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- 2021-06-24 发布
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[基础题组练]
1.(2020·丽水模拟)倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是( )
A.x-y+1=0 B.x-y-=0
C.x+y-=0 D.x+y+=0
解析:选D.由于倾斜角为120°,故斜率k=-.又直线过点(-1,0),所以方程为y=-(x+1),即x+y+=0.
2.已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为( )
A.y=x+2 B.y=x-2
C.y=x+ D.y=-x+2
解析:选A.因为直线x-2y-4=0的斜率为,
所以直线l在y轴上的截距为2,
所以直线l的方程为y=x+2.
3.直线xsin 2-ycos 2=0的倾斜角的大小是( )
A.- B.-2
C. D.2
解析:选D.因为直线xsin 2-ycos 2=0的斜率k==tan 2,所以直线的倾斜角为2.
4.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+表示的直线是( )
解析:选C.因为x<0时,ax>1,所以0<a<1.
则直线y=ax+的斜率0<a<1,
在y轴上的截距>1.故选C.
5.(2020·温州质检)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ
的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为( )
A. B.-
C.- D.
解析:选B.依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为=-.
6.过点(5,2),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A.2x+y-12=0
B.2x+y-12=0或2x-5y=0
C.x-2y-1=0
D.x-2y-1=0或2x-5y=0
解析:选B.当直线过原点时,由直线过点(5,2),可得直线的斜率为,故直线的方程为y=x,即2x-5y=0.当直线不过原点时,设直线在x轴上的截距为k(k≠0),则在y轴上的截距是2k,直线的方程为+=1,把点(5,2)代入可得+=1,解得k=6.故直线的方程为+=1,即2x+y-12=0.
7.过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为________.
解析:设所求直线的斜率为k,依题意
k=-×3=-.
又直线经过点A(-1,-3),
因此所求直线方程为y+3=-(x+1),
即3x+4y+15=0.
答案:3x+4y+15=0
8.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.
解析:因为kAC==1,kAB==a-3.
由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
答案:4
9.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.
解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,
如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时b分别取得最小值和最大值.
所以b的取值范围是[-2,2].
答案:[-2,2]
10.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为________________.
解析:设所求直线的方程为+=1,
因为A(-2,2)在直线上,所以-+=1.①
又因为直线与坐标轴围成的三角形面积为1,
所以|a|·|b|=1.②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程组(2)无解.
故所求的直线方程为+=1或+=1,
即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.
答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0
11.设直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:
(1)直线l的斜率为1;
(2)直线l在x轴上的截距为-3.
解:(1)因为直线l的斜率存在,所以m≠0,
于是直线l的方程可化为y=-x+.
由题意得-=1,解得m=-1.
(2)法一:令y=0,得x=2m-6.
由题意得2m-6=-3,解得m=.
法二:直线l的方程可化为x=-my+2m-6.由题意得2m-6=-3,解得m=.
12.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
解:由l的方程,得A,B(0,1+2k).
依题意得
解得k>0.
因为S=·|OA|·|OB|
=··|1+2k|
=·=
≥×(2×2+4)=4,
“=”成立的条件是k>0且4k=,
即k=,所以Smin=4,
此时直线l的方程为x-2y+4=0.
[综合题组练]
1.(2020·富阳市场口中学高三质检)已知点A(2,-3)、B(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.k≥或k≤-4 B.k≥或k≤-
C.-4≤k≤ D.≤k≤4
解析:选A.如图所示,由题意得,所求直线l的斜率k满足k≥kPB或k≤kPA,即k≥或k≤-4,故选A.
2.已知动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则+的最小值为( )
A. B.
C.1 D.9
解析:选B.因为动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0,又Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,所以=3,解得m=0,所以a+c=2,则+=(a+c)·=≥=,当且仅当c=2a=时取等号,故选B.
3.(2020·金丽衢十二校高考模拟)直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点________,P(1,1)到该直线的距离的最大值为________.
解析:直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)即λ(y-3)+x+2=0,令,解得x=-2,y=3.
所以直线l恒过定点Q(-2,3),
P(1,1)到该直线的距离最大值为|PQ|==.
答案:(-2,3)
4.直线l的倾斜角是直线4x+3y-1=0的倾斜角的一半,若l不过坐标原点,则l在x轴上与y轴上的截距之比为________.
解析:设直线l的倾斜角为θ.所以tan 2θ=-.
=-,所以tan θ=2或tan θ=-,
由2θ∈[0°,180°)知,θ∈[0°,90°).
所以tan θ=2.
又设l在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b.
所以tan θ=-.即=-=-.
答案:-
5.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
解:由题意可得kOA=tan 45°=1,
kOB=tan(180°-30°)=-,
所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.
设A(m,m),B(-n,n),
所以AB的中点C,
由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得
解得m=,所以A(,).
又P(1,0),所以kAB=kAP==,
所以lAB:y=(x-1),
即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
6.为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?
解:如图所示,建立平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),
所以直线EF的方程为+=1(0≤x≤30).
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时,可取最大值,
在线段EF上取点P(m,n),作PQ⊥BC于点Q,
PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,
则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又+=1(0≤m≤30),所以n=20-m.
所以S=(100-m)
=-(m-5)2+(0≤m≤30).
所以当m=5时,S有最大值,这时=5∶1.
所以当矩形草坪的两边在BC,CD上,一个顶点在线段EF上,且这个顶点分有向线段EF成5∶1时,草坪面积最大.