2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第29练 12页

第29练　压轴小题突破练(1)‎ ‎[明晰考情]　高考选择题的12题位置、填空题的16题位置，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目.‎ 考点一　与函数、不等式有关的压轴小题 方法技巧　本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点、参数的范围和通过函数性质求解不等式.解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用.‎ ‎1.(2018·西宁模拟)偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若函数g(x)＝f(x)－|lg x|，则g(x)在(0，10)上的零点个数为(　　)‎ A.11 B.10‎ C.9 D.8‎ 答案　B 解析　由题意g(x)＝f(x)－|lg x|＝ ‎∵f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x)＝f(x＋2)，故f(x)是周期函数，且T＝2，‎ 又函数f(x)是R上的偶函数，‎ ‎∴f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，当x>0时，在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝|lg x|的图象，如图所示.‎ 由图象知函数g(x)的零点个数为10.‎ ‎2.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，∀x∈R，有f(－x)＋f(x)＝x2，且在(0，＋∞)上，f′(x)＜x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，则实数m的取值范围为(　　)‎ A.[－2，2] B.[2，＋∞)‎ C.[0，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ 答案　B 解析　令g(x)＝f(x)－x2，‎ 则g(x)＋g(－x)＝0，函数g(x)为奇函数，在区间(0，＋∞)上，‎ g′(x)＝f′(x)－x＜0，且g(0)＝0，‎ 则函数g(x)是R上的单调递减函数，‎ 故f(4－m)－f(m)＝g(4－m)＋(4－m)2－g(m)－m2‎ ‎＝g(4－m)－g(m)＋8－4m≥8－4m，‎ 据此可得g(4－m)≥g(m)，∴4－m≤m，解得m≥2.‎ ‎3. 已知函数f(x)＝2x－(x<0)与g(x)＝log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－) B.(－∞，)‎ C.(－∞，2) D. 答案　B 解析　 由f(x)关于y轴对称的函数为h(x)＝f(－x)＝2－x－(x>0)，‎ 令h(x)＝g(x)，得2－x－＝log2(x＋a)(x>0)，‎ 则方程2－x－＝log2(x＋a)在(0，＋∞)上有解，‎ 作出y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象，如图所示，‎ 当a≤0时，函数y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意；‎ 若a>0，两函数在(0，＋∞)上必有交点，则log2a<，解得00，且m≠1)是“成功函数”，则实数t的取值范围为________.‎ 答案　 解析　无论m>1还是00)，则mx＋2t＝可化为2t＝λ－λ2＝－2＋，结合图形(图略)可得t∈.‎ 考点二　与数列有关的压轴小题 方法技巧　数列与函数的交汇、数列与不等式的交汇问题是高考的热点.解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化，确定数列的通项或前n项和，利用函数的性质、图象求解最值问题，不等关系或恒成立问题.‎ ‎5.(2018·浙江 )已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，若a1＞1，则(　　)‎ A.a1＜a3，a2＜a4 B.a1＞a3，a2＜a4‎ C.a1＜a3，a2＞a4 D.a1＞a3，a2＞a4‎ 答案　B 解析　构造不等式ln x≤x－1，‎ 则a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，‎ 所以a4＝a1·q3≤－1.由a1＞1，得q＜0.‎ 若q≤－1，则ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)·(1＋q2)≤0.‎ 又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1＞1，‎ 所以ln(a1＋a2＋a3)＞0，矛盾.‎ 因此－1＜q＜0.‎ 所以a1－a3＝a1(1－q2)＞0，a2－a4＝a1q(1－q2)＜0，‎ 所以a1＞a3，a2＜a4.‎ 故选B.‎ ‎6.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)＝axg(x)(a>0，且a≠1)，＋＝，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为(　　)‎ A.6 B.7‎ C.8 D.9‎ 答案　A 解析　∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，‎ ‎∴f′(x)g(x)－f(x)·g′(x)>0，又g(x)≠0，‎ ‎∴′＝>0，‎ 从而可得＝ax单调递增，从而可得a>1，‎ ‎∵＋＝a＋a－1＝，∴a＝2，‎ 故＋＋…＋＝a＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2>62，‎ ‎∴2n＋1>64，即n＋1>6，n>5，n∈N*，‎ ‎∴nmin＝6，故选A.‎ ‎7.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*).若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)‎ A.λ> B.λ> C.λ< D.λ< 答案　D 解析　由an＋1＝，得＝＋1，即＋1＝2，所以是以＋1为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2n－1＝2n，所以bn＋1＝(n－2λ)·2n.因为数列{bn}是单调递增数列，‎ 所以当n≥2时，由bn＋1>bn，得(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1，解得n>2λ－1，即2>2λ－1，所以λ<；当n＝1时，由b2>b1得(1－2λ)·2>－λ，解得λ<，因此λ<，故选D.