四川省资阳市2020届高三一诊考试数学（理）试题 20页

资阳市高中 2017 级第一次诊断性考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可． 【详解】由 N 中不等式变形得：x（x﹣2）≤0， 解得：0≤x≤2，即 N＝[0，2]， ∵M＝{﹣1，0，1，2，3}， ∴M∩N＝{0，1，2}， 故选 C． 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.复数 （ ） A. i B. -i C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】∵ ． 故选 A． 【点睛】本题考查复数代数形式 乘除运算，是基础题． 3.已知向量 ，若 （λ∈R），则 m＝（ ） 的 { 1,0,1,2,3}M = − { }2| 2 0= − N x x x M N = { 1,0,1,2}− { 1,0,1}− {0,1,2} {0,1} 2 1 2 i i + =− 4 i5 + 4 i5 − ( )( ) ( )( ) 2 1 22 2 2 4 1 2 1 2 1 2 5 i ii i i ii i i + ++ − + += = =− − + ( ) ( )1 2 1a b m= − = − ， ， ， a bλ=  A. -2 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的坐标运算计算即可． 【详解】∵向量 ， （λ∈R）， ∴ ＝λ ， ∴ ， ∴m＝ ， 故选 C． 【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，属于基础题． 4.已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ） A 7 B. 14 C. 21 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】 由等差数列的性质可得：a4＝2，而由求和公式可得 S7＝7a4，代入可得答案． 【详解】由等差数列的性质可得：2a4＝a2+a6，又 ，解得 a4＝2， 而 S7 7a4＝14 故选 B． 【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题． 5.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要比充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 . 1 2 − 1 2 ( ) ( )1 2 1a b m= − = − ， ， ， a bλ=  ( )1 2− ， ( )1m −， 1 2 mλ λ − =  = − 1 2 { }na nS 2 4 6 6+ + =a a a 7S = 2 4 6 6+ + =a a a ( )1 7 47 7 2 2 2 a a a+ ×= = = ,a b∈R 0a b< < 1 1 a b > 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可． 【详解】若 ，即 0， ∴ 或 ， 即 a，b 同号时：ab， ∴当 a b a ab − > 0 0 b a ab − >   ＞ 0 0 b a ab − <   ＜ 1 1 a b > 1 1 a b > 0a b< < 1 1 a b > n = 第二次执行循环体后，n＝2，不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后，n＝3，不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后，n＝4，不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后，n＝5，满足退出循环的条件， 故输出的 n 值为 5， 故选 C． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正 确的结论，是基础题． 7.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 容易得出 ，从而得出 a，b，c 的大小关系． 【详解】 ； ∴a＞b＞c． 故选 B． 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查了比较大小的方法：中间量法． 8.函数 的图象大致是（ ） A. B. 1.22a = 0.43b = 8ln 3 =c b a c> > a b c> > b c a> > a c b> > 1.2 0.4 82 21 3 2 0 13ln> < < <， ， ＜ 1.2 1 0.5 0.4 0 82 2 2 2 3 3 3 1 0 13a b c ln lne= > = > > = = < = =， ＞ ， ＜ 3 ( ) e 1 = +x xf x C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象． 【详解】当 x<0 时，f（x） 0．