 又因A(3,-4)在直线上,‎ 所以+=1,‎ 解得a=-1,‎ 故直线方程为x+y+1=0.综上选D.‎ ‎7.直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.[0,π)　　　　　　　　 B.0,∪,π C.0, D.0, ∪,π ‎【解析】选B.由题意知,直线的斜率存在.‎ 因为直线xsin α+y+2=0的斜率k=-sin α,又-1≤sin α≤1,所以-1≤k≤1.设直线xsin α+y+2=0的倾斜角为θ,所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故倾斜角的取值范围是0,∪,π.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.若直线2x+By+1=0与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则B=________________. ‎ ‎【解析】由已知C≠0,所以直线不过原点,且斜率应为±1,所以B=±2.‎ - 6 -‎ 答案:±2‎ ‎9.已知点A(-1,t),B(t,4),若直线AB的斜率为2,则实数t的值为________________. ‎ ‎【解析】由题意知,kAB=2,即=2,解得t=.‎ 答案:‎ ‎10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为________________________________.  ‎ ‎【解析】由题意,线段AB的中点为M(1,2),kAB=-2,‎ 所以线段AB的垂直平分线为y-2=(x-1),即x-2y+3=0,‎ 因为AC=BC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,‎ 因此△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0.‎ 答案:x-2y+3=0‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　)‎ A.[0,π)　　　　 B.‎ C. D.∪‎ ‎【解析】选C.当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;‎ 当cos θ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.‎ 因为cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,‎ 所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ 即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ - 6 -‎ 又α∈[0,π),所以α∈∪,‎ 综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是.‎ ‎2.(5分)(2020·西安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是 (　　)‎ A.0　　　B.2　　　C.　　　D.1‎ ‎【解析】选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.‎ ‎3.(5分)若直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点________________. ‎ ‎【解析】直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,由 解得所以直线l恒过定点(2,-2).‎ 答案:(2,-2)‎ ‎4.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;‎ ‎(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. ‎ ‎【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以a=2,方程即为3x+y=0.‎ 当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.‎ 所以=a-2,即a+1=1.‎ 所以a=0,方程即为x+y+2=0.‎ 综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.‎ ‎(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,‎ - 6 -‎ 所以 或所以a≤-1.‎ 综上可知a的取值范围是(-∞,-1].‎ ‎5.(10分)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0. ‎ ‎(1)求证:不论m为何实数,直线l过一定点M.‎ ‎(2)过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程.‎ ‎【解析】(1)直线l的方程整理得(2x+y+4)+m(x-2y-3)=0,由 解得 所以不论m为何实数,直线l过定点M(-1,-2).‎ ‎(2)过定点M(-1,-2)作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,则直线l1过点(-2,0),(0,-4),‎ 设直线l1的方程为y=kx+b,‎ 把两点坐标代入得 解得 则直线l1的方程为y=-2x-4,即2x+y+4=0.‎ - 6 -‎