2018届二轮复习用空间向量的方法解立体几何问题课件理（全国通用） 155页

第三讲 　 用空间向量的方法解立体几何问题 　 【 知识回顾 】 1. 线、面的位置关系与向量的关系 设直线 l ， m 的方向向量分别为 a =(a 1 ， b 1 ， c 1 ) ， b =(a 2 ， b 2 ， c 2 ). 平面 α ， β 的法向量分别为 =(a 3 ， b 3 ， c 3 ) ， =(a 4 ， b 4 ， c 4 ). ① l ∥m ⇔ a ∥ b ⇔ a =k b ⇔ _____________________ ； ② l ⊥m ⇔ a ⊥ b ⇔ a · b =__ ⇔ _______________ ； ③ l ∥α ⇔ a ⊥ ⇔ a · =__ ⇔ _______________ ； ④ l ⊥α ⇔ a ∥ ⇔ a =k ⇔ _____________________ ； a 1 =ka 2 ， b 1 =kb 2 ， c 1 =kc 2 0 a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 =0 0 a 1 a 3 +b 1 b 3 +c 1 c 3 =0 a 1 =ka 3 ， b 1 =kb 3 ， c 1 =kc 3 ⑤ α∥β ⇔ ∥ ⇔ =k ⇔ _______________ ______ ； ⑥ α⊥β ⇔ ⊥ ⇔ · =__ ⇔ _______________ . a 3 =ka 4 ， b 3 =kb 4 ， c 3 =kc 4 0 a 3 a 4 +b 3 b 4 +c 3 c 4 =0 2. 三种空间角与空间向量的关系 (1) 设 a ， b 分别为异面直线 a ， b 的方向向量，则两异面 直线所成的角 θ 满足 cosθ =__________. (2) 设 l 是斜线 l 的方向向量， n 是平面 α 的法向量，则斜 线 l 与平面 α 所成的角 θ 满足 sinθ =________. (3) 二面角 ①如图 (Ⅰ) ， AB ， CD 是二面角 α- l - β 的两个半平面内 与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ= ________; ② 如图 (Ⅱ)(Ⅲ) ， n 1 ， n 2 分别是二面角 α- l -β 的两个 半平面 α ， β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cosθ = ________________________. - cos < n 1 ， n 2 > 或 cos < n 1 ， n 2 > 3. 直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1) 直线的方向向量：在直线上任取一已知 _____ 向量 即可作为它的方向向量 . (2) 平面的法向量：可利用方程组求出 . 设 a ， b 是平面 α 内两不共线已知向量， n 为平面 α 的法向量，则求法 向量的方程组为 _______. 非零 【 易错提醒 】 1. 忽视判定定理的条件致误：利用空间向量证明空间平行、垂直关系时，需转化为证明其所在方向向量、法向量的平行、垂直，但一定要交待清楚涉及向量所在的直线、平面是否满足判定定理的条件，如证明 l ∥α ，需证明 l 的方向向量 l 与平面的法向量 n 垂直，但一定要交待 l ⊄ α 这一条件 . 2. 忽视角的范围致误：应用空间向量求空间角时，忽 视异面直线所成角的范围为 ；直线与平面所成角 的范围为 ，二面角范围为 [0 ， π]. 3. 混淆空间角与向量的夹角致误：异面直线所成的角应是其方向向量的夹角或其补角；二面角应是其法向量的夹角或其补角 . 4. 不能准确掌握利用空间向量求直线与平面所成角的 公式致误：空间向量求直线与平面所成的角公式是 sinθ = ，而非 cosθ = . 【 考题回访 】 1.(2014· 全国卷 Ⅱ) 直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，∠ BCA= 90° ， M ， N 分别为 A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中点 .BC=CA=CC 1 ，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 由题意，以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 令 BC=CA=CC 1 =2 ，则 C(0 ， 0 ， 0) ， A(0 ， 2 ， 0) ， B(2 ， 0 ， 0) ， A 1 (0 ， 2 ， 2) ， B 1 (2 ， 0 ， 2) ， C 1 (0 ， 0 ， 2). 因为 M ， N 分别为 A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中点， 所以 M(1 ， 1 ， 2) ， N(0 ， 1 ， 2) ， 这时 所以 所以 BM 与 AN 所成角的余弦值为 2.(2016· 北京高考 ) 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD ， PA⊥PD ， PA=PD ， AB⊥AD ， AB=1 ， AD=2 ， AC=CD= . (1) 求证： PD⊥ 平面 PAB. (2) 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值 . (3) 在棱 PA 上是否存在点 M ，使得 BM// 平面 PCD ？