排除 AC， f′（x） ，令 g(x) g′（x） ，当 x∈（0，2），g′（x）＞0，函数 g(x)是增函数， 当 x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数 g(x)是减函数，g(0)= ，g(3)=3>0， g(4)= <0， 存在 ，使得 g( )=0， 且当 x∈（0， ），g(x)>0，即 f′（x）＞0，函数 f（x）是增函数， 当 x∈（ ，+∞），g(x)<0，即 f′（x）＜0，函数 f（x）是减函数， ∴B 不正确， 故选 D． 【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调 性、特殊点以及变化趋势判断． 9.已知角 的顶点在坐标原点 O，始边与 x 轴的非负半轴重合，将 的终边按顺时针方向旋 转 后经过点（3，4），则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 < ( ) ( ) ( ) 3 2 2 22 3 33 ( 1) 1 1 x xx x x x x e xex e x e e e + −+ −= = + + 3 3x xe xe+ − = ( ) ( )3 1 2x x xe x e x e= − + = − 6 0> 43 e− ( )0 3,4x ∈ 0x 0x 0x α α 4 π sin 2α = 12 25 − 7 25 − 7 25 24 25 【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义及二倍角的余弦公式，求得结果． 【详解】∵角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边按顺时针方向旋转 后经过点（3，4），∴ ， ∴ ∴ ， 故选 B． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，考查了逻辑思维能力， 属于基础题． 10.若函数 的图象关于点 对称，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦函数图象的性质可得 φ＝ ，（k∈z）再求解即可． 【详解】由 f(x)＝sin（2x+φ）， 令 2 +φ＝kπ，（k∈z） 得：φ ，（k∈z） 又 φ＞0，所以 k=1 时 则 φmin ， 故选 C． 【点睛】本题考查了正弦函数图象的性质，属简单题． 11.已知向量 = ，.若 ，则 的取值范围是（ ） 4 π 3 4 5cos πα − =   2 72 1 2 2 24 25 4 2cos cos cos sin π π πα α α α     − − = − = − = − =           72 25sin α = − ( ) sin(2 )( 0)f x x ϕ ϕ= + > ,03 π     ϕ 12 π 6 π 3 π 5 12 π 2 3k ππ − 3 π× 2 3k ππ= − 3 π= a 2 2b a b= ⋅ = − ， 1c a b− − =  c A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得到 ， 是夹角为 ，模为 2 的两个向量，设 ， ， ， 利用向量加减法的几何意义求出 C 的轨迹，则可求得 的取值范围. 【详解】因为向量 = 可得 ， 所以 ， 是夹角为 ，模为 2 的两个向量， 设 ， ， ，则 A，B 在以原点为圆心，2 为半径的圆上，如图， 不妨令 A（2，0），则 B（-1， ），则 ，则 ，所以 C 在以 D 为圆心，1 为半径的圆 上， ，即求以 D 为圆心，1 为半径的圆上的动点 C 到（0，0）的距离的最值问题， 又|OD| ． 所以 ∈[ ， ]= [ ， ]， 故选 D． 【点睛】本题考查了向量加减法的几何意义的应用，考查了动点的轨迹问题，考查了转化思 想，解题时我们要根据题目中已知的条件，选择转化的方向，属于中档题. 1 3,2 2      1 5,2 2      [2,3] [1,3] a b 2 3 π OA a=  OB b=  OC c=  c a 2 2b a b a b cosθ= ⋅ = = −   ， ， 1 2cosθ = − a b 2 3 π OA a=  OB b=  OC c=  3 1 3OA OB OD+ = =  ， 1c a b OC OA OB OC OD DC− − = − − = − = =       c OC=  2= OC 2 1− 2 1+ 1 3 12.定义在 R 上的可导函数 满足 ，记 的导函数为 ， 当 时恒有 .若 ，则 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令 g（x）＝f（x） x，求得 g（x）＝g（2﹣x），则 g（x）关于 x=1 对称，再由导数可知 g （x）在 时为减函数，化 f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1 为 g（m）≥g（1﹣2m），利用单调 性及对称性求解． 