河南省南阳市2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 20页

‎2019年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题（文）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．‎ ‎2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚 ‎4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．‎ ‎5.保持卷面清洁，不折叠、不破损．‎ 第Ⅰ卷选择题（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若集合，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出集合，由此能求出．‎ ‎【详解】解：∵集合， ‎ ‎， ‎ ‎∴． ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.若复数满足，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题先计算，然后求出共轭复数根据模长公式计算即可.‎ 详解：由题可得：‎ 故选C.‎ 点睛：考查复数的出除法运算，共轭的复数，复数的模长计算，属于基础题.‎ ‎3.向量，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 向量，，‎ 若，则，解得.‎ 所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎4.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”.‎ B. 命题：，使得；命题：，都有；则命题为真.‎ C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”.‎ D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一判断得解.‎ ‎【详解】选项A,命题“若，则”的否命题为：“若，则”.所以该选项错误.‎ 选项B, 命题：，使得，是假命题。命题：，都有，是假命题，则命题为假.所以该选项是错误的.‎ 选项C,命题“，使得”否定是：“，均有”.所以该选项是错误的.‎ 选项D, 命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ 故答案为：D ‎【点睛】(1)本题主要考查命题的否命题和否定，考查复合命题的真假的判断，考查逆否命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 命题的否定和命题的否命题的区别：命题的否定 ，即，指对命题的结论的否定，命题的否命题，指的是对命题的条件和结论的同时否定.‎ ‎5.“今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出大老鼠和小老鼠前5天的打洞的距离和，再求大老鼠和小老鼠前6天打洞的距离和得解.‎ ‎【详解】大老鼠前5天的打洞的距离为1+1.5+2+2.5+3=10，‎ 小老鼠前5天的打洞的距离为0.5+1+2+2+2=7.5‎ 所以大老鼠和小老鼠前5天打洞的距离和为17.5＜22.5.‎ 大老鼠前6天的打洞的距离为1+1.5+2+2.5+3+3.5=13.5，‎ 小老鼠前6天的打洞的距离为0.5+1+2+2+2+2=9.5‎ 所以大老鼠和小老鼠前6天的打洞的距离和为23＞22.5.‎ 所以两鼠相逢最快需要的天数为6天.‎ 故答案为：C ‎【点睛】本题主要考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6.函数 的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由时，，故排除A，D，利用导数可判断出在不是单调的，故排除C，从而得到正确选项.‎ ‎【详解】，‎ ‎，故函数为偶函数，‎ 当时，，故排除A，D；‎ 当时，，‎ 有解，故函数在不是单调的，故排除C，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，求解时要充分利用解析式具有的性质，对照选项中函数的图象特征进行排除，考查从图象提取信息的能力.‎ ‎7.已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由为偶函数得,所以,,所以,故选B.‎ 考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.‎ ‎8.如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.‎ 详解：由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，‎ 表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，，‎ 故选C.‎ 点睛：在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.‎ ‎9.已知函数（，），其图像相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到的图像对应的函数为偶函数．下列判断正确的是（ ）‎ A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图像关于点对称 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意求出通过变换后的解析式，再从解析式研究其具有的性质.‎ ‎【详解】因为图像相邻两条对称轴之间的距离为，‎ 所以，即，‎ 将图像向左平移个单位后得：，‎ 所以，即，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 函数的最小正周期为，故A错误；，故B错误；‎ ‎，故C错误；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换、周期性、对称轴、对称中心、单调性、奇偶性等性质，考查对逻辑思维能力和运算求解能力，求解时熟记三角函数的性质是解题的关键.‎ ‎10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当 时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对变形可得，则函数是周期为周期函数，据此可得，，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，‎ 则函数是周期为的周期函数，‎ ‎，‎ 又由函数是定义在上的奇函数，则，‎ 时，，则，‎ 则；‎ 故；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．‎ ‎11.在锐角中，，则的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以B为原点，所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．‎ ‎【详解】解：以B为原点，所在直线为x轴建立坐标系，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 设 ‎∵是锐角三角形，‎ ‎∴，∴，‎ 即A在如图的线段上（不与重合），‎ ‎∴，‎ 则，‎ ‎∴的范围为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查数量积的应用，根据向量数量积的模长公式，利用解析法建立坐标系，利用坐标法求数量积范围是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．‎ ‎12.已知函数，，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意存在使得等价于存在使，令，即求在上的值域．，当时，，单调递减，当时，，单调递增．又，，所以在上的值域为，所以实数的取值范围是，故选B．‎ 点睛：已知函数有零点求参数范围常用方法和思路 ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.