若存 在，求 的值；若不存在，说明理由 . 【 解析 】 (1) 因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，交线为 AD ， AB ⊂ 平面 ABCD ， AB ⊥ AD ， 所以 AB⊥ 平面 PAD. 因为 PD ⊂ 平面 PAD ，所以 AB⊥PD. 又因为 PA⊥PD ， PA∩AB=A ， PA ， AB ⊂ 平面 PAB ， 所以 PD⊥ 平面 PAB. (2) 取 AD 中点 O ，连接 OP ， OC. 因为 PA=PD ，所以 OP⊥AD. 又因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，交线为 AD ， OP ⊂ 平面 PAD ， 所以 OP⊥ 平面 ABCD. 又因为 AC=CD ，所以 OC⊥AD. 因为 AB⊥AD ，所以 OC∥AB 且 OC=2AB. 如图，分别以 OC ， OA ， OP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建 立空间直角坐标系 .P(0 ， 0 ， 1) ， B(1 ， 1 ， 0) ， C(2 ， 0 ， 0) ， D(0 ， -1 ， 0). 设平面 PCD 的法向量为 n =(x ， y ， z) ， 则 所以 z=2x ， y=-2x. 令 x=1 得， n =(1 ， -2 ， 2). 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 (3) 方法一：过 B 作 BE∥AD ，交 OC 于 H ，交 CD 于 E. 因为 OC∥AB 且 OC=2AB ，所以 OH∥AB ， OH=AB ， BH=AO. 所以 H 为 OC 的中点 . 所以 EH∥OD ， EH= OD. 所以 BE= AD 且 BE∥AD. 在 PD ， PA 上分别取点 F ， M ，使得 PF= PD ， PM= PA ， 则 FM∥AD ， FM= AD. 所以 FM∥BE ， FM=BE. 所以四边形 BEFM 为平行四边形 . 所以 BM∥EF. 又因为 BM ⊄ 平面 PCD ， EF ⊂ 平面 PCD ，所以 BM∥ 平面 PCD. 因此，在棱 PA 上存在点 M ，使得 BM∥ 平面 PCD ，且 方法二：假设存在 M 点使得 BM∥ 面 PCD ，设 =λ ， M(0 ， y′ ， z′) ， 由 (2) 知 A(0 ， 1 ， 0) ， P(0 ， 0 ， 1) ， =(0 ， -1 ， 1) ， B(1 ， 1 ， 0) ， =(0 ， y′-1 ， z′) ，有 =λ ⇒ M(0 ， 1-λ ， λ) ， 所以 =(-1 ， -λ ， λ). 因为 BM∥ 面 PCD ， n 为面 PCD 的法向量，所以 ·n=0 ， 即 -1+2λ+2λ=0. 所以 λ= . 综上，存在 M 点，即当 时， M 点即为 所求 . 热点考向一 　利用空间向量证明空间平行、垂直关系 命题解读：主要考查建立空间直角坐标系、利用空间向量与空间平行、垂直的关系，证明空间线、面间的平行、垂直关系，以解答题为主 . 【 典例 1】 (2016· 厦门二模 ) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD ， AD⊥AB ， AB∥DC ， AD=DC=AP=2 ， AB=1 ，点 E 为棱 PC 的中点 . 证明： (1)BE⊥DC. (2)BE∥ 平面 PAD. (3) 平面 PCD⊥ 平面 PAD. 【 解题导引 】 【 规范解答 】 依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系 ( 如图 ) ，可得 B(1 ， 0 ， 0) ， C(2 ， 2 ， 0) ， D(0 ， 2 ， 0) ， P(0 ， 0 ， 2). 由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1 ， 1 ， 1). (1) 向量 故 所以 BE⊥DC. (2) 因为 AB⊥AD ，又 PA⊥ 平面 ABCD ， AB ⊂ 平面 ABCD ， 所以 AB⊥PA ， PA∩AD=A ，所以 AB⊥ 平面 PAD ， 所以向量 =(1 ， 0 ， 0) 为平面 PAD 的法向量， 而 =(0 ， 1 ， 1)·(1 ， 0 ， 0)=0 ，所以 BE⊥AB ， 又 BE ⊄ 平面 PAD ，所以 BE∥ 平面 PAD. (3) 由 (2) 知平面 PAD 的法向量 =(1 ， 0 ， 0) ，向量 设平面 PCD 的法向量为 n =(x ， y ， z) ， 则 即 不妨令 y=1 ，可得 n =(0 ， 1 ， 1) 为平面 PCD 的一个法向量 . 且 n · =(0 ， 1 ， 1)·(1 ， 0 ， 0)=0 ， 所以 n⊥ . 所以平面 PAD⊥ 平面 PCD. 【 易错警示 】 解答本题易出现三种错误 (1) 建系后，将相关点的坐标确定错，造成后面步步错 . (2) 在 (2) 中忽略 BE ⊄ 平面 PAD ，而致误 . (3) 将平面的法向量求错，而致误 . 