【详解】令 g（x）＝f（x） x， g′（x）＝f′（x）﹣1，当 x 1 时，恒有 f'（x）＜1． ∴当 x 1 时，g（x）为减函数， 而 g（2﹣x）＝f（2﹣x） （2﹣x）， ∴由 得到 f（2﹣x） （2﹣x）=f（x） x ∴g（x）＝g（2﹣x）． 则 g（x）关于 x=1 对称， 由 f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1，得 f（m） m≥f（1﹣2m） （1﹣2m）， 即 g（m）≥g（1﹣2m）， ∴ ，即 1 ． ∴实数 m 的取值范围是[﹣1， ]． 故选 D． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，属于中档题． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.求值： ________. 【答案】1 【解析】 ( )f x (2 ) ( ) 2 2− = − +f x f x x ( )f x ( )f x′ 1x ( ) 1f x′ < ( ) (1 2 ) 3 1− − −f m f m m ( ], 1−∞ − 1 ,13  −   [ )1,− +∞ 11, 3  −   - 1x - ≤ ≤ - (2 ) ( ) 2 2− = − +f x f x x - - - - 1 1 2 1m m− ≥ − − - 1 3m≤ ≤ 1 3 3 3 4log 15 log 4 log 5− ⋅ = 【分析】 直接利用对数运算法则及性质化简求解即可． 【详解】log315﹣log34 log45=log315﹣log35＝log33＝1． 故答案为 1． 【点睛】本题考查对数的运算法则及性质的应用，是基础题． 14.已知 x，y 满足 ，若 的最小值为________. 【答案】5 【解析】 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 z＝x+2y 对应的直线进行平移，可得当 x＝ 3 且 y＝1 时，z 取得最小值． 【详解】作出不等式组 表示的平面区域， 其中 解得 A（3，1） 设 z＝x+2y，将直线 l：z＝x+2y 进行平移， 观察 y 轴上的截距变化，可得当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值 ∴z 最小值＝3+2＝5 故答案为 5． ⋅ 0 4 2 1 x x y x y   +  −    2x y+ 0 4 2 1 x x y x y ≥  + ≥  − ≤ 4 2 1 x y x y + =  − = 【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z＝x+2y 的最小值，着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 15.若等比数列 的前 项和为 ,且 ， ，则 ____． 【答案】511 【解析】 由等比数列 性质可得： ， 即： ，解得： . 16.已知当 且 时，函数 取得最大值，则 a 的值为 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据二倍角公式化简函数 f（x），运用整体思想，当 f（x）的最大值时，确定 的取值，运 用诱导公式计算 进而得到 ，再利用二倍角的正切公式求 a 的取值即可. 【 详 解 】 函 数 f （ x ） ＝ sinx (sinx+acosx)= 的 { }na n nS 3 7S = 6 63S = 9S = ( ) ( )2 6 3 3 9 6S S S S S− = − ( ) ( )2 6 97 7 63S S− = × − 9 511S = x θ= tan 2θ = ( ) sin ( cos sin )= +f x x a x x 4 3 ϕ 2 2cos x sin x， ， 2tan x ( )2 2 1 1 21 2 2 2 2 a sin xcos x asin xsin x asinxcosx ϕ+ + −− ++ = = ( ，cos ), 当 时，函数 f（x）取得最大值，此时 ∴cos ，∴ ， ∴a＝ 故答案为 ． 【点睛】考查三角函数的化简变形，三角函数两角和与差公式逆用（辅助角公式），三角函数 诱导公式、二倍角公式，考查逻辑思维能力及运算能力，属于中档题． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 17.已知函数 （1）求 在 上的零点； （2）求 在 上的取值范围． 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得 f（x）＝2sin（2x ），令 f（x）＝ 0 得：sin（2x ） ，从而解得 x，又 x∈[0，π]，即可得函数 f（x）的零点． （2）利用整体思想及正弦函数的性质求出函数的取值范围． 