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  • 2021-06-24 发布

高中数学讲义微专题63 立体几何中的建系设点问题

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微专题 63 立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中,有些题目可以使用空间向量解决问题,与其说是向量运算, 不如说是点的坐标运算,所以第一个阶段:建系设点就显得更为重要,建立合适的直角坐标 系的原则有哪些?如何正确快速写出点的坐标?这是本文要介绍的内容。 一、基础知识: (一)建立直角坐标系的原则:如何选取坐标轴 1、 轴的选取往往是比较容易的,依据的是线面垂直,即 轴要与坐标平面 垂直,在几何体中也是很直观的,垂直 底面高高向上的即是,而坐标原点即为 轴与底面的交点 2、 轴的选取:此为坐标是否易于写出的关键,有这么 几个原则值得参考: (1)尽可能的让底面上更多的点位于 轴上 (2)找角: 轴要相互垂直,所以要利用好底面中的垂 直条件 (3)找对称关系:寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足 轴成右手系,所以在 标 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法,其坐标也会对应 不同。但是通过坐标所得到的结论(位置关系,角)是一致 的。 5、解答题中,在建立空间直角坐标系之前,要先证明所用 坐标轴为两两垂直(即一个线面垂直 底面两条线垂直),这 个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论: (1)线面垂直: ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直,则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线,如果其中一条与平面垂直,那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直,则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱:侧棱与底面垂直 (2)线线垂直(相交垂直): ① 正方形,矩形,直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直(三线合一) ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理:若 ,则 (二)坐标的书写:建系之后要能够快速准确的写出点的坐标,按照特点可以分为 3 类 1、能够直接写出坐标的点 z z xOy z ,x y ,x y ,x y , ,x y z ,x y  2 2 2AB AC BC  AB AC (1) 坐标轴上的点,例如在正方体(长度为 1)中的 点,坐标特点如下: 轴: 轴: 轴: 规律:在哪个轴上,那个位置就有坐标,其余均为 0 (2)底面上的点:坐标均为 ,即竖坐标 ,由于底面在作立体图时往往失真,所 以要快速正确写出坐标,强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考:以上图为例: 则可快速写出 点的坐标,位置关系清晰明了 2、空间中在底面投影为特殊位置的点: 如果 在底面的投影为 ,那么 (即点与投影点的横纵坐标相同) 由这条规律出发,在写空间中的点时,可看下在底面的投影点,坐标是否好写。如果可以 则直接确定了横纵坐标,而竖坐标为该点到底面的距离。例如:正方体中的 点,其投影为 ,而 所以 ,而其到底面的距离为 ,故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点,但总还有一些特殊点,那么就要用到第三 个方法: 3、需要计算的点 ① 中点坐标公式: ,则 中点 , 图中的 等中点坐标均可计算 ② 利用向量关系进行计算(先设再求):向量坐标化后,向量的关系也可转化为坐标的关系, 进而可以求出一些位置不好的点的坐标,方法通常是先设出所求点的坐标,再选取向量,利 用向量关系解出变量的值,例如:求 点的坐标,如果使用向量计算,则设 ,可 直 接 写 出 , 观 察 向 量 , 而 , 二、典型例题: 例 1 : 在 三 棱 锥 中 , 平 面 , , 分 别 是 棱 的中点, ,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 解: 平面 , , 'A C D x  ,0,0x y  0, ,0y z  0,0,z  , ,0x y 0z  ,H I 1 11, ,0 , ,1,02 2H I           ' 1 1, ,A x y z  2 2, ,0A x y 1 2 1 2,x x y y  'B B  1,1,0B  ' 1,1,B z 1  ' 1,1,1B    1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z AB 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2 x x y y z zM       , , ,H I E F 'A  ' , ,A x y z      '1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1A B B ' 'AB A B   0,1,0AB   ' ' 1, 1, 1A B x y z    1 0 1 1 1 0 1 0 1 x x y y z z                  ' 1,0,1A P ABC PA  ABC 90BAC   , ,D E F , ,AB BC CD 1, 2AB AC PA   PA  ABC ,PA AB PA AC   I H O C A B F E D A C B P 两两垂直 以 为轴建立直角坐标系 坐标轴上的点: 中点: 中点 中点 中点 综上所述: 小炼有话说:本讲中为了体现某些点坐标的来历,在例题的过程中进行详细书写。