【 规律方法 】 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 (1) 建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用条件中的垂直关系 . (2) 建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素 . (3) 通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系 . (4) 根据运算结果解释相关问题 . 【 题组过关 】 1.(2016· 黄石二模 ) 如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD ， E ， F 分别是 PC ， PD 的中点， PA=AB=1 ， BC=2. (1) 求证： EF∥ 平面 PAB. (2) 求证：平面 PAD⊥ 平面 PDC. 【 证明 】 以 A 为原点， AB ， AD ， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0 ， 0 ， 0) ， B(1 ， 0 ， 0) ， C(1 ， 2 ， 0) ， D(0 ， 2 ， 0) ， P(0 ， 0 ， 1) ， 所以 (1) 因为 所以 即 EF∥AB. 又 AB ⊂ 平面 PAB ， EF ⊄ 平面 PAB ， 所以 EF∥ 平面 PAB. (2) 因为 所以 即 AP⊥DC ， AD⊥DC. 又因为 AP∩AD=A ， AP ⊂ 平面 PAD ， AD ⊂ 平面 PAD ， 所以 DC⊥ 平面 PAD. 因为 DC ⊂ 平面 PDC ， 所以平面 PAD⊥ 平面 PDC. 2.(2016· 沈阳一模 ) 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，∠ ABC= 90° ， BC=2 ， CC 1 =4 ，点 E 在线段 BB 1 上，且 EB 1 =1 ， D ， F ， G 分别为 CC 1 ， C 1 B 1 ， C 1 A 1 的中点 . 求证： (1)B 1 D⊥ 平面 ABD. (2) 平面 EGF∥ 平面 ABD. 【 证明 】 (1) 以 B 为坐标原点， BA ， BC ， BB 1 所在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则 B(0 ， 0 ， 0) ， D(0 ， 2 ， 2) ， B 1 (0 ， 0 ， 4) ， C 1 (0 ， 2 ， 4) ， 设 BA=a ，则 A(a ， 0 ， 0) ， 所以 即 B 1 D⊥BA ， B 1 D⊥BD. 又 BA∩BD=B ， BA ， BD ⊂ 平面 ABD ， 因此 B 1 D⊥ 平面 ABD. (2) 由 (1) 知， E(0 ， 0 ， 3) ， G F(0 ， 1 ， 4) ， 则 即 B 1 D⊥EG ， B 1 D⊥EF. 又 EG∩EF=E ， EG ， EF ⊂ 平面 EGF ， 因此 B 1 D⊥ 平面 EGF. 结合 (1) 可知平面 EGF∥ 平面 ABD. 【 加固训练 】 1. 如图，在直三棱柱 ADE - BCF 中，平面 ABFE 和平面 ABCD 都是正方形且互相垂直， M 为 AB 的中点， O 为 DF 的中点 . 运用向量方法证明： (1)OM∥ 平面 BCF. (2) 平面 MDF⊥ 平面 EFCD. 【 证明 】 由题意，得 AB ， AD ， AE 两两垂直，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 . 设正方形边长为 1 ，则 A(0 ， 0 ， 0) ， B(1 ， 0 ， 0) ， C(1 ， 1 ， 0) ， D(0 ， 1 ， 0) ， F(1 ， 0 ， 1) ， 则 所以 OM⊥BA. 因为棱柱 ADE - BCF 是直三棱柱， 所以 AB⊥ 平面 BCF ， 所以 是平面 BCF 的一个法向量， 且 OM ⊄ 平面 BCF ，所以 OM∥ 平面 BCF. (2) 设平面 MDF 与平面 EFCD 的法向量分别为 n 1 =(x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， n 2 =(x 2 ， y 2 ， z 2 ). 因为 由 得 令 x 1 =1 ，则 n 1 = 同理可得 n 2 =(0 ， 1 ， 1). 因为 n 1 · n 2 =0 ，所以平面 MDF⊥ 平面 EFCD. 2. 如图所示，平面 PAC⊥ 平面 ABC ，△ ABC 是以 AC 为斜边 的等腰直角三角形， E ， F ， O 分别为 PA ， PB ， AC 的中点， AC=16 ， PA=PC=10. (1) 设 G 是 OC 的中点，证明： FG∥ 平面 BOE. (2) 证明：在△ ABO 内存在一点 M ， 使 FM⊥ 平面 BOE. 【 证明 】 (1) 如图所示，连接 OP ， 因为 PA=PC ，所以 OP⊥AC ， 因为平面 PAC⊥ 平面 ABC ， 所以 OP⊥ 平面 ABC ， OP⊥OB ， 又因为△ ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，所以 OB⊥AC. 