【详解】（1） 2 1 1 4 sin a ϕ = + 21 4 a a ϕ = + 2 2 ,2 k k Z πθ ϕ π− = + ∈ 2 12 1 4 sin cos a ϕ θ= − = + 2 2 1 4 asin a ϕ θ= = + 2 2 4 42 1 1 4 3 tantan a tan θθ θ= − = = =− − − 4 3 4 3 ( ) sin 2 cos 26 3 π π   = + + −      f x x x ( )f x [0, ]π ( )f x ,4 4 π π −   5 12 π 11 12 π [ 3,2]− 6 π+ 6 π+ 0= 3 1 1 3( ) sin 2 cos2 cos2 sin 22 2 2 2 = + + +f x x x x x 3sin 2 cos2 2sin 2 6 π = + = +  x x x 令 ，即 ， 则 ， ，得 由于 ，令 ，得 ，令 ， 所以， 在 上的零点为 ， （2）由 ，则 所以， 故 在 上的取值范围是 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主 要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 18.已知等差数列 的前 n 项和为 ， ，且 . （1）求 ； （2）求数列 的前 n 项和 ； 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由已知得 ，与已知式子相减，得到 ，求得 an； （2）利用错位相减法可求 Tn； 【详解】（1）由 ，得 ， 两式相减，得 ， 所以， . （2）由题 ( ) 0f x = sin 2 06 π + =  x 2 6x k π π+ = k ∈Z 1 2 12 ππ= −x k k ∈Z [0, ]x π∈ 1k = 5 12x π= 2k = 11 12 π=x ( )f x [0, ]π 5 12 π 11 12 π ,4 4x π π ∈ −   22 ,6 3 3 π π π + ∈ −  x 3 sin 2 12 6 π − +   x ( )f x ,4 4 π π −   [ 3,2]− { }na nS 1 1a = 2( 1)= + −n nS a n na 2 n n a    nT 2 1na n= − 2 33 2n n nT += − 2 1 1+ += +n nS a n 1 1 2 1+ += − + −n n na a a n 2( 1)= + −n nS a n 2 1 1+ += +n nS a n 1 1 2 1+ += − + −n n na a a n 2 1na n= − 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2 −= + + + +n n nT 两边同乘以 ，有 两式相减，得 所以， 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查了运算能力，属于基 础题． 19.在锐角 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ． （1）求角 B 的大小； （2）求 的取值范围 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理边化角，与两角和的正弦公式求得 B 的值； （2）根据正弦定理边化角，再利用同角的三角函数关系结合角的范围求得取值范围． 【详解】（1）由 ， 根据正弦定理，有 即有 则有 ，又 ， 1 2 2 3 4 1 1 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2 + −= + + + +n n nT 2 3 4 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 + −− = + + + + + −n n n n nT T 1 1 1 1 111 2 1 3 2 34 22 12 2 2 21 2 − + +  −  − + = + × − = − − n n n n n 2 33 2n n nT += − ABC∆ sin sin 3b A a B π = +   c a 3B π= 1 ,22      sin sin 3b A a B π = +   sin sin sin sin 3B A A B π = +   1 3sin sin sin cos3 2 2 π = + = +  B B B B tan 3B = 0 B π< < 所以， （2）由（1）， ，则 ，又 锐角三角形， 所以， 且 ， 所以 ，于是 则 又 所以， 的取值范围是 【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角的三角函数关系以及两角和差的正弦公式，正确求 得角的范围是解题的关键． 20.已知函数 ，且函数 为偶函数． （1）求 的解析式； （2）若方程 有三个不同的实数根，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用 是偶函数得到 关于 对称，从而 ，解得 a，进而得到 解析式. （2）问题转化为方程 有三个不同实数根，令 ，对 求导，研 究单调性及极值，得到大致图像，由图可得 m 的范围. 