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- 2021-06-24 发布
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微专题 63 立体几何解答题的建系设点问题
在如今的立体几何解答题中,有些题目可以使用空间向量解决问题,与其说是向量运算,
不如说是点的坐标运算,所以第一个阶段:建系设点就显得更为重要,建立合适的直角坐标
系的原则有哪些?如何正确快速写出点的坐标?这是本文要介绍的内容。
一、基础知识:
(一)建立直角坐标系的原则:如何选取坐标轴
1、 轴的选取往往是比较容易的,依据的是线面垂直,即
轴要与坐标平面 垂直,在几何体中也是很直观的,垂直
底面高高向上的即是,而坐标原点即为 轴与底面的交点
2、 轴的选取:此为坐标是否易于写出的关键,有这么
几个原则值得参考:
(1)尽可能的让底面上更多的点位于 轴上
(2)找角: 轴要相互垂直,所以要利用好底面中的垂
直条件
(3)找对称关系:寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足 轴成右手系,所以在
标 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法,其坐标也会对应
不同。但是通过坐标所得到的结论(位置关系,角)是一致
的。
5、解答题中,在建立空间直角坐标系之前,要先证明所用
坐标轴为两两垂直(即一个线面垂直 底面两条线垂直),这
个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论:
(1)线面垂直:
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直,则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线,如果其中一条与平面垂直,那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直,则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱:侧棱与底面垂直
(2)线线垂直(相交垂直):
① 正方形,矩形,直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直(三线合一)
③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理:若 ,则
(二)坐标的书写:建系之后要能够快速准确的写出点的坐标,按照特点可以分为 3 类
1、能够直接写出坐标的点
z z
xOy
z
,x y
,x y
,x y
, ,x y z
,x y
2 2 2AB AC BC AB AC
(1) 坐标轴上的点,例如在正方体(长度为 1)中的 点,坐标特点如下:
轴: 轴: 轴:
规律:在哪个轴上,那个位置就有坐标,其余均为 0
(2)底面上的点:坐标均为 ,即竖坐标 ,由于底面在作立体图时往往失真,所
以要快速正确写出坐标,强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考:以上图为例:
则可快速写出 点的坐标,位置关系清晰明了
2、空间中在底面投影为特殊位置的点:
如果 在底面的投影为 ,那么
(即点与投影点的横纵坐标相同)
由这条规律出发,在写空间中的点时,可看下在底面的投影点,坐标是否好写。如果可以
则直接确定了横纵坐标,而竖坐标为该点到底面的距离。例如:正方体中的 点,其投影为
,而 所以 ,而其到底面的距离为 ,故坐标为
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点,但总还有一些特殊点,那么就要用到第三
个方法:
3、需要计算的点
① 中点坐标公式: ,则 中点 ,
图中的 等中点坐标均可计算
② 利用向量关系进行计算(先设再求):向量坐标化后,向量的关系也可转化为坐标的关系,
进而可以求出一些位置不好的点的坐标,方法通常是先设出所求点的坐标,再选取向量,利
用向量关系解出变量的值,例如:求 点的坐标,如果使用向量计算,则设 ,可
直 接 写 出 , 观 察 向 量 , 而 ,
二、典型例题:
例 1 : 在 三 棱 锥 中 , 平 面 , , 分 别 是 棱
的中点, ,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
解: 平面
, , 'A C D
x ,0,0x y 0, ,0y z 0,0,z
, ,0x y 0z
,H I
1 11, ,0 , ,1,02 2H I
'
1 1, ,A x y z 2 2, ,0A x y
1 2 1 2,x x y y
'B
B 1,1,0B ' 1,1,B z 1 ' 1,1,1B
1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z AB 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2
x x y y z zM
, , ,H I E F
'A ' , ,A x y z
