2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第3节课件（34张）（全国通用） 34页

第 3 节　圆的方程 最新考纲　 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 . 1. 圆的定义和圆的方程 知 识 梳 理 D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0 定点 定长 2. 点与圆的位置关系 平面上的一点 M ( x 0 ， y 0 ) 与圆 C ： ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 之间存在着下列关系： (1) d ＞ r ⇔ M 在圆外，即 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＞ r 2 ⇔ M 在 ______ ； (2) d ＝ r ⇔ M 在圆上，即 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＝ r 2 ⇔ M 在 _______ ； (3) d ＜ r ⇔ M 在圆内，即 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＜ r 2 ⇔ M 在 ________ . 圆外 圆 上 圆 内 [ 常用结论与微点提醒 ] 圆的三个性质 (1) 圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2) 圆心在任一弦的中垂线上； (3) 两圆相切时，切点与两圆心三点共线 . 诊 断 自 测 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 确定圆的几何要素是圆心与半径 .( 　　 ) (2) 方程 x 2 ＋ y 2 ＝ a 2 表示半径为 a 的圆 .( 　　 ) (3) 方程 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 mx － 2 y ＋ 5 m ＝ 0 表示圆 .( 　　 ) (4) 方程 Ax 2 ＋ Bxy ＋ Cy 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠ 0 ， B ＝ 0 ， D 2 ＋ E 2 － 4 AF >0.( 　　 ) 答案　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 2. (2018· 绍兴测试 ) 圆心为 (1 ， 1) 且过原点的圆的方程是 ( 　　 ) A .( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 B.( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 C .( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 2 D .( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 答案 　 D 3. 若点 (1 ， 1) 在圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y ＋ a ) 2 ＝ 4 的内部，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A .( － 1 ， 1) B .(0 ， 1) C .( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) D. a ＝ ±1 解 析　 因为点 (1 ， 1) 在圆的内部， 所 以 (1 － a ) 2 ＋ (1 ＋ a ) 2 <4 ，所以－ 1< a <1. 答 案　 A 4. ( 必修 2P124A4 改编 ) 圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A ( － 1 ， 1) 和 B (1 ， 3) ，则圆 C 的方程为 ________. 解 析　 设圆心坐标为 C ( a ， 0) ， ∵ 点 A ( － 1 ， 1) 和 B (1 ， 3) 在圆 C 上， ∴ | CA | ＝ | CB | ， ∴ 圆 C 的方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 10. 解得 a ＝ 2 ，所以圆心为 C (2 ， 0) ， 答案　 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 10 5. (2016· 浙江卷 ) 已知 a ∈ R ，方程 a 2 x 2 ＋ ( a ＋ 2) y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y ＋ 5 a ＝ 0 表示圆，则圆心坐标是 ________ ，半径是 ________. 解析　 由已知方程表示圆，则 a 2 ＝ a ＋ 2 ， 解得 a ＝ 2 或 a ＝－ 1. 当 a ＝ 2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 . 当 a ＝－ 1 时，原方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y － 5 ＝ 0 ， 化为标准方程为 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 25 ， 表示以 ( － 2 ，－ 4) 为圆心，半径为 5 的圆 . 答案 　 ( － 2 ，－ 4) 　 5 6. (2017· 湖州调研 ) 若圆 C 与圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x ＝ 0 关于直线 x ＋ y － 1 ＝ 0 对称，则圆心 C 的坐标为 ________ ；圆 C 的一般方程是 ________. 答案 　 (1 ， 2) 　 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y ＋ 4 ＝ 0 考点一　圆的方程 【例 1 】 (1) ( 一题多解 ) 过点 A (4 ， 1) 的圆 C 与直线 x － y － 1 ＝ 0 相切于点 B (2 ， 1) ，则圆 C 的方程为 ________. ( 2) 已知圆 C 经过 P ( － 2 ， 4) ， Q (3 ，－ 1) 两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6 ，则圆 C 的方程为 ________. 故所求圆的方程为 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y － 8 ＝ 0 或 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 8 y ＝ 0. 答案 　 (1)( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 2 　 (2) x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y － 8 ＝ 0 或 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 8 y ＝ 0 规律方法 　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程 . 一般来说，求圆的方程有两种方法： (1) 几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量 . 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质： ① 圆心在过切点且垂直切线的直线上； ② 圆心在任一弦的中垂线上； ③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2) 代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解 . (2) 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 (1 ， 0) ，准线为 x ＝－ 1 ，故所求圆的圆心为 (1 ， 0) ，半径为 2 ，所以该圆的标准方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4. 答案 　 (1)( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 9 　 (2)( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4 考点二　与圆有关的最值问题 A.( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 25 B .( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 5 C.( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 25 D .( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 5 (2) 设点 M ( x 0 ， 1) ，若在圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上存在点 N ，使得 ∠ OMN ＝ 45° ，则 x 0 的取值范围是 ________. (2) 如图所示，过点 O 作 OP ⊥ MN 交 MN 于点 P . 答案 　 (1)D 　 (2)[ － 1 ， 1] 考点三　与圆有关的轨迹问题 【例 3 】 已知点 P (2 ， 2) ，圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 8 y ＝ 0 ，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M ， O 为坐标原点 . ( 1) 求点 M 的轨迹方程； ( 2) 当 | OP | ＝ | OM | 时，求 l 的方程及 △ POM 的面积 . 规律方法 　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1) 直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2) 定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3) 几何法，利用圆的几何性质列方程； (4) 代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 . 【训练 3 】 设定点 M ( － 3 ， 4) ，动点 N 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上运动，以 OM ， ON 为邻边作平行四边形 MONP ，求点 P 的轨迹 .