2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第十二章　第1讲　数系的扩充与复数的引入 13页

第 1 讲　数系的扩充与复数的引入 一、知识梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是 a，虚部是 b． (2)复数的分类 复数 z＝a＋bi(a，b∈R){实数（b＝0）， 虚数（b ≠ 0）{纯虚数（a＝0，b ≠ 0）， 非纯虚数（a ≠ 0，b ≠ 0）. (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c 且 b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量OZ → 的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0， a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ → ． 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：z1 z2＝a＋bi c＋di＝ （a＋bi）（c－di） （c＋di）（c－di）＝ac＋bd c2＋d2 ＋bc－ad c2＋d2 i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋ z3＝z1＋(z2＋z3)． 常用结论 1．三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d∈R 的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若 z1，z2 ∈C，z21＋z22＝0，就不能推出 z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立． 2．复数代数运算中常用的三个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i＝i；1－i 1＋i＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N+. 二、教材衍化 1．设复数 z 满足1＋z 1－z＝i，则|z|＝________． 解析：1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1， z＝ i－1 1＋i＝ －（1－i）2 2 ＝i，所以|z|＝|i|＝1. 答案：1 2．在复平面内，向量AB → 对应的复数是 2＋i，向量CB → 对应的复数是－1－3i，则向量CA → 对应的复数是________． 解析：CA → ＝CB → ＋BA → ＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：－3－4i 3．若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为________． 解析：因为 z 为纯虚数，所以{x2－1＝0， x－1 ≠ 0，所以 x＝－1. 答案：－1 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a∈C，则 a2≥0.(　　) (2)已知 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 时，复数 z 为纯虚数．(　　) (3)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.(　　) (4)方程 x2＋x＋1＝0 没有解．(　　) (5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也 能比较大小．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ (1)对复数概念的理解有误； (2)复数的几何意义不清致误； (3)复数的运算方法不当致使出错； (4)z 与z的不清致误． 1．设 m∈R，复数 z＝m2－1＋(m＋1)i 表示纯虚数，则 m 的值为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 解析：选 A.由题意得{m2－1＝0， m＋1 ≠ 0，解得{m＝ ± 1 m ≠ －1. 所以 m＝1.故选 A. 2．在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点， 则点 C 对应的复数是(　　) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 解析：选 C.因为 A(6，5)，B(－2，3)，所以线段 AB 的中点 C(2，4)，则点 C 对应的复 数为 z＝2＋4i.故选 C. 3．若 a 为实数，且2＋ai 1＋i ＝3＋i，则 a＝________． 解析：由2＋ai 1＋i ＝3＋i，得 2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即 ai＝4i，因为 a 为实数，所以 a＝4. 答案：4 4．已知(1＋2i) z＝4＋3i，则 z＝________． 解析：因为z＝4＋3i 1＋2i＝ （4＋3i）（1－2i） （1＋2i）（1－2i）＝10－5i 5 ＝2－i，所以 z＝2＋i. 答案：2＋i 　　　　　　复数的有关概念(自主练透) 1．设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋b i为纯虚数”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C.因为复数 a＋b i＝a－bi 为纯虚数，所以 a＝0 且－b≠0，即 a＝0 且 b≠0.所 以“ab＝0”是“复数 a＋b i为纯虚数”的必要不充分条件，故选 C. 2．已知 i 为虚数单位，若复数 z＝ a 1－2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则 a＝　 (　　) A．－5 B．－1 C．－1 3 D．－5 3 解析：选 D.z＝ a 1－2i＋i＝ a（1＋2i） （1－2i）（1＋2i）＋i＝a 5＋2a＋5 5 i，因为复数 z＝ a 1－2i＋ i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－a 5＝2a＋5 5 ， 解得 a＝－5 3.故选 D. 3．已知 z 1－i＝2＋i，则z(z 的共轭复数)为(　　) A．－3－i B．－3＋i C．3＋i D．3－i 解析：选 C.由题意得 z＝(2＋i)(1－i)＝3－i， 所以z＝3＋i，故选 C. 4．设 z＝1－i 1＋i＋2i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 2 C．