【详解】（1）由题可知 所以函数 的对称轴为 ， 由于 是偶函数， 为 3B π= 3B π= 2 3A C π+ = ABC∆ 0 2A π< < 20 3 2A< − <π π 6 2A π π< < 3tan 3 >A 2 3 1sin cos sinsin 3 13 2 2 2sin sin sin 2tan 2 π − +  = = = = + < A A Ac C a A A A A 3 1 1 2tan 2 2 + > A c a 1 ,22      2( ) 2 2 1= − +f x ax x ( 1)f x + ( )f x ( ) e = x mf x 2( ) 2 1f x x x= − + 40, e      ( 1)y f x= + ( )f x 1x = 1 12a = e= xm ( )f x ( ) e ( )= ⋅xg x f x ( )g x 0，≠a 2( ) 2 2 1= − +f x ax x 1 2x a = ( 1)y f x= + 所以 ，即 关于 对称 所以 ，即 ， 所以 （2）方程 有三个不同的实数根，即方程 有三个不同实数根. 令 ，由（1）有 ， 所以 ，令 ，则 或 ． 当 时， ；当 时， ；当 时， 故当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 单调递 增. 所以，当 时， 取得极大值 ；当 时， 取得极小值， 又由于 ≥0，且当 时， ；当 时， ， 其大致图像： 所以，方程 有三个不同实数根时，m 的范围是 【点睛】本题考查运用导数研究函数的单调性、极值，考查方程有解的条件，注意运用数形 结合思想方法，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 21.已知函数 在点 处的切线与 y 轴垂直. ( 1) ( 1)− + = +f x f x 2( ) 2 2 1= − +f x ax x 1x = 1 12a = 1 2a = 2( ) 2 1f x x x= − + ( ) e = x mf x e= xm ( )f x ( ) e ( )= ⋅xg x f x ( )2( ) 2 1 e= − + xg x x x ( )2( ) 1 e′ = − xg x x ( ) 0g x′ = 1x = − 1x = 1x < − ( ) 0g x′ > 1 1x− < < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ > 1x < − ( )g x 1 1x− < < ( )g x 1x > ( )g x 1x = − ( )g x 4( 1) e − =g 1x = ( )g x (1) 0g = ( )g x x → ∞ ( ) 0g x → x → +∞ ( )g x → +∞ e= xm ( )f x 40, e      2( ) ln (1 ) 1= + − − +f x a x a x bx (1, (1))f （1）若 ，求 的单调区间； （2）若 ， 成立，求 a 的取值范围 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）令 f′（1）＝0 求出 b，再根据 f′（x）的符号得出 f（x）的单调区间； （2）分类讨论，分别求出 在（0，e）上的最小值，即可得出 a 的范围． 【详解】（1） ，由题 ， 解得 ，由 ，得 . 因为 的定义域为 ，所以 ， 故当 时， ， 为增函数， 当 时， ， 为减函数， （2）由（1）知 ， 所以 （ⅰ）若 ，则由（1）知 ，即 恒成立 （ⅱ）若 ，则 且 故当 时， ， 为增函数， 当 时， ， 为减函数， ，即 恒成立 1a = ( )f x 0 ex< < ( ) 0f x  2 2 e 2e 1,e e 1  − + +∞ − −  ( )f x ( ) 2(1 )′ = + − −af x a x bx (1) 2(1 ) 0′ = + − − =f a a b 2a b+ = 1a = 1b = ( )f x (0, )+∞ 1 ( 1)( ) 1′ − −= − = xf x x x (0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 2b a= − 22(1 ) ( 2) (2(1 ) )( 1)( ) 2(1 ) (2 )′ − + − + − − −= + − − − = =a a x a x a a x a xf x a x ax x x 1a = max( ) (1) 0f x f= = ( ) 0f x  1a > 2(1 ) ( 1)2(1 )(2(1 ) )( 1)( )′  − − − −− − −  = = aa x xaa x a xf x x x 02(1 ) <− a a (0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x max( ) (1) 0f x f= = ( ) 0f x  （ⅲ）若 ，则 且 故当 时， ， 为增函数， 当 时， ， 为减函数， 由题只需 即可，即 ，解得 ， 而由 ，且 ， 得 （ⅳ）若 ，则 ， 为增函数，且 ， 所以 ， ，不合题意，舍去； （ⅴ）若 ，则 ， 在 上都为增函数，且 所以 ， ，不合题意，舍去； 综上所述，a 的取值范围是 【点睛】本题考查了函数单调性与导数的关系、导数的几何意义，函数恒成立问题与函数最 值的计算，考查了分类讨论思想，属于中档题． 