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- 2021-06-24 发布
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微专题 41 指对数比较大小
在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题,通常是三个指数和对数混在一起,进
行排序。这类问题如果两两进行比较,则花费的时间较多,所以本讲介绍处理此类问题的方
法与技巧
一、一些技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号?八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来:
判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为 和
(1)如果底数和真数均在 中,或者均在 中,那么对数的值为正数
(2)如果底数和真数一个在 中,一个在 中,那么对数的值为负数
例如: 等
2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数(如 0,1)的大小关系,一作图,自明了
3、比较大小的两个理念:
(1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的
单调性,判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某
一部分相同的情况
例如: ,比较时可进行转化,尽管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同
,从而只需比较底数的大小即可
(2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分,
然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有
一 些 题 目 需 要 选 择 特 殊 的 常 数 对 所 比 较 的 数 的 值 进 行 估 计 , 例 如 , 可 知
,进而可估计 是一个 1 点几的数,从而便于比较
4、常用的指对数变换公式:
(1)
(2)
(3)
(4)换底公式:
进而有两个推论: (令 )
0,1 1,
0,1 1,
0,1 1,
3 0.5 2log 0.5 0,log 0.3 0,log 3 0
1 1 1
3 4 23 ,4 ,5
1 1 11 1 1
4 3 63 4 212 12 123 3 ,4 4 ,5 5
2log 3
2 2 21 log 2 log 3 log 4 2 2log 3
nm
m na a
log log loga a aM N MN log log loga a a
MM N N
log log 0, 1, 0n
a aN n N a a N
loglog log
c
a
c
bb a
1log loga
b
b a c b log logm
n
aa
nN Nm
二、典型例题:
例 1:设 ,则 的大小关系是______________
思路:可先进行 分堆,可判断出 ,从而 肯定最大,只需比较
即可,观察到 有相同的结构:真数均带有根号,抓住这个特点,利用对数公式进行变换:
,从而可比较出 ,所以
答案:
例 2:设 ,则 的大小关系是___________
思路:观察发现 均在 内, 的真数相同,进而可通过比较底数得到大小关系:
,在比较和 的大小,由于 是指数,很难直接与对数找到联系,考虑估计 值得
大小: ,可考虑以 为中间量,则 ,进而
,所以大小顺序为
答案:
例 3:设 则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
思路:观察到 都是以 为底的对数,所以将其系数“放”进对数之中,再进行真数的比
较。 发现真数的底与指数也不相同,所以依
然考虑“求同存异”,让三个真数的指数一致: ,通过
比较底数的大小可得:
答案:C
小炼有话说:(1)本题的核心处理方式就是“求同存异”,将三个数变形为具备某相同的部
分,从而转换比较的对象,将“无法比较”转变为“可以比较”
(2)本题在比较指数幂时,底数的次数较高,计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个
数 两 两 进 行 比 较 , 从 而 减 少 底 数 的 指 数 便 于 计 算 。 例 如 可 以 先 比 较
,从而 ,同理再比较 或 即可
例 4:设 , , ,则( )
A. B. C. D.
思路:观察可发现:
,所以可得:
3 2 3log , log 3, log 2a b c , ,a b c
0,1 1,0 b 1,0 c 1a a ,b c
,b c
2 2 3 3
1 1log 3 log 3, log 2 log 22 2b c 3 2log 2 1 log 3 c b
c b a
1
2
3log 2, ln 2, 5a b c
, ,a b c
, ,a b c 0,1 ,a b
a b c c , ,a b c
1
2 1 1 15 25 4
c
1
2 3 3
1log 2 log 3 2a
1
2a c b a c
b a c
ln2 ln3 ln5, , ,2 3 5a b c , ,a b c
a b c a c b b a c b c a
, ,a b c e
1 11
3 52ln2 ln3 ln5ln2 , ln3 , ln5 ,2 3 5a b c
1 11 1 1 1
15 10 63 52 30 30 302 2 ,3 3 ,5 5
b a c
, :a b
11 1 1
3 232 6 62 = 2 ,3 = 3 a b ,a c ,b c
6log3a 10log5b 14log7c
abc b c a a c b a b c
3 3 5 5 7 7log 3 2 1 log 2, log 5 2 1 log 2, log 7 2 1 log 2a b c
3 5 7log 2 log 2 log 2 a b c
答案:D
例 5:设 则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
思路:观察可发现 的底数相同, 的指数相同,进而考虑先进行这两轮的比较。对于 ,
两者底数在 ,则指数越大,指数幂越小,所以可得 ,再比较 ,两者指数相同,
所以底数越大,则指数幂越大,所以 ,综上:
答案:B
例 6:已知三个数 ,则它们之间的大小关系是( )
