高中数学选修2-2教学课件第四章 1_1 30页

第四章　定积分 § 1 　 定积分的概念 1.1 　定积分的背景 —— 面积和路程问题 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解 “ 以直代曲 ” 、 “ 以不变代变 ” 的思想方法 . 2. 会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 曲边梯形的概念 曲边梯形：由直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) ， y ＝ 0 和 曲线 所 围成的图形称为 曲 边 梯形 ( 如图所示 ). 2. 求曲边梯形面积的步骤 ① ， ② ， ③ ， ④ . y ＝ f ( x ) 分割 近似替代 求和 逼近 探要点 · 究 所然 情境导学 任何一个平面图形都有面积，其中矩形、 正方 形 、三角形、平行四边形、梯形等平面 多边形 的 面积，可以利用相关公式进行计算 . 如图所 示 的 平面图形，是由直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) ， y ＝ 0 和曲线 y ＝ f ( x ) 所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？ 探究点一　求曲边梯形的面积 思考 1 　如何计算下列两图形的面积？ 答　 ① 直接利用梯形面积公式求解 . ② 转化为三角形和梯形求解 . 思考 2 　如图，为求由抛物线 y ＝ x 2 与 直线 x ＝ 1 ， y ＝ 0 所围成的平面图形的面积 S ，图形与我 们 熟悉的 “ 直边图形 ” 有什么区别？ 答　 已知图形是由直线 x ＝ 1 ， y ＝ 0 和曲线 y ＝ x 2 所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而 “ 直边图形 ” 的所有边都是直线段 . 思考 3 　能否将求曲边梯形的面积问题转化为求 “ 直边图形 ” 的面积问题？求曲边梯形的面积有哪几个主要步骤，其中体现了什么数学思想？ 答　 可以通过将区间分割，得到一些小矩形，计算曲边梯形面积的过剩估计值和不足估计值，然后将区间分得更细，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积 .( 如图 ) 求曲边梯形面积可以通过四个主要步骤完成，它们是：分割、近似替代、求和、逼近，其中体现了 “ 以直代曲 ” 和 “ 无限逼近 ” 的数学思想 . 例 1 　 求由曲线 f ( x ) ＝ 2 x ，直线 x ＝ 1 ，直线 x ＝ 0 及 x 轴所围成的平面图形的面积 S ，并写出估计值的误差 . 解　 (1) 分割：将区间 [0,1] 5 等分，即插入 4 个分点，在每个分点处作与 y 轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成 5 个小曲边梯形； (2) 近似替代：若用 f (0.2) ， f (0.4) ， f (0.6) ， f (0.8) ， f (1) 分别表示这 5 个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积 f (0.2)·0.2 ， f (0.4)·0.2 ， f (0.6)·0.2 ， f (0.8)·0.2 ， f (1)·0.2 . 若用 f (0) ， f (0.2) ， f (0.4) ， f (0.6) ， f (0.8) 分别表示这 5 个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积 f (0)·0.2 ， f (0.2)·0.2 ， f (0.4)·0.2 ， f (0.6)·0.2 ， f (0.8)·0.2 ； ( 3) 求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为 S 1 ＝ (2 0.2 ＋ 2 0.4 ＋ 2 0.6 ＋ 2 0.8 ＋ 2 1 ) × 0.2 ≈ 1.55 ， 不足估计值为 s 1 ＝ (2 0 ＋ 2 0.2 ＋ 2 0.4 ＋ 2 0.6 ＋ 2 0.8 ) × 0.2 ≈ 1.35 . (4) 逼近：在这种情况下，无论过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过 0.20. 如果需要，我们可以将区间分得更细，得到更精确的估计值 . 反思与感悟　 通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近可以理解定积分的基本思想 . 跟踪训练 1 　求抛物线 f ( x ) ＝ 1 ＋ x 2 与直线 x ＝ 0 ， x ＝ 1 ， y ＝ 0 所围成的平面图形的面积 S ，并写出估计值的误差 . 解　 (1) 分割：将区间 [0,1] 5 等分，在每个分点处作与 y 轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成五个小曲边梯形 . (2) 近似替代：用 f (0.2) ， f (0.4) ， f (0.6) ， f (0.8) ， f (1) 表示这 5 个小曲边梯形的高，则可得到曲边梯形的过剩近似值； 用 f (0) ， f (0.2) ， f (0.4) ， f (0.6) ， f (0.8) 表示这 5 个小曲边梯形的高，可得到曲边梯形面积的不足近似值 . (3) 求和：曲边梯形面积的过剩近似值 S ＝ ( f (0.2) ＋ f (0.4) ＋ f (0.6) ＋ f (0.8) ＋ f (1)) × 0.2 ＝ 1.44. 