1 D． 2 解析：选 C.法一：因为 z＝1－i 1＋i＋2i＝ （1－i）2 （1＋i）（1－i）＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1， 故选 C. 法二：因为 z＝1－i 1＋i＋2i＝1－i＋2i（1＋i） 1＋i ＝ －1＋i 1＋i ，所以|z|＝|－1＋i 1＋i |＝|－1＋i| |1＋i| ＝ 2 2 ＝1，故选 C. 5．已知 a∈R，i 为虚数单位，若a－i 2＋i为实数，则 a 的值为________． 解析：因为a－i 2＋i＝ （a－i）（2－i） （2＋i）（2－i）＝2a－1－（a＋2）i 5 为实数，所以 a＋2＝0，即 a＝ －2. 答案：－2 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问 题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．　 　　　　　　复数的几何意义(自主练透) 1．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 解析：选 C.通解：因为 z 在复平面内对应的点为(x，y)， 所以 z＝x＋yi(x，y∈R)． 因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1， 所以 x2＋(y－1)2＝1.故选 C. 优解一：因为|z－i|＝1 表示复数 z 在复平面内对应的点(x，y)到点(0，1)的距离为 1，所 以 x2＋(y－1)2＝1.故选 C. 优解二：在复平面内，点(1，1)所对应的复数 z＝1＋i 满足|z－i|＝1，但点(1，1)不在选 项 A，D 的圆上，所以排除 A，D；在复平面内，点(0，2)所对应的复数 z＝2i 满足|z－i|＝1， 但点(0，2)不在选项 B 的圆上，所以排除 B.故选 C. 2．已知 i 为虚数单位，则复数 1－i 1＋2i的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 B. 1－i 1＋2i＝ （1－i）（1－2i） （1＋2i）（1－2i）＝ －1－3i 5 ，其共轭复数为－1 5＋3 5i，在复平面 内对应的点位于第二象限，故选 B. 3．已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 (　　) A．(－3，1) B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：选 A.由已知可得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以 {m＋3＞0， m－1＜0， 解得－3＜m＜1，故选 A. 4．设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i(i 为虚数单位)，则 z1z2＝ (　　) A．－5 B.5 C．－4＋i D．－4－i 解析：选 A.因为复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，所以 z2＝－ 2＋i，所以 z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5. 5．已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为 A， B，C，若OC → ＝λOA → ＋μOB → (λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值是________． 解析：由条件得OC → ＝(3，－4)，OA → ＝(－1，2)， OB → ＝(1，－1)， 根据OC → ＝λOA → ＋μ OB → 得 (3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以{－λ＋μ＝3， 2λ－μ＝－4，解得{λ＝－1， μ＝2， 所以 λ＋μ＝1. 答案：1 复数的几何意义及应用 (1)复数 z 与复平面上的点 Z 及向量OZ → 相互联系，即 z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ → . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何 联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　 　　　　　　复数代数形式的运算(自主练透) 1．(2019·高考全国卷Ⅲ)若 z(1＋i)＝2i，则 z＝(　　) A．－1－i　 B．－1＋i C．1－i　 D．1＋i 解析：选 D.z＝ 2i 1＋i＝ 2i（1－i） （1＋i）（1－i）＝2＋2i 2 ＝1＋i. 2.1＋2i 1－2i＝(　　) A．－4 5－3 5i B．－4 5＋3 5i C．－3 5－4 5i D．－3 5＋4 5i 解析：选 D.1＋2i 1－2i＝ （1＋2i）（1＋2i） （1－2i）（1＋2i）＝－3 5＋4 5i，故选 D. 3．设 i 为虚数单位，复数 z 满足 i(z＋1)＝1，则复数 z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 解析：选 C.由题意，得 z＝1 i－1＝－1－i，故选 C. 4．已知复数 z 满足 z＋|z|＝1＋i，则 z＝(　　) A．－i B．i C．1－i D．1＋i 解析：选 B.法一：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z＋|z|＝(a＋ a2＋b2)＋bi＝1＋i，所以 {a＋ a2＋b2＝1， b＝1， 解得{a＝0， b＝1，所以 z＝i，故选 B. 法二：把各选项代入验证，知选项 B 满足题意． 5．已知复数 z 的共轭复数为z，若z(1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则 z＝(　　) A．i B．i－1 C．－i－1 D．－i 解析：选 C.由已知可得z＝ 2i 1－i＝ 2i（1＋i） （1－i）（1＋i）＝－1＋i，则 z＝－1－i，故选 C. 6．已知 a 为实数，若复数 z＝(a2－1)＋(a＋1)i 为纯虚数，则a＋i2 020 1＋i ＝(　　) A．1 B．0 C．1＋i D．1－i 解析：选 D.z＝(a2－1)＋(a＋1)i 为纯虚数， 则有 a2－1＝0，a＋1≠0， 得 a＝1， 则有1＋i2 020 1＋i ＝1＋1 1＋i＝ 2（1－i） （1＋i）（1－i）＝1－i. 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类 同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂 写成最简形式．　 [基础题组练] 1．设 i 为虚数单位，则(－1＋i)(1＋i)＝(　　) A．2i B．－2i C．2 D．－2 解析：选 D.(－1＋i)(1＋i)＝－1－i＋i＋i2＝－1－1＝－2.故选 D. 2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 C.由题意，得z＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象 限，故选 C. 3．若复数 z＝ a 1＋i＋1 为纯虚数，则实数 a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选 A.因为复数 z＝ a 1＋i＋1＝ a（1－i） （1＋i）（1－i）＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a 2＋ 1＝0 且－a 2≠0，解得 a＝－2.故选 A. 4．已知复数 z 满足(1＋i)z＝2，则复数 z 的虚部为(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 解析：选 B.法一：因为(1＋i)z＝2，所以 z＝ 2 1＋i＝ 2（1－i） （1＋i）（1－i）＝1－i，则复数 z 的虚部为－1.故选 B. 法二：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋i)(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i＝2，{a－b＝2， a＋b＝0，解得 a＝ 1，b＝－1，所以复数 z 的虚部为－1.故选 B. 5．若复数 z 满足 z 1－i＝i，其中 i 为虚数单位，则共轭复数z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 解析：选 B.由题意，得 z＝i(1－i)＝1＋i，所以 z＝1－i，故选 B. 6．已知(1＋2 i )2 ＝a＋bi(a，b∈R，i 为虚数单位)，则 a＋b＝(　　) A．－7 B．7 C．－4 D．4 解析：选 A.因为(1＋2 i )2 ＝1＋4 i＋ 4 i2＝－3－4i， 所以－3－4i＝a＋bi，则 a＝－3，b＝－4， 所以 a＋b＝－7，故选 A. 7．已知 i 为虚数单位，则 （2＋i）（3－4i） 2－i ＝(　　) A．5 B．5i C．－7 5－12 5 i D．－7 5＋12 5 i 解析：选 A.法一： （2＋i）（3－4i） 2－i ＝10－5i 2－i ＝5，故选 A. 法二： （2＋i）（3－4i） 2－i ＝ （2＋i）2（3－4i） （2＋i）（2－i） ＝ （3＋4i）（3－4i） 5 ＝5，故选 A. 8．若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z|＝(　　) A．1 B．2 C. 2 D． 3 解析：选 C.因为 z＝ 2i 1＋i＝ 2i（1－i） （1＋i）（1－i）＝1＋i，所以|z|＝ 2.故选 C. 9．已知 a∈R，i 是虚数单位．若 z＝a＋ 3i，z·z＝4，则 a＝(　　) A．1 或－1 B． 7或－ 7 C．－ 3 D． 3 解析：选 A.法一：由题意可知z＝a－ 3i，所以 z·z＝(a＋ 3i)(a－ 3i)＝a2＋3＝4，故 a ＝1 或－1. 法二：z·z＝|z|2＝a2＋3＝4，故 a＝1 或－1. 10．设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则 z2－2 z＝(　　) A．1＋3i B．1－3i C．－1＋3i D．－1－3i 解析：选 C.因为 z＝1＋i，所以 z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，2 z＝ 2 1＋i＝ 2（1－i） （1＋i）（1－i） ＝2（1－i） 1－i2 ＝2（1－i） 2 ＝1－i，则 z2－2 z＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选 C. 11．若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为(　　) A．－4 B．－4 5 C．4 D．4 5 解析：选 D.因为|4＋3i|＝ 42＋32＝5，所以 z＝ 5 3－4i＝ 5（3＋4i） （3－4i）（3＋4i）＝3＋4i 5 ＝3 5 ＋4 5i，所以 z 的虚部为4 5. 12．设复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则z1 z2＝(　　) A．1＋i B．3 5＋4 5i C．1＋4 5i D．1＋4 3i 解析：选 B.因为复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以 z2＝2－ i，所以z1 z2＝2＋i 2－i＝ （2＋i）2 5 ＝3 5＋4 5i，故选 B. 13．设复数 z 满足z＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝________． 解析：复数 z 满足z＝|1－i|＋i＝ 2＋i，则复数 z＝ 2－i. 答案： 2－i 14．设 z＝ 1 1＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 解 析 ： 因 为 z ＝ 1 1＋i＋ i ＝ 1－i （1＋i）（1－i）＋ i ＝ 1－i 2 ＋ i ＝ 1 2＋ 1 2i ， 所 以 |z| ＝ (1 2 )2 ＋(1 2 )2 ＝ 2 2 . 答案： 2 2 15．已知复数 z＝ 4＋2i （1＋i）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线 x－2y＋m＝0 上， 则 m＝________． 解析：z＝ 4＋2i （1＋i）2＝4＋2i 2i ＝ （4＋2i）i 2i2 ＝1－2i，复数 z 在复平面内对应的点的坐标 为(1，－2)，将其代入 x－2y＋m＝0，得 m＝－5. 答案：－5 16．当复数 z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)的模最小时，4i z＝________． 解析：|z|＝ （m＋3）2＋（m－1）2 ＝ 2m2＋4m＋10＝ 2（m＋1）2＋8， 所以当 m＝－1 时，|z|min＝2 2， 所以4i z ＝ 4i 2－2i＝4i（2＋2i） 8 ＝－1＋i. 答案：－1＋i [综合题组练] 1．若实数 a，b，c 满足 a2＋a＋bi<2＋ci(其中 i2＝－1)，集合 A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b ＋c}，则 A∩∁RB 为(　　) A．∅ B．{0} C．{x|－2