A. B. C. D.
思路:可先进行 分组, , ,所以只需比较 大小,两者都介于
之间且一个是对数,一个是三角函数,无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。
以 作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。 ,而
,从而 ,大小顺序为
答案:A
小炼有话说:在寻找中间量时可以以其中一个为入手点,由于非特殊角的三角函数值可用特
殊角三角函数值估计值的大小,所以本题优先选择 作为研究对象。
例 7:(2015 甘肃河西三校第一次联考)设 ,则( )
A. B. C. D.
思路:首先进行 分组,可得 ,下面比较 的大小,可以考虑以 作为中间量,
,所以 ,从而
答案:D
例 8:设 且 ,则 的大小关系是
( )
A. B. C. D.
思 路 : 由 可 得 : , 先 用 将 分 堆 , ,
,则 为最大,只需要比较 即可,由于 的底数与真数不同,考虑进行适当变
形并寻找中间量。 ,而 ,因
为 ,所以 ,所以顺序为
2 3 2
5 5 53 2 2, , ,5 5 5a b c
, ,a b c
a b c a c b b a c b c a
,b c ,a c ,b c
0,1 b c ,a c
a c a c b
0.5
3
33 , log 2, cos 2a b c
c b a c a b a b c b c a
0,1 0.53 1a 0 , 1b c ,b c 0,1
3cos 2
3 3 1cos cos2 3 2 3 2
3 3
1log 2 log 3 2 1
2c b c b a
c
1.1 3.1
3log 7, 2 , 0.8a b c
b a c a c b c b a c a b
0,1 1 ,c a b ,a b 2
1.1
3 32 2, log 7 log 9 2b a 2a b c a b
0, 1a b a b 11 1
1 , log , log
b
ba b
x y ab z aa
, ,x y z
y x z z y x y z x x y z
0, 1a b a b 10 12b a 0,1 , ,x y z 0x
, 0y z x ,y z ,y z
11 1log log log 1a b
ab aba b
y ab ab ab
1log logb
b
z a a
0 1b log log 1, log 1b b ba b z a y y z x
答案:C
例 9:下列四个数: 的大小顺序为________
思路:观察发现 ,其余均为正。所以只需比较 ,考虑 ,所
以 ,而 ,所以下一步比较 :
,所以 ,综上所述,大
小顺序为
答案:
例 10:已知 均为正数,且 ,则( )
A. B. C. D.
思路:本题要通过左右相等的条件,以某一侧的值作为突破口,去推断 的范围。首先观
察等式左侧,左侧的数值均大于 0,所以可得: 均大于 0,由对数的符号
特点可得: ,只需比较 大小即可。观察到 ,从而
,所以顺序为
答案:A
小炼有话说:本题也可用数形结合的方式比较大小,观察发现前两个等式右侧为 的
形式,而第三个等式也可变形为 ,从而可以考虑视 分别为两
个函数的交点。先作出 图像,再在这个坐标系中作出 ,
比较交点的位置即可。
2ln2 , ln ln2 , ln 2, ln2a b c d
ln ln2 0b , ,a c d ln2 0,1
a d 1ln 2 ln22c d ,a c
2 1 1ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 ln 02 2a c e
a c
b c a d
b c a d
, ,a b c 1 1 2
2 2
1 12 log , log , log2 2
b c
a a b c
a b c c b a c a b b a c
, ,a b c
1 1 2
2 2
log ,log ,loga b c
, 0,1 , 1a b c ,a b 12 1 2
b
a
1 1
2 2
log loga b a b a b c
1
2
logy x
2 1
2
1 log log2
c
c c
, ,a b c
1
2
logy x 1 12 , ,2 2
x x
xy y y