2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第23练 69页

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 23 练 　圆锥曲线中的定点 、 定值与存在性 问题 [ 压 轴大题突破练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考常考的问题；以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题 . 2 . 题目难度：偏难题 . 核心考点突破练 栏目索引 模板答题规范练 考点一　圆锥曲线中的定值问题 方法技巧 　 (1) 求定值问题常见的方法有两种 ① 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 . (2) 定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的 . 核心考点突破练 解答 (1) 求椭圆的方程； 证明 因为 M 是椭圆 C 上一点， 解答 2.(2018· 北京 ) 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px 经过点 P (1 ， 2) ，过点 Q (0 ， 1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N . (1) 求直线 l 的斜率的取值范围； 解　 因为抛物线 y 2 ＝ 2 px 过点 (1 ， 2) ， 所以 2 p ＝ 4 ，即 p ＝ 2. 故抛物线 C 的方程为 y 2 ＝ 4 x . 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1( k ≠ 0) ， 依题意知 Δ ＝ (2 k － 4) 2 － 4 × k 2 × 1 ＞ 0 ，解 得 k ＜ 0 或 0 ＜ k ＜ 1. 又 PA ， PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点 (1 ，－ 2). 从而 k ≠ － 3. 所以直线 l 的斜率的取值范围是 ( － ∞ ，－ 3) ∪ ( － 3 ， 0) ∪ (0 ， 1 ). 证明 证明 　设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 解答 (1) 求椭圆 C 的方程； 联立 ①② 得 a 2 ＝ 8 ， b 2 ＝ 4. 解答 (2) 已知点 P ， M ， N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形 OPMN 的面积 S 为定值，并求该定值 . 当直线 PN 的斜率 k 存在时， 设直线 PN 的方程为 y ＝ kx ＋ m ( m ≠ 0) ， P ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 将 PN 的方程代入椭圆 C 的方程， 整理得 (1 ＋ 2 k 2 ) x 2 ＋ 4 kmx ＋ 2 m 2 － 8 ＝ 0 ， Δ ＝ 16 k 2 m 2 － 4(2 m 2 － 8)(1 ＋ 2 k 2 )>0 ，即 m 2 <4 ＋ 8 k 2 ， 将 M 点坐标代入椭圆 C 的方程，得 m 2 ＝ 1 ＋ 2 k 2 . 考点二　　圆锥曲线中的定点问题 方法技巧 　 (1) 动直线 l 过定点问题 . 设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y ＝ kx ＋ t ，由题设条件将 t 用 k 表示为 t ＝ mk ，得 y ＝ k ( x ＋ m ) ，故动直线过定点 ( － m ， 0). (2) 动曲线 C 过定点问题 . 引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 . 解答 (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程； 解　 设点 P 的坐标为 ( x ， y ) ， ∴ 点 Q 的坐标为 (0 ， y ). 证明 (2) 过 F (1 ， 0) 作互相垂直的两条直线分别交轨迹 C 于点 G ， H 和 M ， N ，且 E 1 ， E 2 分别是 GH ， MN 的中点 . 求证：直线 E 1 E 2 恒过定点 . 证明 　当两直线的斜率都存在且不为 0 时， 设 l GH ： y ＝ k ( x － 1) ， G ( x 1 ， y 1 ) ， H ( x 2 ， y 2 ) ， 消去 y 得 (2 k 2 ＋ 1) x 2 － 4 k 2 x ＋ 2 k 2 － 4 ＝ 0. 则 Δ >0 恒成立 . 解答 (1) 求椭圆 C 的方程； 解　 设坐标原点为 O ， ∵ 四边形 ABPQ 是平行四边形， 证明 (2) 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M ， N . 若 M 是椭圆的左顶点， D 是直线 MN 上一点，且 DA ⊥ AM . 点 G 是 x 轴上异于点 M 的点，且以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，求证：点 G 是定点 . 证明 　设直线 MN 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ， N ( x 0 ， y 0 ) ， DA ⊥ AM ， ∴ D (2 ， 4 k ). 设 G ( t ， 0) ，则 t ≠ － 2 ，若以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点， ∴ t ＝ 0 ， ∴ 点 G 是定点 (0 ， 0 ). 