江西省赣州市2020届高三3月摸底考试数学（理）试题 13页

赣州市2020年高三年级摸底考试 理科数学试卷 一、选择题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数满足，则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．等差数列的前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取个数，则其和等于的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．数列称为斐波那契数列，是十三世纪意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子系列为例而引入，故又称“兔子数列”.该数列前两项均为，从第三项开始，每一项等于其前相邻两项之和.设计如图所示的程序框图，若输出的是“兔子数列”的第项（且），则图中（1），（2）应分别填入（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积大于的面的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．平面向量、满足，，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点.若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．关于函数有下述四个结论：①的图像关于点对称；②的最大值为；③在区间上单调递增；④是周期函数.其中正确结论的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．的展开式中，的系数为，则______.（用数字填写答案）‎ ‎14．数列中，，，为的前项和，若，则______.‎ ‎15．设中心在原点的椭圆的两个焦点、在轴上，点是上一点.若使为直角三角形的点恰有个，且这个直角三角形中面积的最小值为，则的方程为______.‎ ‎16．在四棱锥中，底面是直角梯形，，.若，，且的面积为，则四棱锥的体积的最大值为______.‎ 三、解答题 ‎17．在中，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，的面积为，求边长的长.‎ ‎18．在五面体中，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，是等腰直角三角形，，求直线与平面所成角的正切值.‎ ‎19．设点是抛物线的焦点，、是上两点.若，且线段的中点到轴的距离等于.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设直线与交于、两点且在轴的截距为负，过作的垂线，垂足为，若.‎ ‎（i）证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎（ii）求点的轨迹方程.‎ ‎20．春节期间爆发的新型冠状病毒（COVID-19）是新中国成立以来感染人数最多的一次疫情.一个不知道自己已感染但处于潜伏期的甲从疫区回到某市过春节，回到家乡后与朋友乙、丙、丁相聚过，最终乙、丙、丁也感染了新冠病毒.可以肯定的是乙受甲感染的，丙是受甲或乙感染的，假设他受甲和受乙感染的概率分别是和.丁是受甲、乙或丙感染的，假设他受甲、乙和丙感染的概率分别是、和.在这种假设之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人数为.‎ ‎（1）求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）该市在发现在本地出现新冠病毒感染者后，迅速采取应急措施，其中一项措施是各区必须每天及时，上报新增疑似病例人数.区上报的连续天新增疑似病例数据是“总体均值为，中位数”，区上报的连续天新增疑似病例数据是“总体均值为，总体方差为”。设区和区连续天上报新增疑似病例人数分别为和，和分别表示区和区第天上报新增疑似病例人数（和均为非负）.记，.‎ ‎①试比较和的大小；‎ ‎②求和中较小的那个字母所对应的个数有多少组？‎ ‎21．已知函数，直线是曲线的一条切线.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：不等式在上恒成立.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，动圆，（，是参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求动圆的圆心的轨迹的方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（1）设和分别和上的动点，若最小值为，求的值.‎ ‎23．设均为正数，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求的最大值.‎ 赣州市2020年高三年级摸底考试理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5：BAACB 6-10：ADBDC 11-12：AB ‎9．令，，显然在函数没有三个公共点，故 ‎，，所以，故切点为，代入得，，函数过点，，故范围为.‎ ‎10．解法一：不妨设，，则由得，表示圆上的点到的距离，故.‎ 解法二：由得，，‎ ‎，要最大，必须最小，而，即，解得，，所以.‎ ‎11．三角形为直角三角形，故它的内切圆半径 ‎，故离心力.‎ ‎12．①，所以成立；‎ ‎④，故该函数为周期函数；‎ ‎②由④得，所以是的一个周期，不妨设，则 ‎，令，令，‎ 则递增区间是递减区间是，，‎ ‎∴的极大值为，，所以最大值不为.‎ ‎③当时，，由②知，在该区间内有增有减，‎ 故不单调.正确结论的个数是个.故选B.‎ 二、填空题 ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．‎ ‎16． 分别取和的中点、，由，知，，又是梯形，故，从而，故平面，进而得，而，与相交，故平面.由的面积为得，由得，进而，所以.‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由已知得，‎ 因为，所以 两边平方得，‎ ‎（2）由得，，从而 于是 因为的面积为，所以 由余弦定理得，‎ ‎18．（1）因为且、、、四点共面，所以 又平面，所以平面 又平面平面，所以 因为，所以，又，所以平面 而平面，故平面平面 ‎（2）由和，可知，是正方形 由及平面得，平面 又因为，所以平面平面 从而直线与平面所成角就是 因为是等腰直角三角形，所以 在中，‎ 另解（坐标系）‎ ‎（2）由和，可知，是正方形 如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，则由，‎ 得，，故令，得 设直线与平面所成角为，则 ‎，从而 ‎19．（1）过和分别作轴的垂线，垂足分别为、，则 依题意知，即 于是，把代入得 ‎（2）由题意知直线的斜率存在，设的方程为，代入抛物线方程得 由得，（*）‎ 设，，则.‎ 由得，，即 把代入得解得或（舍去）‎ ‎（i）于是直线恒过定点 ‎（ii）由知点在以为直径的圆上，该圆的方程为 根据（*）得，从而取圆在轴的上方部分，又直线的斜率存在，‎ 因此应剔除与轴的交点 故点的轨迹方程为（且）‎ ‎20．（1）记事件“丙受甲感染”，事件“丁受甲感染”，则，‎ 的取值为 所以的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.32‎ ‎0.56‎ ‎0.12‎ ‎（2）（i）对于区，由知，‎ ‎，因为是非负整数，‎ 所以，即，所以 当中有一个取，有一个取，其余取时，‎ 对于区，当，，时，满足“总体均值为，中位数”，此时，‎ 所以 ‎（ii）当时，只有两种情况：‎ ‎①有一个是，有五个是或，有一个是；‎ ‎②有一个是，有一个是或，有一个是或，其余是.‎ 对于①，共有组 对于②，共有组 故共有组 ‎21．（1）设直线切曲线于点 所以 解得，‎ ‎（2）‎ 下证 记，则，令，得 当时，；当时，.于是在上递减，‎ 在是递增，故，即 再证 记，则 当时，；当时，.于是在上递增，‎ 在是递减，故，即 综上，不等式在上恒成立 第（2）问另证：‎ 记，则 ‎①当时，递增，且，所以在上递减，在 上递增，故 ‎②当时，，此时在上递增，‎ 所以 ‎③当时，记，则（的导数为）‎ 设的根为，易知，在上递减，在上递增，‎ 而，，所以在时只有一个根 因此在上递减，在上递增，‎ 故 从而在上递增，所以 综上，不等式在上恒成立 ‎（注：在①②中按和讨论也行）‎ ‎22．（1）设动圆的圆心坐标为，则 消去参数得，得的方程为 直线的直角坐标方程为 ‎（2）设，的最小值等于点到直线的距离的最小值 点到直线的距离 因为的最小值不为，所以 当时，，则，解得 当时，，则，解得 综上，‎ ‎23．（1）由得，‎ 因为，，，‎ 所以 从而，即 ‎（2）‎ 所以（当且仅当时取“”号）‎ 从而，故的最大值为1‎