这些过程 在解答题中可以省略。 例 2:在长方体 中, 分别是棱 上的点, , ,建立适当的直角坐标系并写出点的坐标 思路:建系方式显而易见,长方体 两两垂直, 本 题 所 给 的 是 线 段 的 比 例 , 如 果 设 等,则点的坐标都含有 ,不 便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度,从而使得坐 标都为具体的数。 解:因为长方体 两两垂直 以 为轴如图建系,设 为单位长度 例 3 : 如 图 , 在 等 腰 梯 形 中 , , 90BAC   , ,PA AB AC , ,AP AB AC        0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,2A B C P :D AB 1 ,0,02     :E BC 1 1, ,02 2     :F PC 10, ,12           1 1 1 11,0,0 , 0,1,0 , 0,0,2 , ,0,0 , , ,0 , 0, ,12 2 2 2B C P D E F                 1 1 1 1ABCD A B C D ,E F 1,BC CC 2CF AB CE  1: : 1: 2 : 4AB AD AA  1, ,AA AB AD 1, 2 , 4AB a AD a AA a   a 1 1 1 1ABCD A B C D 1, ,AB AD AA  1, ,AB AD AA AB 1 12, 4, 1, 2AD AA CF CE                  1 1 1 11,0,0 , 1,2,0 , 0,2,0 , 1,0,4 , 0,0,4 , 1,2,4 , 0,2,4B C D B A C D  31, ,0 , 1,2,12E F     ABCD AB CD∥ A D B C B1 C1 A1 D1 E F D A B C F , 平面 ,且 ,建立适当的直角坐标系 并确定各点坐标。 思路:本题直接有一个线面垂直,所以只需在平面 找过 的相互垂直的直线即可。由 题意, 不是直角。所以可以以其中一条边为轴,在底面上作垂线即可构造出两两垂直 的条件,进而可以建立坐标系 方案一:(选择 为轴),连结 可知 在 中 由 可解得 平面 以 为坐标轴如图建系: 方案二(以 为轴) 过 作 的垂线 平面 以 为坐标轴如图建系: (同方案一)计算可得: 小炼有话说:建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直(即 轴),对于 轴的选取,如果 没有已知线段,可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴,然后作这条轴的垂线来确定另一条 轴,本题中的两个方案就是选过垂足 的直线为轴建立的坐标系。 例 4:已知四边形 满足 , 是 中点,将 翻 折 成 , 使 得 平 面 平 面 , 为 中点 1, 60AD DC CB ABC      CF  ABCD 1CF  ABCD C BCD BC AC 120ADC    ADC 2 2 2 2 cos 3AC AD DC AD DC ADC    3AC  3, 1, 60AC BC ABC     2, 90AB ACB    AC BC  CF  ABCD ,CF AC CF BC   , ,AC CF BC      3 10,1,0 , 3,0,0 , , ,0 , 0,0,12 2B A D F     CD C CD CM CF  ABCD ,CF CD CF CM    , ,CD CF CM 3 , 22CM AB     3 3 3 1, ,0 , , ,0 , 0, 1,0 , 0,0,12 2 2 2A B D F             z ,x y C ABCD 1, 2AD BC BA AD DC BC a   ∥ E BC BAE 1B AE 1B AE  AECD F 1B D A B E D C F A B' E D C D C A B D C A B 思路:在处理翻折问题时,首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变,这些都是作 为已知条件使用的。本题在翻折时, 是等边三角形,四边形 为 的菱形是不 变的,寻找线面垂直时,根据平面 平面 ,结合 是等边三角形,可取 中点 ,则可证 平面 ,再在四边形 找一组过 的垂线即可建系 解:取 中点 ,连结 是等边三角形 平面 平面 平面 ,连结 四边形 为 的菱形 为等边三角形 两两垂直 如图建系,设 为单位长度 为 中点 例 5 : 如 图 , 已 知 四 棱 锥 的 底 面 是 菱 形 , 对 角 线 交 于 点 ,且 平面 ,点 为 的三等分点(靠近 ),建 立适当的直角坐标系并求各点坐标 思路:由 平面 ,可得 作为 轴,在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性 质,选取 作为 轴。