• 142.65 KB
  • 2021-06-24 发布

高中数学讲义微专题41 指对数比较大小

  • 4页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
微专题 41 指对数比较大小 在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题,通常是三个指数和对数混在一起,进 行排序。这类问题如果两两进行比较,则花费的时间较多,所以本讲介绍处理此类问题的方 法与技巧 一、一些技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号?八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来: 判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为 和 (1)如果底数和真数均在 中,或者均在 中,那么对数的值为正数 (2)如果底数和真数一个在 中,一个在 中,那么对数的值为负数 例如: 等 2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数(如 0,1)的大小关系,一作图,自明了 3、比较大小的两个理念: (1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的 单调性,判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某 一部分相同的情况 例如: ,比较时可进行转化,尽管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同 ,从而只需比较底数的大小即可 (2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分, 然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有 一 些 题 目 需 要 选 择 特 殊 的 常 数 对 所 比 较 的 数 的 值 进 行 估 计 , 例 如 , 可 知 ,进而可估计 是一个 1 点几的数,从而便于比较 4、常用的指对数变换公式: (1) (2) (3) (4)换底公式: 进而有两个推论: (令 )  0,1  1,  0,1  1,  0,1  1, 3 0.5 2log 0.5 0,log 0.3 0,log 3 0   1 1 1 3 4 23 ,4 ,5       1 1 11 1 1 4 3 63 4 212 12 123 3 ,4 4 ,5 5   2log 3 2 2 21 log 2 log 3 log 4 2    2log 3 nm m na a      log log loga a aM N MN  log log loga a a MM N N   log log 0, 1, 0n a aN n N a a N    loglog log c a c bb a 1log loga b b a c b log logm n aa nN Nm 二、典型例题: 例 1:设 ,则 的大小关系是______________ 思路:可先进行 分堆,可判断出 ,从而 肯定最大,只需比较 即可,观察到 有相同的结构:真数均带有根号,抓住这个特点,利用对数公式进行变换: ,从而可比较出 ,所以 答案: 例 2:设 ,则 的大小关系是___________ 思路:观察发现 均在 内, 的真数相同,进而可通过比较底数得到大小关系: ,在比较和 的大小,由于 是指数,很难直接与对数找到联系,考虑估计 值得 大小: ,可考虑以 为中间量,则 ,进而 ,所以大小顺序为 答案: 例 3:设 则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 思路:观察到 都是以 为底的对数,所以将其系数“放”进对数之中,再进行真数的比 较。 发现真数的底与指数也不相同,所以依 然考虑“求同存异”,让三个真数的指数一致: ,通过 比较底数的大小可得: 答案:C 小炼有话说:(1)本题的核心处理方式就是“求同存异”,将三个数变形为具备某相同的部 分,从而转换比较的对象,将“无法比较”转变为“可以比较” (2)本题在比较指数幂时,底数的次数较高,计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个 数 两 两 进 行 比 较 , 从 而 减 少 底 数 的 指 数 便 于 计 算 。 例 如 可 以 先 比 较 ,从而 ,同理再比较 或 即可 例 4:设 , , ,则( ) A. B. C. D. 思路:观察可发现: ,所以可得: 3 2 3log , log 3, log 2a b c   , ,a b c 0,1 1,0 b 1,0 c 1a      a ,b c ,b c 2 2 3 3 1 1log 3 log 3, log 2 log 22 2b c    3 2log 2 1 log 3  c b c b a  1 2 3log 2, ln 2, 5a b c     , ,a b c , ,a b c  0,1 ,a b a b c c , ,a b c 1 2 1 1 15 25 4 c      1 2 3 3 1log 2 log 3 2a    1 2a c  b a c  b a c  ln2 ln3 ln5, , ,2 3 5a b c   , ,a b c a b c  a c b  b a c  b c a  , ,a b c e 1 11 3 52ln2 ln3 ln5ln2 , ln3 , ln5 ,2 3 5a b c            1 11 1 1 1 15 10 63 52 30 30 302 2 ,3 3 ,5 5   b a c  , :a b     11 1 1 3 232 6 62 = 2 ,3 = 3 a b ,a c ,b c 6log3a 10log5b 14log7c abc  b c a  a c b  a b c       3 3 5 5 7 7log 3 2 1 log 2, log 5 2 1 log 2, log 7 2 1 log 2a b c            3 5 7log 2 log 2 log 2  a b c  答案:D 例 5:设 则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 思路:观察可发现 的底数相同, 的指数相同,进而考虑先进行这两轮的比较。