以 O 为坐标原点，分别以 OB ， OC ， OP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O(0 ， 0 ， 0) ， A(0 ， -8 ， 0) ， B(8 ， 0 ， 0) ， C(0 ， 8 ， 0) ， P(0 ， 0 ， 6) ， E(0 ， -4 ， 3) ， F(4 ， 0 ， 3) ， 由题意得， G(0 ， 4 ， 0) ，因为 因此平面 BOE 的一个法向量 n =(0 ， 3 ， 4) ， =(-4 ， 4 ， -3) ，得 n · =0 ， 又直线 FG 不在平面 BOE 内，因此有 FG∥ 平面 BOE. (2) 设点 M 的坐标为 (x 0 ， y 0 ， 0) ， 则 =(x 0 -4 ， y 0 ， -3) ， 因为 FM⊥ 平面 BOE ，所以有 ∥ n ， 因此有 x 0 =4 ， y 0 = 即点 M 的坐标为 △ AOB 的内部区域可表示为不等式组 经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组， 所以，在△ ABO 内存在一点 M ，使 FM⊥ 平面 BOE. 热点考向二 　利用空间向量计算空间角 命题解读：主要考查以具体几何体为载体，建立恰当的空间直角坐标系，计算或应用异面直线所成角、线面角、二面角的大小，三种题型均有可能出现 . 命题角度一　利用空间向量计算异面直线所成角或线 面角 【 典例 2】 (1)(2016· 郑州二模 ) 如图，在直 三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中， AB=BC=CC 1 =2 ， AC=2 ， M 是 AC 的中点，则异面直线 CB 1 与 C 1 M 所成角的 余弦值为 ________. (2)(2016· 全国卷 Ⅲ) 如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD ， AD∥BC ， AB=AD=AC=3 ， PA=BC=4 ， M 为线段 AD 上一点， AM=2MD ， N 为 PC 的中点 . ① 证明： MN∥ 平面 PAB. ② 求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 . 【 解题导引 】 (1) 以 M 为原点， MA 为 x 轴， MB 为 y 轴，过 M 作 AC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 CB 1 与 C 1 M 所成角的余弦值 . (2)① 利用线面平行的判定定理证明 . ② 以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值 . 【 规范解答 】 (1) 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中， AB=BC=CC 1 =2 ， AC=2 ， M 是 AC 的中点， 所以 BM⊥AC ， BM= =1. 以 M 为原点， MA 为 x 轴， MB 为 y 轴，过 M 作 AC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 设异面直线 CB 1 与 C 1 M 所成角为 θ ， 则 所以异面直线 CB 1 与 C 1 M 所成角的余弦值为 答案： (2)①(1) 由已知得 AM= AD=2 ，取 BP 的中点 T ，连接 AT ， TN ， 由 N 为 PC 中点知 TN∥BC ， TN= BC=2. 又 AD∥BC ，故 TN∥AM ， TN=AM ，四边形 AMNT 为平行四 边形，于是 MN∥AT. 因为 AT ⊂ 平面 PAB ， MN ⊄ 平面 PAB ，所以 MN∥ 平面 PAB. ② 取 BC 的中点 F ，连接 AF. 由 AB=AC 得 AF⊥BC ，从而 AF⊥AD 且 AF= 以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向， 的方向 为 y 轴的正方向， 的方向为 z 轴的正方向，建立空间 直角坐标系，由题意可得 所以 设 n =(x ， y ， z) 为平面 PMN 的法向量， 则 即 可取 所以 所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 命题角度二　利用空间向量计算二面角 【 典例 3】 (2016· 宜宾二模 ) 如图 1 ，在矩形 ABCD 中， AB= ， BC=4 ， E 是边 AD 上一点，且 AE=3 ，把△ ABE 沿 BE 翻折，使得点 A 到 A′ 满足平面 A′BE 与平面 BCDE 垂直 ( 如图 2). (1) 若点 P 在棱 A′C 上，且 CP=3PA′ ，求证： DP∥ 平面 A′BE. (2) 求二面角 B-A′E-D 的余弦值的大小 . 【 解题导引 】 (1) 若点 P 在棱 A ′ C 上，且 CP=3PA ′ ，根据线面平行的判定定理即可证明 DP ∥ 平面 A ′ BE. (2) 充分利用题设中垂直关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角 B-A′E-D 的余弦值的大小 . 【 规范解答 】 (1) 在图 2 中，过 P 作 PQ ∥ BC 交 A ′ B 于点 Q. 因为 CP=3PA′ ，所以 因为 BC=4 ，所以 PQ=1 ， 因为 DE∥BC ， DE=1 ，所以 DE