解答 (1) 求 C 的方程； 解　 由于 P 3 ， P 4 两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P 3 ， P 4 两点 . 所以点 P 2 在椭圆 C 上 . 证明 (2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ， B 两点 . 若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为－ 1 ，证明： l 过定点 . 证明 　 设直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率分别为 k 1 ， k 2 . 如果 l 与 x 轴垂直，设 l ： x ＝ t ，由题设知 t ≠ 0 ，且 | t |<2 ， 从而可设 l ： y ＝ kx ＋ m ( m ≠ 1). 得 (4 k 2 ＋ 1) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4 m 2 － 4 ＝ 0. 由题设可知 Δ ＝ 16(4 k 2 － m 2 ＋ 1)>0. 由题设 k 1 ＋ k 2 ＝－ 1 ， 故 (2 k ＋ 1) x 1 x 2 ＋ ( m － 1)( x 1 ＋ x 2 ) ＝ 0 ， 当且仅当 m > － 1 时， Δ >0 ， 所以 l 过定点 (2 ，－ 1). 考点三 　圆锥曲线中的存在性问题 方法技巧 　解决存在性问题的一般思路：假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，否则，元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . 解答 7.(2016· 全国 Ⅰ ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y ＝ t ( t ≠ 0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) 于点 P ， M 关于点 P 的对称点为 N ，连接 ON 并延长交 C 于点 H . 又 N 为 M 关于点 P 的对称点， 代入 y 2 ＝ 2 px ，整理得 px 2 － 2 t 2 x ＝ 0 ， 解答 (2) 除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由 . 解　 直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点，理由如下： 代入 y 2 ＝ 2 px ，得 y 2 － 4 ty ＋ 4 t 2 ＝ 0 ，解得 y 1 ＝ y 2 ＝ 2 t ， 即直线 MH 与 C 只有一个公共点， 所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点 . 解答 (1) 求椭圆 E 的方程； 又 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ＝ 4 ， a ＞ b ＞ c ＞ 0 ， 解答 解　 当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件 . 故可设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 2) ＋ 1 ， 代入 椭圆方程得 (3 ＋ 4 k 2 ) x 2 － 8 k (2 k － 1) x ＋ 16 k 2 － 16 k － 8 ＝ 0 ， 即 4 [ ( x 1 － 2)( x 2 － 2) ＋ ( y 1 － 1)( y 2 － 1)] ＝ 5 ， ∴ 4( x 1 － 2)( x 2 － 2)(1 ＋ k 2 ) ＝ 5 ， 即 4[ x 1 x 2 － 2( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 4 ] (1 ＋ k 2 ) ＝ 5 ， ∴ 存在满足条件的直线 l ，其方程为 x － 2 y ＝ 0. 模板答题规范练 模 板体验 典例　 (12 分 ) 已知椭圆 C ： 9 x 2 ＋ y 2 ＝ m 2 ( m ＞ 0) ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M . (1) 证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； 审题路线图 规范解答 · 评分 标准 (1) 证明 　 设直线 l ： y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0 ， b ≠ 0) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， M ( x M ， y M ). 2 分 将 y ＝ kx ＋ b 代入 9 x 2 ＋ y 2 ＝ m 2 ， 得 ( k 2 ＋ 9) x 2 ＋ 2 kbx ＋ b 2 － m 2 ＝ 0 ， Δ ＝ 4 k 2 b 2 － 4( k 2 ＋ 9)( b 2 － m 2 )>0 ， 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 . 6 分 (2) 解　 四边形 OAPB 能为平行四边形 . 7 分 所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k ＞ 0 ， k ≠ 3. 设点 P 的横坐标为 x P ， 四边形 OAPB 为平行四边形，当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分 ， 即 x P ＝ 2 x M . 