‎ 第Ⅱ卷非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式和两角和正切公式进行求值.‎ ‎【详解】因为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式和两角和正切公式的运用，考查运算求解能力，属于容易题.‎ ‎14.已知向量，则与的夹角为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设与的夹角为，由条件，平方可得，由此求得的值．‎ ‎【详解】设与的夹角为，，则由，平方可得 ，‎ 解得，∴，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．‎ ‎15.已知等差数列满足，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件列出关于的三个方程，解方程组即可得答案.‎ ‎【详解】由题意得：，，，‎ 解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项公式和前项和公式，考查基本运算求解能力，考查基本量法的应用.‎ ‎16.若平面直角坐标系内两点，满足条件：①点，都在函数的图像上；②点，关于原点对称.则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）．已知函数有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知,“伙伴点组”的点满足:都在函数图像上,且关于坐标原点对称.将问题转化为函数的图像与直线的交点个数为即可.‎ ‎【详解】由题意可知,“伙伴点组”的点满足:都在函数图像上,且关于坐标原点对称.‎ 可作出函数关于原点对称的函数的图像(如图),使它与直线的交点个数为即可.‎ 当直线与的图像相切时,设切点为,‎ 又的导数为,即 解得可得函数的图像过点的切线的斜率为．‎ 结合图像可知当时两个函数图像有两个交点.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数新定义题，求解的关键在于读懂题意，将问题进行等价转化，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要借助导数来研究直线与曲线的相切问题，考查数形结合思想的应用.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知数列满足且．‎ ‎（1）证明数列是等比数列，并求；‎ ‎（2）设数列满足，，求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1）证明见解析，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用构造法将等价变形为，再利用等比数列定义证明，并利用通项公式求的通项公式，从而得到；‎ ‎（2）利用递推关系进行累加，求得数列的通项公式.‎ ‎【详解】（1），，‎ 又，所以，‎ 数列是等比数列，公比，首项为．‎ 则，‎ ‎；‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ ‎，‎ 又，符合上式，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的定义证明、构造法求数列通项公式、累加法求通项公式，考查方程思想的应用.‎ ‎18.已知的内角，，所对的边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）2＋.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由，得，‎ 即，∴，故．‎ ‎（Ⅱ）由，得，即，①‎ 又，∴，②‎ 由①②可得，所以．‎ ‎【点睛】利用正、余弦定理进行“边转角”或“角转边”是近几年高考的热点，常求三角形的边、角及三角形的面积.要灵活运用正弦定理进行“边转角”或“角转边”，结合余弦定理和面积公式，注意运用 三者的关系解题.‎ ‎19.数列的前项和为，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）等差数列的各项为正数，前项和为，且，若成等比数列，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先根据和项与通项关系得递推关系式，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，（Ⅱ）先根据条件列方程组，解得数列 的首项与公差，再代入等差数列前n项和公式得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）,‎ 又，因此，‎ 所以数列为以1为首项，3 为公比的等比数列，从而 ‎（Ⅱ）设数列的公差为，‎ 所以，‎ 或或（舍）‎ 从而 ‎【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎20.已知函数 求曲线在点处的切线方程 若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围 ‎【答案】(1) x+y-1=0.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；‎ ‎(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.‎ ‎【详解】（1）因为，所以.‎ ‎ 所以 ‎ 又 ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ 即.（5分）‎ ‎（2）由题意得，，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 由，解得，‎ ‎ 故当时，，在上单调递减；‎ ‎ 当时，，在上单调递增.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 又，，‎ ‎ 结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，‎ ‎ 则解得.‎ ‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数交点来求解.‎ ‎21.的内角，，的对边分别为，，，已知，，．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)设为边上一点，且，求的面积．‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）先根据同角的三角函数的关系求出，再根据余弦定理即可求出；（2）先根据夹角求出，再由可得的长，根据勾股定理求出的长，然后利用三角形面积公式即可求出的面积.‎ ‎（1）由得，又，得.‎ 由余弦定理.又∵‎ 代入并整理得，故. ‎ ‎（2）∵，‎ 由余弦定理. ‎ ‎∵，即直角三角形，‎ ‎∴，得.‎ 由勾股定理.‎ 又∵‎ ‎∴，则.‎ 点睛：在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.‎ ‎22.已知．‎ ‎（1）求函数在定义域上的最小值；‎ ‎（2）求函数在上的最小值；‎ ‎（3）证明：对一切，都成立.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出导数，极值点和单调区间，可得极小值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）讨论时，时，运用单调性，即可得到所求最小值；‎ ‎（Ⅲ）问题等价于证明．由（1）设，求出导数，求出最大值即可．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由得，‎ 令，得 ．‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增．‎ 可得最小值为 ‎（Ⅱ）当，即时， ‎ 当，即时，在上单调递增，‎ 此时 所以 ‎ ‎（Ⅲ）问题等价于证明．‎ 由（1）知的最小值是，‎ 当且仅当时取到，设，‎ 则，易知，当且仅当时取到．‎ 从而对一切，都有成立．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，注意运用分类讨论的方法和构造函数的方法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