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- 2021-06-24 发布
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考点规范练2 不等关系及简单不等式的解法
考点规范练B册第2页
基础巩固
1.设a,b,c∈R,且a>b,则( )
A.ac>bc B.1a<1b C.a2>b2 D.a3>b3
答案:D
解析:∵a>b,当c<0时,ac0,b<0时,显然满足a>b,
此时1a>1b,故B错;
当bb时,a3>b3.故选D.
2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是( )
A.{a|00,Δ=a2-4a≤0,得0B
答案:B
解析:由题意知B2-A2=-2ab≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故选B.
4.(2019湖北武汉部分学校高三调研)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )
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A.32,3 B.1,32 C.-3,32 D.-3,-32
答案:A
解析:因为A={x|x2-4x+3<0}={x|10}=xx>32,所以A∩B=32,3.
5.已知α∈0,π2,β∈0,π2,则2α-β3的取值范围是( )
A.0,5π6 B.-π6,5π6 C.(0,π) D.-π6,π
答案:D
解析:由题意得0<2α<π,0≤β3≤π6,
∴-π6≤-β3≤0,∴-π6<2α-β3<π.
6.已知不等式x2-3x<0的解集是A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,则a=( )
A.-2 B.1 C.-1 D.2
答案:A
解析:解不等式x2-3x<0,得A={x|00的解集为{x|-2a>ab,则实数b的取值范围是 .
答案:(-∞,-1)
解析:∵ab2>a>ab,∴a≠0.
当a>0时,有b2>1>b,即b2>1,b<1,解得b<-1;
当a<0时,有b2<11,无解.
综上可得b<-1.
11.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是 .
答案:-45,+∞
解析:∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,
∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.
∴a2+b2-2b≥b24+b2-2b=54b-452-45≥-45.
∴a2+b2-2b的取值范围是-45,+∞.
12.已知函数f(x)=x2+2x+ax,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是 .
答案:{a|a>-3}
解析:当x∈[1,+∞)时,f(x)=x2+2x+ax>0恒成立,
即x2+2x+a>0恒成立.
故当x≥1时,a>-(x2+2x)恒成立.
令g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1,则g(x)在区间[1,+∞)内单调递减,
所以g(x)max=g(1)=-3,
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所以a>-3.
所以实数a的取值范围是{a|a>-3}.
能力提升
13.已知a0.又a0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于( )
A.52 B.72 C.154 D.152
答案:A
解析:(方法一)∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),
∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根.
由根与系数的关系知x1+x2=2a,x1x2=-8a2.
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∴x2-x1=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4(-8a2)=15.
又a>0,∴a=52.故选A.
(方法二)由x2-2ax-8a2<0,
得(x+2a)(x-4a)<0.
∵a>0,∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a).
又不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),
∴x1=-2a,x2=4a.
∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,解得a=52.故选A.
16.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是 .
答案:(-∞,-2)
解析:不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)0(|a|≤1)恒成立的x的取值范围为 .
答案:(-∞,2)∪(4,+∞)
解析:将原不等式整理得(x-3)a+x2-6x+9>0.
令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立,
所以f(-1)>0,f(1)>0,
即x2-7x+12>0,x2-5x+6>0,
解得x<2或x>4.
故使原不等式恒成立的x的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).
高考预测
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18.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )
A.-12
C.b<-1或b>2 D.不能确定
答案:C
解析:由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象的对称轴为直线x=1,即a2=1,故a=2.
又可知f(x)在[-1,1]上为增函数,
故当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.
当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立等价于b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.
7
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