因为 k i ＞ 0 ， k i ≠ 3 ， i ＝ 1 ， 2 ， 构建答题模板 [ 第一步 ] 　 先假定 ：假设结论成立； [ 第二步 ] 　 再推理 ：以假设结论成立为条件，进行推理求解； [ 第三步 ] 　 下结论 ：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设； [ 第四步 ] 　 再回顾 ：查看关键点，易错点 ( 特殊情况、隐含条件等 ) ，审视解题规范性 . 规范演练 解答 (1) 求点 P 的轨迹方程； 解　 设 P ( x ， y ) ， M ( x 0 ， y 0 ) ， 则 N ( x 0 ， 0) ， 因此点 P 的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 2. 证明 证明 　由题意知 F ( － 1 ， 0 ). 设 Q ( － 3 ， t ) ， P ( m ， n ) ， 又由 (1) 知 m 2 ＋ n 2 ＝ 2 ，故 3 ＋ 3 m － tn ＝ 0. 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ ， 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F . 解答 (1) 求椭圆 E 的方程； 证明 (2) 经过点 (1 ， 1) ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P ， Q ( 均异于点 A ) ，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 . 证明 　由题设知，直线 PQ 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ＋ 1( k ≠ 2) ， 由已知 Δ >0 ，设 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， x 1 x 2 ≠ 0 ， 故 k AP ＋ k AQ 为定值 2. 解答 (1) 求椭圆 E 的方程； 解答 (2) 过点 P 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 E 于点 Q ( x Q ， y Q )( 点 Q 异于点 P ) ，若 0< x Q <1 ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 . ∵ 0< x Q <1 ， 解答 (1) 求椭圆 M 的方程； 解 　 由已知，得 a 2 ＋ b 2 ＝ 5 2 ， 即 ax － by ＋ ab ＝ 0. 所以 a 2 ＝ 16 ， b 2 ＝ 9 ， c 2 ＝ 16 － 9 ＝ 7. 解答 (2) 证明：直线 l 与 x 轴交于定点，并求出定点的坐标 . 解　 由 (1) 知 P (3 ， 0) ，设 C ( x 1 ， y 1 ) ， D ( x 2 ， y 2 ) ， 整理，得 (16 m 2 ＋ 9) y 2 ＋ 32 mny ＋ 16 n 2 － 144 ＝ 0 ， 因为以 CD 为直径的圆过椭圆的右顶点 P ， 所以 ( x 1 － 3)( x 2 － 3) ＋ y 1 y 2 ＝ 0. 又 x 1 ＝ my 1 ＋ n ， x 2 ＝ my 2 ＋ n ， 所以 ( my 1 ＋ n － 3)( my 2 ＋ n － 3) ＋ y 1 y 2 ＝ 0 ， 整理，得 ( m 2 ＋ 1) y 1 y 2 ＋ m ( n － 3)( y 1 ＋ y 2 ) ＋ ( n － 3) 2 ＝ 0 ， 易知 n ≠ 3 ，所以 16( m 2 ＋ 1)( n ＋ 3) － 32 m 2 n ＋ (16 m 2 ＋ 9)·( n － 3) ＝ 0 ， 解答 5. 已知抛物线 C ： x 2 ＝ 2 py ( p >0) 的焦点为 F ，直线 2 x － y ＋ 2 ＝ 0 交抛物线 C 于 A ， B 两点， P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q . (1) D 是抛物线 C 上的动点，点 E ( － 1 ， 3) ，若直线 AB 过焦点 F ，求 | DF | ＋ | DE | 的最小值； 解　 ∵ 直线 2 x － y ＋ 2 ＝ 0 与 y 轴的交点为 (0 ， 2) ， ∴ F (0 ， 2) ，则抛物线 C 的方程为 x 2 ＝ 8 y ，准线 l ： y ＝－ 2. 设过 D 作 DG ⊥ l 于 G ，则 | DF | ＋ | DE | ＝ | DG | ＋ | DE | ， 当 E ， D ， G 三点共线时， | DF | ＋ | DE | 取最小值 2 ＋ 3 ＝ 5. 解答 解　 假设存在，抛物线 x 2 ＝ 2 py 与直线 y ＝ 2 x ＋ 2 联立，得 x 2 － 4 px － 4 p ＝ 0 ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， Δ ＝ (4 p ) 2 ＋ 16 p ＝ 16( p 2 ＋ p )>0 ， 则 x 1 ＋ x 2 ＝ 4 p ， x 1 x 2 ＝－ 4 p ， ∴ Q (2 p ， 2 p ). 得 ( x 1 － 2 p )( x 2 － 2 p ) ＋ ( y 1 － 2 p )( y 2 － 2 p ) ＝ ( x 1 － 2 p )( x 2 － 2 p ) ＋ (2 x 1 ＋ 2 － 2 p )(2 x 2 ＋ 2 － 2 p ) ＝ 5 x 1 x 2 ＋ (4 － 6 p )( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 8 p 2 － 8 p ＋ 4 ＝ 0 ，