22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为 极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 . 2 13 a< < 2(1 ) ( 1)2(1 )(2(1 ) )( 1)( )′  − − − −− − −  = = aa x xaa x a xf x x x 12(1 ) >− a a (0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x 1, 2(1 )  ∈ −  ax a ( ) 0f x′ > ( )f x (e) 0f 2(1 )e (2 )e 1 0+ − − − + a a a 2 2 e 2e 1 e e 1 − + − −a 2 2 2 2 e 2e 1 2 (e 2) 1 0e e 1 3 3e 3e 3 − + − +− = >− − − − 2 2 2 e 2e 1 2 e1 0e e 1 e e 1 − + −− = <− − − − 2 2 e 2e 1 1e e 1 − + <− − a 2 3a = 22( 1)( ) 03 ′ −=  xf x x ( )f x (1) 0f = (1,e)x∈ ( ) (1) 0f x f> = 2 3 = 2 2 e 2e 1,e e 1  − + +∞ − −  2 2 21 2 x t y t  =  = − + 2 2 4 1 sin ρ θ= + （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设 P（0，-1），直线 l 与 C 的交点为 M，N，线段 MN 的中点为 Q，求 . 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 【分析】 （1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．将 代入 消去 参数 t 可得直线 l 的普通方程．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C 的直角坐标方 程． （2）将 代入 得： ，利用根与系数的关系及 参数的意义可得 ． 【详解】（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．消去参数 t 可得直线 l 的普 通方程为 由 ，得 ，则有 ，即 ， 则曲线 C 的直角坐标方程为 （2）将 l 的参数方程代入 ，得 ，设两根为 ， 则 ， 为 M，N 对应的参数，且 所以，线段 MN 的中点为 Q 对应的参数为 ， − OP OQ 1y x= − 2 2 14 2 x y+ = 2 2 3 2 2 21 .2 x t y t  =  = − + 2 2x t= 21 2y t= − + 2 2 21 .2 x t y t  =  = − + 2 22 4x y+ = 23 2 2 2 02 − − =t t − OP OQ 2 2 21 .2 x t y t  =  = − + 1y x= − 2 2 4 1 sin ρ θ= + 2 2 2sin 4ρ ρ θ+ = 2 2 2 4+ + =x y y 2 22 4x y+ = 2 2 14 2 x y+ = 2 22 4x y+ = 23 2 2 2 02 − − =t t 1t 2t 1t 2t 1 2 4 2 3 + =t t 1 2 2 2 2 3 + =t t 所以， 【点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二 次方程的根与系数的关系，考查了直线参数的几何意义的应用，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 23.已知 ，且 . （1）求 的最大值； （2）证明： . 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由柯西不等式得（ ）2≤（12+12+12）（a+b+c）＝3，即可得出结论． （2）将 代入所证等式的左边，利用基本不等式，证得结论. 详解】（1）（ ）2≤（12+12+12）（a+b+c）＝3， 所以 ≤ ， 当且仅当 取“=”.所以， 的最大值为 （2） 当且仅当 取“=” 【点睛】本题考查了基本不等式与柯西不等式的应用，利用柯西不等式时，关键是如何凑成 能利用一般形式的柯西不等式的形式，属于中档题． 【 2 2 3 − = =  OP OQ PQ , , +∈a b c R 1a b c+ + = + +a b c 1 1 11 1 1 8   − − −      a b c 3 a b c+ + 1a b c+ + = a b c+ + + +a b c 3 1 3a b c= = = + +a b c 3 1 1 11 1 1 1 1 1 + + + + + +       − − − = − − −               a b c a b c a b c a b c a b c 2 2 2 8 + + += ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = b c a c a b bc ac ab a b c a b c 1 3a b c= = =