对于 , 两者底数在 ,则指数越大,指数幂越小,所以可得 ,再比较 ,两者指数相同, 所以底数越大,则指数幂越大,所以 ,综上: 答案:B 例 6:已知三个数 ,则它们之间的大小关系是( ) A. B. C. D. 思路:可先进行 分组, , ,所以只需比较 大小,两者都介于 之间且一个是对数,一个是三角函数,无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。 以 作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。 ,而 ,从而 ,大小顺序为 答案:A 小炼有话说:在寻找中间量时可以以其中一个为入手点,由于非特殊角的三角函数值可用特 殊角三角函数值估计值的大小,所以本题优先选择 作为研究对象。 例 7:(2015 甘肃河西三校第一次联考)设 ,则( ) A. B. C. D. 思路:首先进行 分组,可得 ,下面比较 的大小,可以考虑以 作为中间量, ,所以 ,从而 答案:D 例 8:设 且 ,则 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 思 路 : 由 可 得 : , 先 用 将 分 堆 , , ,则 为最大,只需要比较 即可,由于 的底数与真数不同,考虑进行适当变 形并寻找中间量。 ,而 ,因 为 ,所以 ,所以顺序为 2 3 2 5 5 53 2 2, , ,5 5 5a b c                  , ,a b c a b c  a c b  b a c  b c a  ,b c ,a c ,b c  0,1 b c ,a c a c a c b  0.5 3 33 , log 2, cos 2a b c   c b a  c a b  a b c  b c a  0,1 0.53 1a   0 , 1b c  ,b c 0,1 3cos 2 3 3 1cos cos2 3 2 3 2      3 3 1log 2 log 3 2  1 2c b  c b a  c 1.1 3.1 3log 7, 2 , 0.8a b c   b a c  a c b  c b a  c a b  0,1 1 ,c a b  ,a b 2 1.1 3 32 2, log 7 log 9 2b a     2a b  c a b  0, 1a b a b    11 1 1 , log , log b ba b x y ab z aa           , ,x y z y x z  z y x  y z x  x y z  0, 1a b a b    10 12b a    0,1 , ,x y z 0x  , 0y z  x ,y z ,y z 11 1log log log 1a b ab aba b y ab ab ab         1log logb b z a a   0 1b  log log 1, log 1b b ba b z a y       y z x  答案:C 例 9:下列四个数: 的大小顺序为________ 思路:观察发现 ,其余均为正。所以只需比较 ,考虑 ,所 以 ,而 ,所以下一步比较 : ,所以 ,综上所述,大 小顺序为 答案: 例 10:已知 均为正数,且 ,则( ) A. B. C. D. 思路:本题要通过左右相等的条件,以某一侧的值作为突破口,去推断 的范围。首先观 察等式左侧,左侧的数值均大于 0,所以可得: 均大于 0,由对数的符号 特点可得: ,只需比较 大小即可。观察到 ,从而 ,所以顺序为 答案:A 小炼有话说:本题也可用数形结合的方式比较大小,观察发现前两个等式右侧为 的 形式,而第三个等式也可变形为 ,从而可以考虑视 分别为两 个函数的交点。先作出 图像,再在这个坐标系中作出 , 比较交点的位置即可。    2ln2 , ln ln2 , ln 2, ln2a b c d     ln ln2 0b   , ,a c d  ln2 0,1 a d 1ln 2 ln22c d   ,a c    2 1 1ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 ln 02 2a c e           a c b c a d   b c a d   , ,a b c 1 1 2 2 2 1 12 log , log , log2 2 b c a a b c            a b c  c b a  c a b  b a c  , ,a b c 1 1 2 2 2 log ,log ,loga b c  , 0,1 , 1a b c  ,a b 12 1 2 b a       1 1 2 2 log loga b a b   a b c  1 2 logy x 2 1 2 1 log log2 c c c       , ,a b c 1 2 logy x 1 12 , ,2 2 x x xy y y            

相关文档