'1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1A B B ' 'AB A B 0,1,0AB
' ' 1, 1, 1A B x y z
1 0 1
1 1 0
1 0 1
x x
y y
z z
' 1,0,1A
P ABC PA ABC 90BAC , ,D E F
, ,AB BC CD 1, 2AB AC PA
PA ABC ,PA AB PA AC
I
H
O C
A B
F
E
D
A C
B
P
两两垂直
以 为轴建立直角坐标系
坐标轴上的点:
中点: 中点
中点
中点
综上所述:
小炼有话说:本讲中为了体现某些点坐标的来历,在例题的过程中进行详细书写。这些过程
在解答题中可以省略。
例 2:在长方体 中, 分别是棱 上的点, ,
,建立适当的直角坐标系并写出点的坐标
思路:建系方式显而易见,长方体 两两垂直,
本 题 所 给 的 是 线 段 的 比 例 , 如 果 设
等,则点的坐标都含有 ,不
便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度,从而使得坐
标都为具体的数。
解:因为长方体
两两垂直
以 为轴如图建系,设 为单位长度
例 3 : 如 图 , 在 等 腰 梯 形 中 , ,
90BAC , ,PA AB AC
, ,AP AB AC
0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,2A B C P
:D AB 1 ,0,02
:E BC 1 1, ,02 2
:F PC 10, ,12
1 1 1 11,0,0 , 0,1,0 , 0,0,2 , ,0,0 , , ,0 , 0, ,12 2 2 2B C P D E F
1 1 1 1ABCD A B C D ,E F 1,BC CC 2CF AB CE
1: : 1: 2 : 4AB AD AA
1, ,AA AB AD
1, 2 , 4AB a AD a AA a a
1 1 1 1ABCD A B C D
1, ,AB AD AA
1, ,AB AD AA AB
1
12, 4, 1, 2AD AA CF CE
1 1 1 11,0,0 , 1,2,0 , 0,2,0 , 1,0,4 , 0,0,4 , 1,2,4 , 0,2,4B C D B A C D
31, ,0 , 1,2,12E F
ABCD AB CD∥
A
D
B C
B1 C1
A1 D1
E
F
D
A B
C
F
, 平面 ,且 ,建立适当的直角坐标系
并确定各点坐标。
思路:本题直接有一个线面垂直,所以只需在平面 找过 的相互垂直的直线即可。由
题意, 不是直角。所以可以以其中一条边为轴,在底面上作垂线即可构造出两两垂直
的条件,进而可以建立坐标系
方案一:(选择 为轴),连结
可知 在 中
由 可解得
平面
以 为坐标轴如图建系:
方案二(以 为轴)
过 作 的垂线 平面
以 为坐标轴如图建系:
(同方案一)计算可得:
小炼有话说:建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直(即 轴),对于 轴的选取,如果
没有已知线段,可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴,然后作这条轴的垂线来确定另一条
轴,本题中的两个方案就是选过垂足 的直线为轴建立的坐标系。
例 4:已知四边形 满足 , 是 中点,将
翻 折 成 , 使 得 平 面 平 面
, 为 中点
1, 60AD DC CB ABC CF ABCD 1CF
ABCD C
BCD
BC AC
120ADC ADC
2 2 2 2 cos 3AC AD DC AD DC ADC
3AC
3, 1, 60AC BC ABC 2, 90AB ACB
AC BC CF ABCD
,CF AC CF BC
, ,AC CF BC
3 10,1,0 , 3,0,0 , , ,0 , 0,0,12 2B A D F
CD
C CD CM CF ABCD
,CF CD CF CM
, ,CD CF CM
3 , 22CM AB
3 3 3 1, ,0 , , ,0 , 0, 1,0 , 0,0,12 2 2 2A B D F
z ,x y
C
ABCD 1, 2AD BC BA AD DC BC a ∥ E BC
BAE 1B AE 1B AE
AECD F 1B D
A
B E
D
C
F
A
B'
E
D
C
D
C
A
B
D C
A B
思路:在处理翻折问题时,首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变,这些都是作
为已知条件使用的。本题在翻折时, 是等边三角形,四边形 为 的菱形是不
变的,寻找线面垂直时,根据平面 平面 ,结合 是等边三角形,可取
中点 ,则可证 平面 ,再在四边形 找一组过 的垂线即可建系
解:取 中点 ,连结
是等边三角形
平面 平面
平面 ,连结
四边形 为 的菱形 为等边三角形
两两垂直
如图建系,设 为单位长度
为 中点
例 5 : 如 图 , 已 知 四 棱 锥 的 底 面 是 菱 形 , 对 角 线 交 于 点
,且 平面 ,点 为 的三等分点(靠近 ),建
立适当的直角坐标系并求各点坐标