在所有点中只有 的坐标相对麻烦,对于三等分点可得 ,从而转化为向量关系即可求出 坐标 解: 平面 菱形 两两垂直 以 为坐标轴如图建系 可得: BAE AECD 60 'B AE  AECD 'B AE AE M 'B M  AECD AECD M AE M 'B M 'B AE 'B M AE  'B AE  AECD 'B M  AECD DM ' ',B M ME B M MD    AECD 60 ADE DM AE  ' , ,B M MD ME AB '1 1 3 3 3,0,0 , ,0,0 , 0, ,0 , 1, ,0 , 0,0,2 2 2 2 2A E D C B                           F 'B D 3 30, ,4 4F       P ABCD ,AC BD , 4, 3, 4O OA OB OP   OP  ABCD M PC P OP  ABCD OP z ,OB OC ,x y M 1 3PM PC M OP  ABCD ,OP OB OP OC    ABCD OB OC  , ,OP OB OC , ,OP OB OC          0,0,4 , 3,0,0 , 0,4,0 , 0, 4,0 , 3,0,0P B C A D  M F A B' E D C M A E D C 设 由 可得: 小炼有话说:(1)底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质 (2)对于一条线段上的某点分线段成比例,可以利用向量关系将该点坐标计算出来 例 6:如图所示的多面体中,已知正方形 与直角梯形 所在的平面互相垂直, ,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐 标 思路:题目已知面面垂直,从而可以找到 与底面垂直,再由底面是正方形,可选 为 轴,图中 点坐标相对麻烦,可以用投影法和向量法计算得到 解: 平面 平面 又因为直角梯形 平面 正方形 两两垂直 以 为轴建立直角坐标系 坐标轴上的点: 底面上的点: 点两种确定方式: ① 可看其投影,落在 中点处 ,且高度为 1,所以 ② 设  , ,M x y z 1 3PM PC 1 3PM PC     , , 4 , 0,4, 4PM x y z PC     0 0 4 4 3 3 4 84 3 3 x x y y z z                      4 80, ,3 3M      ABCD BDEF EF BD∥ , ,ED BD 2, 1AD EF ED   DE ,AD DC ,x y F  EFBD  ABCD BDEF ED DB  ED  ABCD  ABCD AD BD  , ,ED DA DC , ,DE DA DC      2,0,0 , 0, 2,0 , 0,0,1A C E  2, 2,0B F BD 2 2, ,02 2       F 2 2, ,12 2        , ,F x y z    , , 1 , 2, 2,0EF x y z DB     1 2EF DB   2 2 2 2 2, ,12 2 2 1 0 x y F z                A D B C F E 综上所述: 例 7:如图,在三棱柱 中, 是正方形 的中心, 平面 , ,建立适当的坐标系并确 定各点坐标 思路: 平面 ,从而 可作 轴, 只需在平面 找到过 的两条垂线即可建系 (两种方案),对于坐标只有 坐标相对麻烦,但由 可以利用向量进行计算。 解:方案一:(利用正方形相邻边垂直关系建系) 如图建系:则 设 ,则 由 可得: 综上所述: 方案二:(利用正方形对角线相互垂直建系) 如图建系:由 计算可得 设 ,则 由 可得:         2 22,0,0 , 0, 2,0 , 0,0,1 , 2, 2,0 , , ,12 2A C E B F       1 1 1ABC A B C H 1 1AA B B 1 12 2,AA C H  1 1AA B B 1 5C H  1C H  1 1AA B B 1C H z 1 1AA B B H C 1 1C C A A       1 12, 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2,0A A B     12, 2,0 , 0,0, 5B C   , ,C x y z  1 , , 5C C x y z   1 0, 2 2,0A A   1 1C C A A  0 0 2 2 2 2 5 0 5 x x y y z z                 0, 2 2, 5C         1 12, 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2,0 ,A A B B       1 0,0, 5 , 0, 2 2, 5C C  1 2 2AA  1 1 2A H B H       1 12,0,0 , 0, 2,0 , 0,2,0A A B    12,0,0 , 0,0, 5B C  , ,C x y z  1 , , 5C C x y z   1 2, 2,0A A    1 1C C A A  2 2 2 2 5 0 5 x x y y z z                   2, 2, 5C   B B1 A A1 H C1C B B1 A A1 H C1C B B1 A A1 H C1C 综上所述: 小炼有话说:本题虽然两种建系方法均可以,但从坐标上可以发现,用方案二写出的坐标相 对简单,尤其是底面上的坐标不仅在轴上,而且数比较整齐。(相信所给的 目的也 倾向使用方案二建系)因为在解决立体几何解答题时,建系写坐标是基础,坐标是否整齐会 决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时,不妨观察所给线段长度的特 点,选择合适的方法建系,为后面的计算打好基础 例 8:如图,在四棱柱 中,侧棱 , , , ,且点 和 分别为 的中点。