曲边梯形面积的不足近似值为 s ＝ ( f (0) ＋ f (0.2) ＋ f (0.6) ＋ f (0.8)) × 0.2 ＝ 1.24. (4) 逼近：在这种情况下，无论过剩近似值还是不足近似值，误差都不会超过 0.20 ，如果需要，可将区间分得更细，得到更精确的估计值 . 探究点二　求变速运动的路程 思考 　求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？ 答　 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似替代、求和、逼近 . 例 2 　 一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行 5 s 后停下，在这一过程中，汽车的速度 v ( 单位： m/s) 是时间 t 的函数： v ( t ) ＝ t 2 － 10 t ＋ 25(0 ≤ t ≤ 5). 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s . 解　 将滑行时间 5 s 平均分成 5 份 . 分别用 v (0) ， v (1) ， v (2) ， v (3) ， v (4) 近似替代汽车在 0 ～ 1 s,1 ～ 2 s,2 ～ 3 s,3 ～ 4 s,4 ～ 5 s 内的平均速度 ， 求 出滑行距离 s 1 ： s 1 ＝ [ v (0) ＋ v (1) ＋ v (2) ＋ v (3) ＋ v (4)] × 1 ＝ 55(m) ， 由于 v 是下降的 ， 所以 显然 s 1 大于 s ，我们称它为汽车在 5 s 内滑行距离的过剩估计值 . 如果用 v (1) ， v (2) ， v (3) ， v (4) ， v (5) 分别近似替代汽车在 0 ～ 1 s ， 1 ～ 2 s,2 ～ 3 s,3 ～ 4 s,4 ～ 5 s 内的平均速度 ， 求 出汽车在 5 s 内滑行距离的不足估计值 s 1 ′ ： s 1 ′ ＝ [ v (1) ＋ v (2) ＋ v (3) ＋ v (4) ＋ v (5)] × 1 ＝ 30(m). 不论用过剩估计值 s 1 还是不足估计值 s 1 ′ 表示 s ，误差都不超过： s 1 － s 1 ′ ＝ 55 － 30 ＝ 25(m). 为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些 . 跟踪训练 2 　物体在力 F 的作用下从静止开始运动，力 F 的大小与位移 s (m) 的关系是： F ( s ) ＝ 3 s ＋ 1 ，试估计物体运动 5 m 的过程中力 F 所做的功，并写出估计值的误差 . 解　 将 [0,5] 5 等分，即插入 4 个分点 ， 则 将整个功分成 5 个小位移段内的功 . 若用 F (1) ， F (2) ， F (3) ， F (4) ， F (5) 分别近似替代 F 引起的物体在 0 ～ 1 m,1 ～ 2 m,2 ～ 3 m,3 ～ 4 m,4 ～ 5 m 段内运动时所受的力的平均大小 ，则 得出功的过剩估计值为 W 1 ＝ [(3 × 1 ＋ 1) ＋ (3 × 2 ＋ 1) ＋ (3 × 3 ＋ 1) ＋ (3 × 4 ＋ 1) ＋ (3 × 5 ＋ 1)] × 1 ＝ 50(J). 若用 F (0) ， F (1) ， F (2) ， F (3) ， F (4) 分别近似替代 F 引起的物体在 0 ～ 1 m,1 ～ 2 m,2 ～ 3 m,3 ～ 4 m,4 ～ 5 m 段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为 W 1 ＝ [(3 × 0 ＋ 1) ＋ (3 × 1 ＋ 1) ＋ (3 × 2 ＋ 1) ＋ (3 × 3 ＋ 1) ＋ (3 × 4 ＋ 1)] × 1 ＝ 35(J). 无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过 15 J. 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1. 把区间 [1,3] n 等分，所得 n 个小区间的长度均为 ( 　　 ) 4 解析　 区间 [1,3] 的长度为 2 ，故 n 等分后，每个小区间的长度均 为 . B 2. 函数 f ( x ) ＝ x 2 在 区间 上 ( 　　 ) A. f ( x ) 的值变化很小 B. f ( x ) 的值变化很大 C. f ( x ) 的值不变化 D. 当 n 很大时， f ( x ) 的值变化很小 1 2 3 4 1 2 3 4 解析　 当 n 很大，即 Δ x 很小时，在区间 [ ] 上，可以认为 f ( x ) ＝ x 2 的值变化很小，近似地等于一个常数 . 答案　 D 1 2 3 3. 在 “ 近似代替 ” 中，函数 f ( x ) 在区间 [ x i ， x i ＋ 1 ] 上的近似值等于 ( 　　 ) A. 只能是左端点的函数值 f ( x i ) B. 只能是右端点的函数值 f ( x i ＋ 1 ) C. 可以是该区间内任一点的函数值 f ( ξ i )( ξ i ∈ [ x i ， x i ＋ 1 ] ) D. 以上答案均正确 4 C 1 2 3 4 4. 求由曲线 y ＝ x 2 与直线 x ＝ 1 ， x ＝ 2 ， y ＝ 0 所围成的平面图形面积时，把区间 5 等分，则面积的近似值 ( 取每个小区间的左端点 ) 是 ________. 1 2 3 4 答案　 1.02 呈 重点、现 规律 变速直线运动的路程、变力做功问题都可以归结为求曲边梯形的面积；求曲边梯形面积可分为四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看