思路:由 平面 ,可得 作为 轴,在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性
质,选取 作为 轴。在所有点中只有 的坐标相对麻烦,对于三等分点可得
,从而转化为向量关系即可求出 坐标
解: 平面
菱形
两两垂直
以 为坐标轴如图建系
可得:
BAE AECD 60
'B AE AECD 'B AE AE
M 'B M AECD AECD M
AE M 'B M
'B AE
'B M AE
'B AE AECD
'B M AECD DM ' ',B M ME B M MD
AECD 60 ADE
DM AE
' , ,B M MD ME
AB
'1 1 3 3 3,0,0 , ,0,0 , 0, ,0 , 1, ,0 , 0,0,2 2 2 2 2A E D C B
F 'B D 3 30, ,4 4F
P ABCD ,AC BD
, 4, 3, 4O OA OB OP OP ABCD M PC P
OP ABCD OP z
,OB OC ,x y M
1
3PM PC M
OP ABCD
,OP OB OP OC
ABCD OB OC
, ,OP OB OC
, ,OP OB OC
0,0,4 , 3,0,0 , 0,4,0 , 0, 4,0 , 3,0,0P B C A D
M
F
A
B'
E
D
C
M
A
E
D
C
设 由 可得:
小炼有话说:(1)底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质
(2)对于一条线段上的某点分线段成比例,可以利用向量关系将该点坐标计算出来
例 6:如图所示的多面体中,已知正方形 与直角梯形 所在的平面互相垂直,
,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐
标
思路:题目已知面面垂直,从而可以找到 与底面垂直,再由底面是正方形,可选
为 轴,图中 点坐标相对麻烦,可以用投影法和向量法计算得到
解: 平面 平面
又因为直角梯形
平面
正方形
两两垂直
以 为轴建立直角坐标系
坐标轴上的点:
底面上的点:
点两种确定方式:
① 可看其投影,落在 中点处 ,且高度为 1,所以
② 设
, ,M x y z 1
3PM PC 1
3PM PC
, , 4 , 0,4, 4PM x y z PC
0 0
4 4
3 3
4 84 3 3
x x
y y
z z
4 80, ,3 3M
ABCD BDEF
EF BD∥ , ,ED BD 2, 1AD EF ED
DE ,AD DC
,x y F
EFBD ABCD
BDEF ED DB
ED ABCD
ABCD AD BD
, ,ED DA DC
, ,DE DA DC
2,0,0 , 0, 2,0 , 0,0,1A C E
2, 2,0B
F
BD 2 2, ,02 2
F 2 2, ,12 2
, ,F x y z , , 1 , 2, 2,0EF x y z DB
1
2EF DB
2
2
2 2 2, ,12 2 2
1 0
x
y F
z
A
D
B
C
F
E
综上所述:
例 7:如图,在三棱柱 中, 是正方形 的中心,
平面 , ,建立适当的坐标系并确
定各点坐标
思路: 平面 ,从而 可作 轴,
只需在平面 找到过 的两条垂线即可建系
(两种方案),对于坐标只有 坐标相对麻烦,但由 可以利用向量进行计算。
解:方案一:(利用正方形相邻边垂直关系建系)
如图建系:则
设 ,则
由 可得:
综上所述:
方案二:(利用正方形对角线相互垂直建系)
如图建系:由 计算可得
设 ,则
由 可得:
2 22,0,0 , 0, 2,0 , 0,0,1 , 2, 2,0 , , ,12 2A C E B F
1 1 1ABC A B C H 1 1AA B B 1 12 2,AA C H
1 1AA B B 1 5C H
1C H 1 1AA B B 1C H z
1 1AA B B H
C 1 1C C A A
1 12, 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2,0A A B
12, 2,0 , 0,0, 5B C
, ,C x y z 1 , , 5C C x y z 1 0, 2 2,0A A
1 1C C A A
0 0
2 2 2 2
5 0 5
x x
y y
z z
0, 2 2, 5C
1 12, 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2,0 , 2, 2,0 ,A A B B
1 0,0, 5 , 0, 2 2, 5C C
1 2 2AA 1 1 2A H B H
1 12,0,0 , 0, 2,0 , 0,2,0A A B
12,0,0 , 0,0, 5B C
, ,C x y z 1 , , 5C C x y z 1 2, 2,0A A
1 1C C A A
2 2
2 2
5 0 5
x x
y y
z z
2, 2, 5C
B B1
A A1
H
C1C
B B1
A A1
H
C1C
B B1
A A1
H
C1C
综上所述:
小炼有话说:本题虽然两种建系方法均可以,但从坐标上可以发现,用方案二写出的坐标相
对简单,尤其是底面上的坐标不仅在轴上,而且数比较整齐。(相信所给的 目的也
倾向使用方案二建系)因为在解决立体几何解答题时,建系写坐标是基础,坐标是否整齐会