建立合适的空间直 角坐标系并写出各点坐标 思路:由 , 可得 两两垂直,进而以它们为轴建立 坐标系,本题中 均可通过投影到底面得到横纵坐标,图中 点坐标相对麻烦,可 作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。 解: 侧棱 两两垂直 以 为轴建立直角坐标系 底面上的点: 由 可得 为等腰三角形,若 为中点,则 可 投 影 到 底 面 上 的 点 : 因为 和 分别为 的中点 综上所述:        1 12,0,0 , 0, 2,0 , 0,2,0 , 2,0,0 ,A A B B     1 0,0, 5 , 2, 2, 5C C   1 2 2AA  1 1 1 1ABCD A B C D- 1A A ABCD 底面 AB AC 1AB = 1 2, 5AC AA AD CD= = = = M N 1 1C DB D和 1A A ABCD 底面 AB AC 1, ,AA AB AC 1 1 1 1, , ,A B C D D  1A A ABCD 底面  1 1,A A AB A A AC  AB AC 1, ,AB AC AA 1, ,AB AC AA    0,1,0 , 2,0,0B C 5AD CD= = ADC P AC DP AC 2 2 2DP AD AP    1, 2,0D         1 1 1 10,0,2 , 0,1,2 , 2,0,2 , 1, 2,2A B C D  M N 1 1C DB D和  11, ,1 , 1, 2,12M N                  1 1 1 10,1,0 , 2,0,0 , 1, 2,0 , 0,0,2 , 0,1,2 , 2,0,2 , 1, 2,2B C D A B C D  P A C B D 例 9:如图:已知 平面 ,点 在 上,且 ,四边形 为直角 梯形, ,建立适当的坐标 系并求出各点坐标 思 路 : 由 条 件 可 得 , 而 平 面 , 可得到 平面 ,从而 以 为轴建系。难点在于求底面梯形中 的长度。可作出平面图利用平面几何知识处 理。 解: 平面 , 平面 两两垂直,如图建系: 中: 为等边三角形 为等边三角形 在底面 投影为 且 综上所述: 例 10:已知斜三棱柱 在底面 上的射影恰 为 的中点 ,又知 ,建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 思路:本题建系方案比较简单, 平面 ,进而 作 轴,再过 引 垂线即 可。难点有二:一是三棱柱的高未知,进而无法写出上底面点的竖坐标;二是 的投影不易  11, ,1 , 1, 2,12M N     PO  ABCD O AB EA PO∥ ABCD 1, , 2, 2AD BC BC AB BC CD BO PO EA AO CD      ∥ AB AD PO  ABCD EA PO∥ EA  ABCD , ,EA AB AD ,AB OD PO  ABCD EA PO∥  EA  ABCD ,EA AB EA AD   ,AD BC BC AB ∥ AD AB  , ,AE AD AB 1 12EA CD   0,0,1E Rt AOB 2 2 3AB OB OA   1cos 602 AOAOB AOBBO      AD BC ∥ 60BOC AOB     BC BO BOC OC BC CD   60OCB   60DOC   COD 2OD CD          3,0,0 , 0,1,0 , 0,3,0 , 3,2,0B O D C P ABCD O 2PO   0,1,2P            3,0,0 , 0,1,0 , 0,3,0 , 3,2,0 , 0,1,2 , 0,0,1B O D C P E 1 1 1 1, 90 , 2,ABC A B C BCA AC BC A     ABC AC D 1 1BA AC 1A D  ABC 1A D z D AC 1B DA C B A1 B1 C1 O A D B C O 在图中作出(需要扩展平面 ),第一个问题可先将高设为 ,再利用条件 求 解;第二个问题可以考虑利用向量计算得到。 解:过 作 的垂线 , 平面 ,而 以 为轴建立直角坐标系 ,设高为 则 ,设 则 由 可得: ,解得 设 而 且 综上所述: ABC h 1 1BA AC D AC DM 1A D  ABC 1 1,A D DC A D DM   DM DC  1 , ,A D DC DM      0, 1,0 , 0,1,0 , 2,1,0A C B h  1 0,0,A h  1 , ,C x y z    1 10,2,0 , , ,AC AC x y z h    1 1AC AC  0 0 2 2 0 x x y y z h z h               1 0,2,C h    1 12, 1, , 0,3,BA h AC h     2 1 1 1 1 0 3 0BA AC BA AC h          3h     1 10,0, 3 , 0,2, 3A C  1 , , 3B x y  1 1 , ,0A B x y   2,2,0AB  1 1A B AB  2 2 x y    1 2,2, 3B            1 1 10, 1,0 , 0,1,0 , 2,1,0 , 0,0, 3 , 0,2, 3 , 2,2, 3A C B A C B A C B D

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