‎ ‎8.已知函数f(x)＝x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12，且f(a2－4)＝f(2a－8)，设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若Sn＝f(n)，则的最小值为________.‎ 答案　 解析　由题意可得a2－4＝2a－8或a2－4＋2a－8＝2×，解得a＝1或a＝－4.‎ 当a＝1时，f(x)＝x2＋9x－10，数列{an}不是等差数列；‎ 当a＝－4时，f(x)＝x2＋4x，Sn＝f(n)＝n2＋4n，‎ ‎∴a1＝5，a2＝7，an＝5＋(7－5)(n－1)＝2n＋3，‎ ‎∴＝＝× ‎＝×≥＝＋1，‎ 当且仅当n＋1＝，即n＝－1(舍负)时取等号，‎ ‎∵n为正整数，2<－1<3，当n＝2时，＝；当n＝3时，＝，故当n＝3时原式取最小值.‎ 考点三　与立体几何有关的压轴小题 方法技巧　空间几何体中的线面关系、表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解题时要明确几何体的形状，可以适当进行分割；空间几何体的截面及最值问题解决的关键是画出正确的截面，把空间问题转化为平面问题处理.‎ ‎9.如图为某几何体的三视图，则其体积为(　　)‎ A.＋4 B. C.＋4 D.π＋ 答案　D 解析　由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面，顶点P在半圆柱 所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P在AB上的射影为底面的圆心O.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，‎ 故其体积V1＝πr2h＝π×12×2＝π；‎ 四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，‎ PO⊥底面ABCD，且PO＝r＝1.‎ 故其体积V2＝S正方形ABCD×PO＝×22×1＝.‎ 故该几何体的体积V＝V1＋V2＝π＋.‎ ‎10.(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等.‎ 取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×××sin 60°＝.‎ 故选A.‎ ‎11.已知四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，其中ABCD为正方形，△PAD为等腰直角三角形，PA＝PD＝，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为(　　)‎ A.10π B.4π C.16π D.8π 答案　D 解析　因为△PAD为等腰直角三角形，PA＝PD＝，故AD＝AB＝2，‎ 则点P到平面ABCD的距离为1，而底面正方形的中心O到边AD的距离也为1，则顶点P到正方形中心O的距离PO＝，正方形的外接圆的半径为，故正方形ABCD的中心是球心，且球的半径为，所以该几何体外接球的表面积S＝4π×2＝8π，故选D.‎ ‎12.(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________.‎ 答案　40π 解析　如图，‎ ‎∵SA与底面所成角为45°，‎ ‎∴△SAO为等腰直角三角形.‎ 设OA＝r，‎ 则SO＝r，SA＝SB＝r.‎ 在△SAB中，cos∠ASB＝，‎ ‎∴sin∠ASB＝，‎ ‎∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB＝(r)2·＝5，‎ 解得r＝2，‎ ‎∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，‎ ‎∴S圆锥侧＝πr·l＝π×2×4＝40π.‎ ‎1.(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于(　　)‎ A.－50 B.0 C.2 D.50‎ 答案　C 解析　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(1－x)＝－f(x－1).∵f(1－x)＝f(1＋x)，‎ ‎∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)是周期为4的周期函数.‎ 由f(x)为奇函数及其定义域为R得f(0)＝0.‎ 又∵f(1－x)＝f(1＋x)，‎ ‎∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，‎ ‎∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.‎ 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.‎ ‎2.已知实数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围为(　　)‎ A.(－∞，－2] B.[1，＋∞)‎ C.[－2，1] D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)‎ 答案　A 解析　设m＝f(x)，作出函数f(x)的图象，如图所示，‎ 则当m≥1时，m＝f(x)有两个根，当m<1时，m＝f(x)有一个根.若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则等价为m2＋m＋t＝0有两个不同的实数根m1，m2，且m1≥1，m2＜1.当m＝1时，t＝－2，此时由m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2，f(x)＝1有两个根，f(x)＝－2有一个根，满足条件；当m≠1时，设h(m)＝m2＋m＋t，其对称轴为m＝－，则需h(1)<0即可，即1＋1＋t<0，解得t<－2.综上实数t的取值范围为t≤－2，故选A.‎ ‎3.(2018·兰州模拟)已知f(x)是定义在R上的可导函数，若在R上3f(x)>f′(x)恒成立，且f(1)＝e3(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是(　　)‎ A.f(0)＝1 B.f(0)<1‎ C.f(2)e6‎ 答案　C 解析　设g(x)＝，则g′(x)＝＝.‎ ‎∵在R上3f(x)>f′(x)恒成立，‎ ‎∴g′(x)<0在R上恒成立，即g(x)在R上为减函数，‎ ‎∴g(0)＝＝f(0)>g(1)＝，‎ ‎∵f(1)＝e3，‎ ‎∴f(0)>1，故A，B不正确.‎ ‎∵g(2)＝