决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时,不妨观察所给线段长度的特
点,选择合适的方法建系,为后面的计算打好基础
例 8:如图,在四棱柱 中,侧棱 , , ,
,且点 和 分别为 的中点。建立合适的空间直
角坐标系并写出各点坐标
思路:由 , 可得 两两垂直,进而以它们为轴建立
坐标系,本题中 均可通过投影到底面得到横纵坐标,图中 点坐标相对麻烦,可
作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。
解: 侧棱
两两垂直
以 为轴建立直角坐标系
底面上的点:
由 可得 为等腰三角形,若 为中点,则
可 投 影 到 底 面 上 的 点 :
因为 和 分别为 的中点
综上所述:
1 12,0,0 , 0, 2,0 , 0,2,0 , 2,0,0 ,A A B B 1 0,0, 5 , 2, 2, 5C C
1 2 2AA
1 1 1 1ABCD A B C D- 1A A ABCD 底面 AB AC 1AB =
1 2, 5AC AA AD CD= = = = M N 1 1C DB D和
1A A ABCD 底面 AB AC 1, ,AA AB AC
1 1 1 1, , ,A B C D D
1A A ABCD 底面
1 1,A A AB A A AC
AB AC 1, ,AB AC AA
1, ,AB AC AA
0,1,0 , 2,0,0B C
5AD CD= = ADC P AC
DP AC
2 2 2DP AD AP
1, 2,0D
1 1 1 10,0,2 , 0,1,2 , 2,0,2 , 1, 2,2A B C D
M N 1 1C DB D和
11, ,1 , 1, 2,12M N
1 1 1 10,1,0 , 2,0,0 , 1, 2,0 , 0,0,2 , 0,1,2 , 2,0,2 , 1, 2,2B C D A B C D
P
A
C
B
D
例 9:如图:已知 平面 ,点 在 上,且 ,四边形 为直角
梯形, ,建立适当的坐标
系并求出各点坐标
思 路 : 由 条 件 可 得 , 而 平 面
, 可得到 平面 ,从而
以 为轴建系。难点在于求底面梯形中
的长度。可作出平面图利用平面几何知识处
理。
解: 平面 ,
平面
两两垂直,如图建系:
中:
为等边三角形
为等边三角形
在底面 投影为 且
综上所述:
例 10:已知斜三棱柱 在底面 上的射影恰
为 的中点 ,又知 ,建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
思路:本题建系方案比较简单, 平面 ,进而 作 轴,再过 引 垂线即
可。难点有二:一是三棱柱的高未知,进而无法写出上底面点的竖坐标;二是 的投影不易
11, ,1 , 1, 2,12M N
PO ABCD O AB EA PO∥ ABCD
1, , 2, 2AD BC BC AB BC CD BO PO EA AO CD ∥
AB AD PO
ABCD EA PO∥ EA ABCD
, ,EA AB AD
,AB OD
PO ABCD EA PO∥
EA ABCD
,EA AB EA AD
,AD BC BC AB ∥ AD AB
, ,AE AD AB
1 12EA CD 0,0,1E
Rt AOB
2 2 3AB OB OA
1cos 602
AOAOB AOBBO
AD BC ∥ 60BOC AOB
BC BO BOC
OC BC CD 60OCB
60DOC COD
2OD CD
3,0,0 , 0,1,0 , 0,3,0 , 3,2,0B O D C
P ABCD O 2PO 0,1,2P
3,0,0 , 0,1,0 , 0,3,0 , 3,2,0 , 0,1,2 , 0,0,1B O D C P E
1 1 1 1, 90 , 2,ABC A B C BCA AC BC A ABC
AC D 1 1BA AC
1A D ABC 1A D z D AC
1B
DA C
B
A1
B1
C1
O
A D
B C
O
在图中作出(需要扩展平面 ),第一个问题可先将高设为 ,再利用条件 求
解;第二个问题可以考虑利用向量计算得到。
解:过 作 的垂线 , 平面
,而
以 为轴建立直角坐标系
,设高为
则 ,设
则
由 可得:
,解得
设
而 且
综上所述:
ABC h 1 1BA AC
D AC DM 1A D ABC
1 1,A D DC A D DM DM DC
1 , ,A D DC DM
0, 1,0 , 0,1,0 , 2,1,0A C B h
1 0,0,A h 1 , ,C x y z
1 10,2,0 , , ,AC AC x y z h
1 1AC AC
0 0
2 2
0
x x
y y
z h z h
1 0,2,C h
1 12, 1, , 0,3,BA h AC h
2
1 1 1 1 0 3 0BA AC BA AC h 3h
1 10,0, 3 , 0,2, 3A C
1 , , 3B x y 1 1 , ,0A B x y
2,2,0AB
1 1A B AB 2
2
x
y
1 2,2, 3B
1 1 10, 1,0 , 0,1,0 , 2,1,0 , 0,0, 3 , 0,2, 3 , 2,2, 3A C B A C B
A C
B
D